Oto przykłady przedmiotów, które są bryłami obrotowymi.

Transkrypt

1 1.3. Bryły obrotowe. Walec W tym temacie dowiesz się: co to są bryły obrotowe, jak rozpoznawać walce wśród innych brył, jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej walca, jak obliczać objętość walca, jak wykorzystywać własności walców w zadaniach praktycznych. Jednym z najstarszych zawodów na świecie jest garncarstwo. Garncarz tworzy misy, dzbany, talerze. Joe Thongsan/Shutterstock.com Dzban po lewej stronie powstał w całości przez obracanie gliny na kole garncarskim, natomiast ten po prawej stronie już nie, gdyż zostały do niego dolepione uszy. Pierwszy dzban jest bryłą obrotową, a drugi nie. Oto przykłady przedmiotów, które są bryłami obrotowymi.

2 Bryłą obrotową nazywamy figurę przestrzenną powstałą przez obrót figury płaskiej wokół osi obrotu. Przykład 1 Zastanówmy się, jaka bryła powstanie przez obrót figury względem narysowanej osi. Rozwiązanie Jeśli będziemy obracać trapez wokół osi zawierającej jego dłuższą podstawę, otrzymamy bryłę przedstawioną na rysunku. Ćwiczenie 1 Narysuj w zeszycie figurę, jaką należy obrócić, aby otrzymać bryłę obrotową przedstawioną na rysunku. Zaznacz oś obrotu.

3 Walcem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. r promień podstawy walca l tworząca walca H wysokość walca Bok prostokąta równoległy do osi obrotu zakreśla powierzchnię zwaną powierzchnią boczną walca. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, którego bokami są wysokość walca oraz obwód podstawy walca. Gdy zwiniemy prostokątną kartkę papieru, otrzymamy figurę w kształcie walca. Gdy rozetniemy walec (rurkę) wzdłuż, otrzymamy prostokąt powierzchnię boczną walca.

4 Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej walca, wystarczy obliczyć pole jego siatki, to znaczy obliczyć sumę pól obu kół w jego podstawach oraz pola prostokąta stanowiącego powierzchnię boczną. pole podstawy walca pole powierzchni bocznej walca pole powierzchni całkowitej walca Powyższy wzór można zapisać także w postaci:. Przykład 2 Obliczmy pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej walca o wysokości oraz o średnicy podstawy równej. Rozwiązanie Zauważmy, że promień podstawy walca stanowi połowę średnicy ( ). Stosujemy wzory na pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej walca i otrzymujemy: Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej walca wynosi całkowitej walca jest równe., a pole powierzchni

5 Ćwiczenie 2 Oblicz pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej walca powstałego z obrotu prostokąta o wymiarach wokół krótszego boku. Przykład 3 Obliczmy promień podstawy walca i jego wysokość, jeśli wiadomo, że pole jego powierzchni bocznej jest równe, a pole powierzchni całkowitej to Rozwiązanie. Zauważmy, że suma pól obu podstaw walca jest równa, zatem jedna podstawa walca ma pole równe. Ze wzoru na pole koła, gdzie r jest promieniem podstawy, otrzymujemy równanie, stąd. Teraz wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej walca i otrzymujemy równanie:, stąd. Odpowiedź: Promień podstawy walca ma długość, a jego wysokość jest równa. Ćwiczenie 3 Oblicz promień podstawy walca i jego wysokość, jeśli wiadomo, że pole powierzchni bocznej tego walca jest równe i stanowi połowę pola powierzchni całkowitej walca. Objętość walca wyznaczamy ze wzoru:, gdzie pole podstawy walca, wysokość walca. Wzór na objętość walca może mieć też postać: Wzór na objętość walca jest analogiczny do wzoru na objętość graniastosłupa: pole podstawy wysokość. Zauważmy, że gdybyśmy rysowali kolejne graniastosłupy o podstawach n-kąta foremnego wpisanego w koło, to n-ty graniastosłup miałby objętość zbliżoną do objętości walca.

