ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 dysleksja Miejsce na naklejk z kodem szko y ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw 1 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajàcego 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 12 stron (zadania 1 10). 2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieêç w miejscu na to przeznaczonym przy ka dym zadaniu. 3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania, prowadzàcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. U ywaj d ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b dne zapisy wyraênie przekreêl. 6. Pami taj, e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie. 7. Mo esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Wype nij t cz Êç karty odpowiedzi, którà koduje zdajàcy. Nie wpisuj adnych znaków w cz Êci, przeznaczonej dla egzaminatora. yczymy powodzenia! Za rozwiàzanie wszystkich zadaƒ mo na otrzymaç àcznie 50 punktów Wype nia zdaj cy przed rozpocz ciem pracy PESEL ZDAJ CEGO KOD ZDAJ CEGO

2 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 1. (5 pkt) Ciàg (a n ) dla n N + dany jest wzorem ogólnym a n = n 3-6n n - 6. a) Wyka, e ka dy wyraz tego ciàgu jest podzielny przez 6. b) Podaj zale noêç rekurencyjnà dla ciàgu (a n ). 2

3 Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 2. (6 pkt) Kopiarka biurowa kosztuje 2500 euro. Koszt obs ugi i bie àcych napraw takiej kopiarki wynosi w pierwszym roku 200 euro i roênie o 50 euro w ka dym nast pnym roku. a) Wyka, e ca kowity koszt kopiarki po n latach mo na opisaç wzorem C(n) =25n n b) Âredni koszt C(n) kopiarki, przypadajàcy na jeden rok, dany jest wzorem C(n) = 25n n Wyka, e w dowolnym roku eksploatacji kopiarki jej Êredni roczny n koszt wynosi co najmniej 675 euro. 3

4 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) Rozwià nierównoêç 2x - x 2-6x + 9 > 4. 4

5 Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 4. (4 pkt) Dla jakich wartoêci parametru a funkcja f dana wzorem f(x) = miejsc zerowych? ( cos 2a - 1 ) (x - 3) nie ma 2 5

6 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 5. (6 pkt) Dwie belki, których przekroje poprzeczne sà ko ami o promieniach odpowiednio r i 3r, nale y spiàç ciasno metalowà taêmà (patrz rysunek). a) Wyznacz d ugoêç taêmy w zale noêci od r. b) Podaj w pe nych metrach przybli onà d ugoêç taêmy dla r = 0,5 m. 6

7 Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 6. (5 pkt) Sprawdê to samoêç 1 + sin 2a cos 2a = 1 + tg a 1 - tg dla a a = p + kp, gdzie k C

8 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 7. (3 pkt) Punkty A, B, C, D sà kolejnymi wierzcho kami kwadratu o boku d ugoêci a. a) Podaj wektor przeciwny do wektora --fi AD + --fi DB. b) Znajdê d ugoêç wektora 2 --fi AC - --fi CB. 8

9 Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 8. (7 pkt) Trójkàt ostrokàtny ABC, w którym AB =8, BC =10, tg )<ABC = 4 obraca si wokó prostej 3 zawierajàcej wysokoêç poprowadzonà z wierzcho ka A. Oblicz pole powierzchni ca kowitej powsta ej bry y. 9

10 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 9. (5 pkt) Okràg o Êrodku w punkcie (-2, 4) jest styczny do prostej k danej równaniem y = - 3x - 4. a) Wyznacz równanie tego okr gu. b) Prosta l jest równoleg a do prostej k i zawiera Êrednic tego okr gu. Wyznacz kàty trójkàta utworzonego przez prostà l i osie uk adu wspó rz dnych. 10

11 Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 10. (5 pkt) Pojemnik zawiera 45 kul, w tym n kul bia ych. Z pojemnika losujemy równoczeênie 2 kule. Dla jakiej wartoêci n prawdopodobieƒstwo wylosowania dok adnie jednej kuli bia ej jest najwi ksze? Podaj to prawdopodobieƒstwo. 11

12 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony BRUDNOPIS 12

13 Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony ODPOWIEDZI DO ZADA Z ARKUSZA Zestaw 1 Nr zadania Odpowiedê a) a n =(n 1)(n 2)(n 3), spoêród trzech kolejnych liczb naturalnych przynajmniej jedna jest podzielna przez 3 i przynajmniej jedna jest parzysta b) a n+1 = a n + 3n 2 9n + 6 a) Z wzoru na sum wyrazów ciàgu arytmetycznego mamy C(n) = n =25n n (200 + (n 1) 50) 2 b) NierównoÊç 25n n n ( ) x a ( 7 ; 1 ) 3 3 ; + π6 + kπ; π6 + kπ, gdzie k C 675 jest równowa na nierównoêci (n 10) a) 4 3r πr b) 11 m L = 1 + sin 2a cos 2a P = 1 + tg a 1 tg a L = P a) --fi BA = sin2 a + cos 2 a + 2 sin a cos a cos 2 a sin 2 a = sin a + cos a cos a sin a b) a 13 ( 27, ,4 17 ) π a) (x + 2) 2 + (y 4) 2 = b) 30,60,90 Dla n =22lub n =23, = sin a + cos a cos a sin a 13