ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

Transkrypt

1 ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) Dane są liczby x 5, y a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b) Przedstaw iloczyn liczby x i odwrotności liczby y w postaci c d 5, gdzie c i d są liczbami wymiernymi Zad2 ( 2 pkt) Samochód wyjechał z Krakowa, mając w baku 40 l paliwa W Gdańsku, po przejechaniu 585 km, okazało się, że średnie zużycie paliwa na tej trasie wynosiło 5,2 l Czy podczas jazdy kierowca musiał uzupełniać paliwo? Odpowiedź uzasadnij Zad ( 4 pkt) Z powodu złego stanu torów na trasie z miasta A do miasta B średnia prędkość pociągu zmniejszyła się o 10 km/h W związku z tym czas podróży na tej trasie zwiększył się z 4 godzin do 4 godzin i 0 minut Oblicz odległość między tymi miastami Zad4 ( pkt) W pierwszym miesiącu sprzedaży nowego modelu telefonu komórkowego klienci kupili n sztuk takich telefonów w cenie c złotych za każdą sztukę Uzyskano w ten sposób przychód że sprzedaży równy n c złotych Oblicz, o ile procent zwiększyłby się przychód w pierwszym miesiącu sprzedaży tego telefonu, gdyby jego cena c była niższa o 25%, zaś liczba klientów większa o 5 2 Zad5 ( pkt) Średnia miesięczna płaca netto w pewnym zakładzie zatrudniającym 0 pracowników wynosiła 2500 złotych Po zatrudnieniu nowego, wysoko wykwalifikowanego pracownika średnia płaca netto w zakładzie wzrosła o 0,4% Oblicz płacę netto nowego pracownika Zad6 ( 5 pkt) W pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu: Ocena Liczba uczniów a) Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu b) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen c) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen Zad7 ( pkt) Cena pewnego towaru wraz z 7% stawką VAT była równa 64,20 złotych Oblicz cenę tego towaru gdyby stawka podatku VAT była równa 22% zamiast 7% Zad8 ( 5 pkt) Świeżo skoszona trawa zawiera 60% wody, a wysuszone siano tylko 15% wody Oblicz, ile kilogramów wysuszonego siana można otrzymać z 1 tony świeżo skoszonej trawy? Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych kilogramów 1

2 Zad9 ( 2 pkt) W pewnym kraju bank centralny podniósł stopy procentowe w 2004 roku dwa razy Pierwszy raz w styczniu o 1 punkt procentowy z 4% na 5% i drugi raz o 25 punktów bazowych czyli o 4 1 punktu procentowego, innych zmian stóp procentowych w tym roku nie było Oblicz o ile procent wzrosły stopy procentowe w tym kraju w 2004 roku Zad10 ( pkt) Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest równa 60% przeciętnego wynagrodzenia Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie zdrowotne przyjmując, że przeciętne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zł Wynik podaj w zaokrągleniu do 1 grosza Zad11 ( pkt) Właściciel firmy chcąc obniżyć koszty utrzymania biura wprowadził dwie zmiany personalne, które obniżyły wydatki kolejno o 20% oraz o 25% i ograniczył prywatne rozmowy telefoniczne pracowników, co obniżyło koszty o kolejne 45%Zakładając, że przed zmianami koszt utrzymania biura wynosił p [zł] oblicz, ile złotych zaoszczędził właściciel firmy Zad12 (4 pkt) Pani Kowalska chciała wpłacić do banku kwotę 8000 zł na okres jednego roku Bank zaproponował jej dwa warianty: I- oprocentowanie 6% w skali rocznej z odsetkami doliczanymi po roku: II- oprocentowanie 5% w skali rocznej z odsetkami doliczanymi co pół roku Który z wariantów jest korzystniejszy dla pani Kowalskiej? O ile więcej pieniędzy otrzyma po roku pani Kowalska, wybierając korzystniejszy wariant? Zad 1 ( 4 pkt) Oblicz, jaką kwotę wpłacono przy zakładaniu lokaty oprocentowanej % w skali roku, wiedząc, że odsetki są co miesiąc kapitalizowane, a po czterech miesiącach stan konta był równy 2424,09 zł Wynik zaokrąglij do 1 zł Zad 14 ( pkt ) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5% Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny wyprodukowanej przez ten koncern kosztuje 4,62 zł Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami Zad15 ( pkt) Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540 wiedząc, że różnią się o 9 m 2 m Oblicz wymiary tej działki Zad16 (2 pkt) Uzasadnij, że jeśli, to ad=bc Zad 17 ( 2 pkt) Uzasadnij, że jeżeli i, to Zad18 ( pkt ) Napisz wzór dowolnej liczby całkowitej c, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 Uzasadnij, że dzieląc przez 4 kwadrat liczby c, również otrzymamy resztę równą 1 Zad19 ( 2 pkt) Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba - jest wielokrotnością liczby 10 2