6 Przykład 4 Obliczmy objętość walca powstałego z obrotu prostokąta o wymiarach wokół dłuższego boku. Wykonajmy rysunek. Zauważmy że. Stosujemy wzór i otrzymujemy:. Odpowiedź: Objętość walca jest równa. Przekrojem osiowym walca nazywamy część wspólną walca i płaszczyzny zawierającej oś obrotu walca. Przekrojem osiowym walca jest prostokąt. Przekrój osiowy walca Przekrojem poprzecznym walca nazywamy część wspólną walca i płaszczyzny do podstaw walca. Przekrojem poprzecznym walca jest koło przystające do podstaw walca.

7 Przekrój poprzeczny walca Ćwiczenie 4 Oblicz objętość walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku. Przyjmij, że. Wynik podaj po zaokrągleniu do. Przykład 5 Przekątna przekroju osiowego walca ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem. Obliczmy objętość tego walca. Wykonajmy rysunek walca z zaznaczonym przekrojem osiowym. Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych i wynika, że: oraz, a stąd. Korzystamy ze wzoru i otrzymujemy:. Odpowiedź: Objętość walca wynosi. Ćwiczenie 5 Przekątna przekroju osiowego walca o długości podstawy pod kątem. Oblicz objętość tego walca. ZADANIA jest nachylona do płaszczyzny

8 1. Na ilustracji przedstawiono cztery szachowe bierki. Spośród nich 1. bryłami obrotowymi są wszystkie bierki. 2. bryłą obrotową jest tylko pion. 3. bryłami obrotowymi są tylko pion i goniec. 4. bryłami obrotowymi są wszystkie bierki oprócz skoczka. 2. Wśród poniższych świeczek wskaż tę, która jest walcem. 3. Prostokąt o wymiarach obrócono wokół krótszego boku. Pole powierzchni bocznej powstałego walca wynosi A. B. C. D. 4. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o boku. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe A. B. C. D. 5. Walec o średnicy podstawy i wysokości ma objętość równą A. B. C. D. 6. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca: a) promieniu podstawy równym i wysokości, b) o średnicy podstawy równej i wysokości, c) o promieniu podstawy równym i wysokości, d) o średnicy podstawy równej i wysokości. 7. Narysuj w zeszycie figurę, jaką należy obrócić, aby otrzymać bryłę obrotową przedstawioną na rysunku. Zaznacz oś obrotu.

9 8. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca przedstawionego na rysunku. 9. Powierzchnia boczna walca jest przedstawiona na rysunku. Oblicz promień podstawy tego walca, jeśli jego wysokość jest krótszym bokiem narysowanego prostokąta. Przyjmij, że. Porównaj pole powierzchni bocznej walca z sumą pól podstaw walca. 10. Dany jest walec o objętości, którego wysokość wynosi. Oblicz średnicę podstawy tego walca. 11. Walec ma objętość, a promień jego podstawy jest równy. Oblicz wysokość walca oraz pole jego powierzchni całkowitej. Przyjmij, że. 12. Filip i Oskar obliczali pole powierzchni pudełka w kształcie walca. Pudełko nie ma pokrywki. Który z chłopców poprawnie wykonał obliczenia? Na czym polegał błąd drugiego chłopca?

10 13. Dane są trzy walce: a) Który z nich ma największe pole powierzchni bocznej? b) Który z nich ma największe pole powierzchni całkowitej? 14. Prostokąt o wymiarach 3 cm 5 cm obrócono względem: a) dłuższego boku, b) krótszego boku. Oblicz stosunek objętości oraz stosunek pól powierzchni bocznych otrzymanych walców. 15. Jeden walec ma promień podstawy równy i wysokość, a drugi walec ma promień podstawy równy i wysokość. Uzasadnij, że oba te walce mają tę samą objętość. Który z nich ma większe pole powierzchni całkowitej? 16. Ołówek Marka ma kształt walca, a ołówek Darka ma kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o dłuższej przekątnej podstawy równej średnicy ołówka Marka. Oba ołówki mają tę samą długość. Który z ołówków ma większe pole powierzchni bocznej? 17. Jak zmieni się objętość walca, gdy promień jego podstawy zwiększymy razy, a wysokość zmniejszymy razy? 18. Anna ma w kuchni trzy garnki w kształcie walca, każdy o średnicy wewnętrznej. Pierwszy garnek ma wysokość, drugi, a trzeci. Oblicz stosunek

