Rysunek zwykle bardziej przemawia do wyobraźni niż kolumna liczb. Dlatego tak często dane statystyczne przedstawia się graficznie.

Transkrypt

1

2 PROCENTY I DIAGRAMY Rysunek zwykle bardziej przemawia do wyobraźni niż kolumna liczb. Dlatego tak często dane statystyczne przedstawia się graficznie. Często spotykamy się z diagramami kołowymi. Przedstawiają one podział czegoś na części. Każdej części odpowiada wycinek koła o odpowiedniej wielkości im większa ta część, tym większy wycinek. Oto przykład takiego diagramu. Przedstawia on, jaki procent powierzchni lądów należy do jakiego kontynentu. Australia i Oceania Europa 6% Antarktyda 7% 9% 30% Azja Ameryka Pd. 12% Ameryka Pn. 16% 20% Afryka Z diagramu od razu widać, że najmniejsza jest Australia z Oceanią, największa zaś Azja. Europa jest prawie najmniejsza przewyższa tylko Australię i Oceanię, a i to niewiele. 20

3 Oczywiście te informacje można by też odczytać z tabelki. Jednak z diagramu widać to natychmiast, nie trzeba tu nic liczyć ani nawet porównywać liczb. Teraz sami narysujemy podobny diagram. PRZYKŁAD 9 W tabelce podano wyniki I tury wyborów prezydenckich w Polsce w 1995 roku. Liczby mówią, ilu wyborców poparło danego kandydata. Narysuj według tych danych diagram kołowy. Kandydat mln głosów A. Kwaśniewski 6,28 L. Wałęsa 5,92 J. Kuroń 1,65 J. Olszewski 1,23 Pozostali 2,79 Obliczmy najpierw, ile procent głosów zdobył każdy z kandydatów. Aby to zrobić, musimy najpierw obliczyć, ile było w sumie ważnych głosów. To żaden problem, po prostu sumujemy wszystkie liczby. Otrzymujemy wynik 17,87 mln. Teraz obliczamypokolei,jakiprocenttejliczbystanowiąliczbygłosów oddanych na poszczególnych kandydatów. Aleksander Kwaśniewski uzyskał 35% głosów, ponieważ 6,28 5,92 0,35, Lech Wałęsa 33% głosów, bo 0,33 itd. 17,87 17,87 Do narysowania diagramu wystarczy wiedzieć, jaki duży będzie wycinek koła, odpowiadający głosom zdobytym przez kandydata, czyli jaki będzie kąt pomiędzy promieniami ograniczającymi ten wycinek. 21

4 Kąt pełny ma 360, całe koło stanowi 100% diagramu. A więc na 1% przypada 360 =3,6. Wynika stąd, że wystarczy pomnożyć liczbę procentów przez 3,6, aby otrzymać miarę kąta na 100 diagramie. Wobec tego wycinek Aleksandra Kwaśniewskiego będzie miał 35 3,6 126, wycinek Lecha Wałęsy 33 3,6 119 itd. Wyniki zbieramy w tabelce: Kandydat % Kąt A. Kwaśniewski L. Wałęsa J. Kuroń 9 32 J. Olszewski 7 25 Pozostali Razem Teraz za pomocą kątomierza możemy narysować diagram: J. Kuroń 9% A. Kwaśniewski L. Wałęsa 33% 35% 7% 16% J. Olszewski pozostali Diagramy kołowe nie są jedynym sposobem przedstawiania danych. Obok przedstawiono dane na temat filmów, jakich rodzice nie pozwalają oglądać swoim dzieciom. 22

