System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

Transkrypt

1 System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

2 Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy procentowej. Przykłady płatności rentowych (annuitetowych): Wpłaty na fundusze rentowe; Płatności na fundusze emerytalne; Płatności wynikające z umowy dzierżawy, najmu itp.; Opłaty leasingowe; Spłaty kredytu bankowego (tzw. annuitetowego w kolejnych okresach równe płatności, płatność to suma raty kapitałowej i odsetek, czyli rata kredytu).

3 Rachunek rentowy (annuitetowy) dla procentu składanego (wzory) Renta płatna z dołu (płatność z dołu) K K n 0 (1 a 1 a i) i (1 i i) Renta płatna z góry (płatność z góry) n 1 n K n a (1 i) (1 i) i n 1 K 0 a (1 i) 1 (1 i i) n

4 Wyjaśnienie oznaczeń K n wartość przyszła renty (annuity), w literaturze często oznaczana jako FV i,n K 0 wartość bieżąca renty (annuity), w literaturze często oznaczana jako PV i,n i stopa procentowa lub dyskontowa (dla jednego okresu), w literaturze często oznaczana jako r n liczba płatności (okresów) a wielkość cyklicznej płatności (annuity, renty), w literaturze często oznaczana jako PMT

5 Wartość przyszła annuity, czyli renty (kapitalizacja z dołu) Przykład 1 Do banku pan X wpłaca pod koniec każdego roku przez okres 3 lat po zł. Oprocentowanie roczne wynosi 12% przy rocznej kapitalizacji. Oblicz wartość końcową (przyszłą) wkładu.

6 Przykład 2 Kowalski zdecydował się wpłacać do banku po 800 zł co roku z góry przez okres 3 lat. Stopa procentowa nominalna roczna wynosi 5%. Jaka będzie wartość przyszła tej lokaty?

7 Przykład 3 Małżeństwo Y zdecydowało się stworzyć własny fundusz emerytalny. Wpłaciło j.p. na 20 lat oraz zobowiązało się wpłacać po j.p. co roku z góry. Jaki fundusz zostanie zgromadzony na koniec 20 roku, jeżeli wiadomo, że stopa procentowa wynosi 10 punktów..

8 Przykład 4 Pewna osoba zdecydowała się dokonywać wpłat oszczędnościowych co miesiąc z dołu w wysokości 505,43 j.p., tak aby zgromadzić fundusz w wysokości j.p. Proszę obliczyć, przez ile lat należy dokonywać wpłat przy stopie 12%, wiedząc że kapitalizacja odbywa się co miesiąc, czyli jest równa z okresami wpłat.

9 Równanie bankierów (uproszczone) R Równanie bankierów stanowi różnicę między kapitałem początkowym, a sumą wypłat rentowych na koniec okresu. K n1 K n2 K (1 i) K n w procencie Gdzie: składanym K n1 kapitał początkowy sprowadzony na koniec okresu K n2 suma wypłat rentowych sprowadzona na koniec okresu 0 n a (1 i) i n 1 K n w rachunku rentowym (dla płatności z dołu) R różnica między K n1 i K n2

10 Przykład 5 W banku został zgromadzony kapitał w wysokości j.p. Z tego kapitału wypłaca się co miesiąc rentę z dołu. Obowiązuje kapitalizacja miesięczna wg stopy procentowej miesięcznej 1%. a) Jaka będzie maksymalna renta wieczysta? b) Jak długo można pobierać rentę stałą w wysokości 2000 j.p. Ad a) a K 0 i , Ad b) Obliczamy metodą iteracji Liczba miesięcy 69 (reszta 1310)

11 Spłata kredytu ratą zmienną i stałą Przykład 6 Przedsiębiorstwo produkcyjne zaciągnęło kredyt w wysokości 1000 j.p. na 5 lat przy oprocentowaniu rocznym równym 20%. Proszę zaprojektować plan spłaty kredytu dla dwóch wariantów: a) Kredyt jest spłacany pod koniec każdego roku w 5 stałych ratach kapitałowych, zaś odsetki naliczane są według malejącego salda zadłużenia na koniec każdego roku. W konsekwencji rata kredytu (płatność okresowa) jest zmienna. b) Kredyt jest spłacany pod koniec każdego roku w 5 stałych płatnościach (annuity, renta). Zatem płatność okresowa jest co roku identyczna oraz stanowi sumę raty kapitałowej i odsetek. Rata kredytu (płatność okresowa) jest więc stała.

12 Przykład 7 Kredyt o wartości 1000 PLN wypłacany w momencie 0 będzie spłacany w 8 miesięcznych ratach. Miesięczne oprocentowanie kredytu dane jest stopą 5%. Przedstaw schemat spłaty długu spłacanego metodą stałej raty kapitałowej i stałej raty spłaty, przy założeniu że: 1. Warunki nie ulegną zmianie, 2. Od czwartego miesiąca stopa wynosi 3%, 3. Dłużnik na koniec czwartego okresu wpłaca rentę i dodatkowo kwotę 100 PLN, 4. Po zapłaceniu 3 raty dłużnik wystąpił do banku z wnioskiem o wydłużenie okresu spłaty długu o kolejne 2 miesiące, 5. Dłużnik nie zapłaci czwartej raty, lecz wpłaci ją z należnymi odsetkami razem z piątą ratą, 6. Rozpoczęcie spłaty długu odroczone jest o 2 miesiące.

13 Przykład 8 Bank udzielił kredytu w wysokości PLN z następującym harmonogramem spłat: 1 rata za rok 2 rata za 2 lata, 3 rata za 3 lata. Bank ustalił spłatę kredytu w równych ratach PLN przy zastosowaniu stałej stopy procentowej z roczną kapitalizacją odsetek. Podaj wysokość stopy procentowej.

14 Przykład 9 Kwota pożyczki 1000 EUR w dniu 1 stycznia 2012 r. Spłata jednorazowa w wysokości 1200 EUR dokonana 1 lipca 2013 r., tj, 1,5 roku lub 546 dni od dnia poręki. Oblicz stopę procentową.

15 Przykład 10 Kwota pożyczki 1000 EUR w dniu 1 stycznia 2012 r. lecz pożyczkodawca zatrzymuje 50 PLN na koszty administracyjne, a więc kwota pożyczki wynosi 950 EUR. Spłata jednorazowa w dniu 1 lipca 2013 r. Oblicz stopę procentową.

16 Przykład 11 Oblicz stopę procentową rzeczywistą kredytu w wysokości PLN spłacanego w stałych ratach miesięcznych wynoszących 800 PLN. Część kapitałowa wynosiła 500 PLN, część odsetkowa 300 PLN. Kredyt spłacany przez 36 miesięcy.

17 Praca domowa Zadanie nr 1 Spółka pragnie ulokować depozyt w banku przy stałej stopie 16% rocznie, aby móc podjąć po upływie roku 2 mln PLN, a po upływie następnego roku kolejne 5 mln PLN. Proszę ustalić kwotę początkowego depozytu (jedna liczba!), aby spółka mogła w przyszłości zrealizować te dwie planowane wypłaty. Zadanie nr 2 Bank 26 kwietnia przyjął do dyskonta weksel na sumę PLN płatny 9 maja. Zdyskontowana wartość weksla wyniosła PLN. Proszę podać obowiązującą w danym banku stopę dyskontową oraz spodziewaną roczną stopę zwrotu z tej operacji (obowiązuje dokładność do 0,01%).

18 Dziękuję za uwagę