11 pojemności oraz stosunek pól powierzchni bocznych tych trzech garnków. 19. Klosz lampy ma kształt walca o wysokości oraz średnicy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego klosza. Przyjmij, że. Wynik podaj po zaokrągleniu do. 20. Basen ogrodowy ma kształt walca i wymiary takie jak na ilustracji. a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego basenu. Wynik podaj po zaokrągleniu do. b) Basen jest wypełniony wodą w 80%. Oblicz objętość wody. Wynik podaj w litrach po zaokrągleniu do dziesiątków litrów. W obliczeniach pomiń grubość ścianki basenu. Przyjmij, że. 21. Czy objętość walca, którego siatka jest przedstawiona na rysunku, jest większa od?

12 22. Mleko skondensowane jest sprzedawane w puszkach o wymiarach podanych na ilustracji. Oblicz pojemność puszki (wynik podaj w mililitrach). Przyjmij, że. 23. Przekrój osiowy pieńka o kształcie walca jest kwadratem. Pieniek przecięto na dwie równe części wzdłuż i w poprzek, tak jak pokazano na rysunku. Który z przekrojów przedstawionych na rysunku ma większe pole? 24. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca przedstawionego na rysunku.

13 25. Ile razy pole powierzchni bocznej felgi samochodowej o szerokości i średnicy jest większe od pola powierzchni bocznej obręczy rowerowej o szerokości i średnicy? Przyjmij, że pole powierzchni bocznej felgi i obręczy to pole powierzchni bocznej walca. 26. Metalowy pręt w kształcie walca o długości i średnicy wykonany jest z metalu o nazwie bar i ma masę. Jaka jest masa właściwa baru? Wynik podaj w g. Przyjmij, że. 27. Przekrój poprzeczny rury wykonanej ze stali ma wymiary podane na rysunku. Oblicz, jaką masę ma kawałek takiej rury o długości 11 m. Wynik podaj w kilogramach. Przyjmij, że oraz że masa właściwa stali wynosi. 28. Walec o promieniu podstawy i wysokości przecięto na dwie takie same bryły wzdłuż osi obrotu. Wyraź pole powierzchni całkowitej otrzymanych brył w zależności od zmiennych. 29. Oblicz objętość skrzyni w kształcie prostopadłościanu o wymiarach przedstawionych na rysunku, której wieko jest połową walca. Wynik podaj po zaokrągleniu do. W obliczeniach przyjmij, że i pomiń grubość ścianek skrzyni.

14 30. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły przedstawionej na rysunku. Objętość podaj po zaokrągleniu do, a pole powierzchni całkowitej po zaokrągleniu do. Przyjmij, że. 31. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły o kształcie przedstawionym na rysunku. 32. Narysuj figurę, jaką należy obrócić, aby otrzymać bryłę obrotową przedstawioną na rysunku (bryłę tę nazywamy torusem). Zaznacz oś obrotu. SPRAWDŹ W INTERNECIE Która z brył ułożonych z takiej samej liczby monet tej samej wielkości ma większą objętość? Poszukaj w internecie informacji na temat zasady Cavalieriego i sprawdź, czego ta zasada dotyczy.

15 Czy już potrafisz? 1. Dany jest walec o wymiarach jak na rysunku. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe A. B. C. D. 2. Na rysunku przedstawione są trzy walce. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Największą objętość ma walec I. B. Największą objętość ma walec II. C. Największą objętość ma walec III. D. Wszystkie walce mają tę samą objętość. 3. Czy w naczyniu o kształcie walca o średnicy podstawy i wysokości zmieści się pół litra wody? Wybierz odpowiedź (tak) lub (nie) i jej poprawne uzasadnienie spośród zdań.

16 4. Objętość walca o promieniu podstawy równym wynosi. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca. 5. Prostokąt o wymiarach obrócono wokół dłuższego boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego walca.