3 Zad20 ( 2 pkt) Uzasadnij, że jeżeli liczby rzeczywiste spełniają nierówności, to Zad21 ( 2 pkt) Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez daje resztę 2 Zad 22 ( 2 pkt ) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez, to jej kwadrat przy dzieleniu przez daje resztę 1 Zad 2 ( pkt ) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność Zad 24 ( 2 pkt ) Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 42 Zad 25 ( 2 pkt ) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność Zad 26 ( 2 pkt ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność

4 ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM ROZSZERZONY Zad1 ( 5 pkt ) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że jest liczbą całkowitą Zad 2 ( 4 pkt) Wykaż, że prawdziwa jest równość + Zad ( pkt ) Wykaż, że jeżeli A = i B =, to Zad 4 ( 4 pkt ) Porównaj liczby oraz, gdzie, Zad 5 ( 4 pkt ) Wiadomo, że i i Oblicz wartość wyrażenia Zad6 ( 4 pkt ) Uzasadnij, że jeżeli,, i, to Zad 7 ( 4 pkt ) Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dla których wartość wyrażenia całkowitą Zad 8 ( 4 pkt ) Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla których wartość wyrażenia całkowitą jest liczbą jest liczbą Zad 9 ( 4 pkt ) Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba jest podzielna przez 6 Zad10 (5pkt) Udowodnij twierdzenie: Jeżeli w czterocyfrowej liczbie naturalnej suma cyfr tysięcy i dziesiątek jest równa sumie cyfr setek i jedności, to liczba ta jest podzielna przez jedenaście Zad11 ( 4 pkt ) Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb Zad12 ( pkt) Udowodnij, że jeżeli, to prawdziwa jest nierówność + Zad 1 ( pkt) Uzasadnij, że jeśli, to b Zad14 ( pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich i prawdziwa jest nierówność 4

5 Zad 15 ( 4 pkt ) a) Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami rzeczywistymi i to b) Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to Zad16 ( 6 pkt) 2 2 x y Średnią kwadratową liczb x, y nazywamy liczbę 2 Wykaż, że dla każdych x, y R średnia kwadratowa tych liczb jest nie mniejsza od ich średniej arytmetycznej Podaj, kiedy obie średnie są równe Zad17 ( 1 pkt ) Liczba jest równa A B 27-0 C D 15-0 Zad 18 ( 1 pkt ) Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka A + B + C - D - otrzymamy liczbę: Zad19 ( 1 pkt ) Zbiór - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wartość liczbowa wyrażenia jest liczbą rzeczywistą Zatem A B C D Zad 20 ( 1 pkt ) Liczba jest równa: A B C D Zad 21 ( 2 pkt ) Oblicz - Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku Zad 22 ( 2 pkt ) Dane są liczby takie, że i Oblicz Zakoduj w kratkach poniżej kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku Cyfra setek dziesiątek jedności Zad 2 ( pkt ) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez 5 Zad 24 ( pkt ) Udowodnij, że jeśli i oraz, to Zad 25 ( pkt) Niech Wykaż, że = 5

6 Zad 26 ( pkt) Niech Wykaż, że Zad 27 ( pkt ) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność Zad 28 ( pkt ) Wykaż, że jeżeli, to Zad 29 ( pkt) Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby a i dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby b spełniona jest równość Zad 0 ( pkt) Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość Zad1 ( 5 pkt ) Udowodnij, że jeśli a) są liczbami rzeczywistymi, to b) są liczbami rzeczywistymi takimi, że, to Zad2 ( 2 pkt ) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność Zad ( pkt ) Dla dodatnich liczb a i b prawdziwa jest równość Oblicz wartość wyrażenia Zad4 ( pkt ) Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x i y prawdziwa jest nierówność 6