5 Zwróciłeś z pewnością uwagę, że liczby procentów oznaczane przez poszczególne słupki dają sumę większą niż 100%. Nie ma w tym żadnego błędu jak wiadomo, rodzice mogą nie pozwalać dzieciom oglądać filmów należących do dwóch lub więcej z tych grup. Dlatego tych danych nie dałoby się przedstawić na diagramie kołowym. Oglądania jakich filmów najczęściej zabrania Pan(i) swoim dzieciom? (respondent miał możliwość udzielenia więcej niż jednej odpowiedzi) zawierających sceny przemocy 89% zawierających sceny erotyczne 84% wktórychpojawiasię wulgarne słownictwo 17% których dziecko mogłoby nie zrozumieć 4% innych filmów 3% Zadanie 21. Dane do poniższego diagramu zebrano, prowadząc ankietę wśród 1020 osób. Ile osób udzieliło każdej z odpowiedzi? Ile osób weźmie razem z Panem (Panią) udział w kolacji wigilijnej? będę sam (sama) 3% powyżej 10 osób 2-3 osoby 15% 12% 8-10 osób 17% 31% 4-5 osób 22% 6-7 osób 23

6 PROCENTY W BANKU PRZYKŁAD 38 Wpłacamy do banku 100 zł. Oprocentowanie rachunku wynosi 30%. O ile procent powiększy się wkład w ciągu 10 lat? Gdyby w banku co roku doliczano do rachunku 30% wpłaconej sumy, rozwiązanie byłoby proste: odsetki wyniosłyby 300%. Taki sposób naliczania odsetek nazywa się procentem prostym. Jednak w bankach obowiązuje inna metoda: odsetki doliczane są do stanu konta. Po roku kwota 100 zł zamieni się na 130 zł. Gdy po kolejnym roku bank będzie miał doliczyć do rachunku 30%, będzie to 30% kwoty 130 zł. Taka metoda naliczania odsetek nazywa się procentem składanym. Jak więc obliczyć stan konta po dziesięciu latach? Można po prostu dziesięć razy powiększać go o 30%. Jest jednak prostsza metoda. Jak już wiesz, powiększenie liczby o 30% to to samo, co pomnożenie jej przez 1,3. Zatem po roku stan konta wyniesie 100 1,3, po dwóch latach 100 1,3 1,3, po trzech latach 100 1,3 1,3 1,3 itd. W takim razie po n latach będziemy mieć 100 (1,3) n złotych. Po dziesięciu latach będziemy więc mieli 100 (1,3) ,79 = 1379 zł. Stan konta wzrośnie więc o około 1279 zł, co stanowi 1279% sumy 100 zł. Wobec tego odsetki będą znacznie wyższe niż przy procencie prostym. Dlaczego w bankach obowiązuje procent składany? Czyżby banki dbały o to, aby więcej zapłacić swoim klientom? 57

7 Jak już zauważyliśmy, przy oprocentowaniu 30% po upływie roku otrzymujemy 1,3 wpłaconej sumy. Wyobraźmy sobie teraz osobę, która wpłaca pewną sumę do banku i po upływie każdego kolejnego roku podejmuje wszystkie pieniądze razem z odsetkami, po czym wpłaca je z powrotem na następny rok. Załóżmy, że na początku wpłaciła ona 100 zł. Po roku taka osoba miałaby 130 zł. Po dwóch latach 1,3 130 = 169, gdyż suma wpłacona na początku drugiego roku byłaby równa 130 zł. I tak dalej. Widzimy, że stan konta powiększa się według procentu składanego. Gdyby więc bank wypłacał odsetki według procentu prostego (a więc niższe), to klientom opłacałoby się przychodzić tam co roku i wypłacać wszystkie pieniądze, aby po chwili wpłacić je z powrotem na następny rok. Tym sposobem uzyskaliby oni oprocentowanie według procentu składanego. Bank musiałby więc i tak więcej zapłacić, nie mówiąc już o tym, ile kłopotu wywołaliby tacy klienci. Dlatego lepiej od razu obliczać odsetki według lepszej dla klienta reguły. Jeśli chcemy obliczyć, ile zyskamy odsetek, możemy postępować podobnie jak w ostatnim przykładzie. 58

8