PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejkê z kodem szko³y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Przed matur¹ MAJ 2011 r. Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron (zadania 1 10). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu zespo³u nadzoruj¹cego egzamin. 2. Rozwi¹zania zadañ i odpowiedzi zamieœæ w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwi¹zaniach zadañ przedstaw tok rozumowania prowadz¹cy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. U ywaj d³ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b³êdne zapisy przekreœl. 6. Pamiêtaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj¹ ocenie. 7. Obok ka dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr¹ mo esz uzyskaæ za jego poprawne rozwi¹zanie. 8. Mo esz korzystaæ z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Za rozwi¹zanie wszystkich zadañ mo na otrzymaæ ³¹cznie 50 punktów yczymy powodzenia! Wype³nia zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy PESEL ZDAJ CEGO KOD ZDAJ CEGO

2 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (4 pkt) Liczby 1 3 log4 x, log 4 4x, log 4 x w podanej kolejnoœci, dla pewnej rzeczywistej wartoœci x, 2 s¹ trzema kolejnymi pocz¹tkowymi wyrazami nieskoñczonego ci¹gu arytmetycznego. Wyznacz x oraz sumê czterdziestu pocz¹tkowych wyrazów tego ci¹gu.

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie 2. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartoœci parametru m, m R, dla których równanie x 4 x = m ma tylko jedno rozwi¹zanie.

4 4 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 3. (5 pkt) W trapez ABCD, gdzie AB CD i AB > CD, wpisano okr¹g (patrz rysunek obok). Dwusieczna k¹ta ostrego przy wierzcho³ku A jest prostopad³a do ramienia BC. a) Wyka, e dwusieczna k¹ta przy wierzcho³ku D jest równoleg³a do ramienia BC. b) Oblicz BC : DC. A D C B

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 4. (4 pkt) Z pó³okrêgów budujemy krzyw¹ (patrz rysunek poni ej). Pierwszy pó³okr¹g ma promieñ d³ugoœci r, r > 0, a promieñ ka dego nastêpnego pó³okrêgu stanowi 2 promienia poprzedniego. 3 Niech n oznacza liczbê pó³okrêgów tworz¹cych tê krzyw¹. Udowodnij, e dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n d³ugoœæ krzywej jest mniejsza od 3 r.

6 6 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5. (6 pkt) Punkty przeciêcia paraboli y = x 2 2x 8 z prost¹ k:2x + y 1 = 0 s¹ koñcami przek¹tnej rombu, którego pole jest równe 30. Oblicz wspó³rzêdne wierzcho³ków tego rombu.

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 6. (5 pkt) Czworok¹t ABCD jest wpisany w okr¹g o promieniu 4 3 (patrz rysunek obok). Przek¹tna BD czworok¹ta ma d³ugoœæ 12. Iloczyn sinusów wszystkich k¹tów wewnêtrznych czworok¹ta jest równy 3. Wiedz¹c, e A < C < D, oblicz miary k¹tów czworok¹ta 16 ABCD. B A D C

8 8 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7. (5 pkt) W wyniku podzielenia wielomianu W(x) przez (x + 2) otrzymujemy iloraz Q(x) i resztê 0. Jeœli natomiast podzielimy wielomian W(x) przez (x + 1), to otrzymamy iloraz Q(x)+2x 3 i resztê 2. a) Wyznacz wielomian W(x). b) Rozwi¹ nierównoœæ W(x) (x + 1)(x + 2).

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 8. (4 pkt) Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy kolejno, bez zwracania trzy cyfry i tworzymy liczbê trzycyfrow¹: pierwsza wylosowana cyfra jest cyfr¹ setek, druga cyfr¹ dziesi¹tek, a trzecia cyfr¹ jednoœci. Oblicz prawdopodobieñstwo zdarzenia, e otrzymana liczba ma nastêpuj¹c¹ w³asnoœæ: ró nica miêdzy najwiêksz¹ i najmniejsz¹ cyfr¹ tej liczby jest nie wiêksza ni 3.

10 10 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie 9. (6 pkt) Dane jest równanie kwadratowe (m 1)x 2 +2x +3 m = 0 z niewiadom¹ x i parametrem m. a) ZnajdŸ wzór i dziedzinê funkcji f, która zmiennej rzeczywistej m przyporz¹dkowuje iloczyn dwóch ró nych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji f w prostok¹tnym uk³adzie wspó³rzêdnych. b) Wyka, e do wykresu funkcji f nale ¹ tylko trzy punkty o obu wspó³rzêdnych ca³kowitych. Y X

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki 11 Zadanie 10. (6 pkt) Podstaw¹ ostros³upa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek obok). KrawêdŸ AS jest wysokoœci¹ tego ostros³upa. Odleg³oœæ punktu B od krawêdzi CS jest równa d, a k¹t dwuœcienny miêdzy œcianami BCS i CDS ma miarê 2, gdzie,. Oblicz: 4 2 a) odleg³oœæ punktu A od krawêdzi CS b) wysokoœæ tego ostros³upa. S D C A B

12 12 Próbny egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS