ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

Transkrypt

1 ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa cm 3. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Zapisz obliczenia. Zad.2. ( 5 pkt) Czy 0,8 papieru samoprzylepnego wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 3 4 dm, 5 dm? Zad.3. ( 5 pkt ) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2a. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad. 4. ( 5 pkt ) Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się powierzchni bocznej. Oblicz objętość tego ostrosłupa., a pole Zad.5. ( 5 pkt) Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy. Zad.6. ( 4 pkt) Metalową kulę o promieniu 10 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 16 cm i 12 cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy cm. Oblicz długość wysokości tego walca. Zad. 7. ( 6 pkt ) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe. Oblicz objętość walca. Zad.8.( 5 pkt) Stożek i walec mają równe długości tworzących, równe pola powierzchni bocznych i równe objętości. Oblicz kosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy. Zad. 9. ( 4 pkt ) Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym miary ( zobacz rysunek ). Oblicz objętość tego stożka Opracowała D. Brzezińska 1

2 Zad. 10. ( 6 pkt ) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.. Oblicz Zad. 11. ( 4 pkt ) Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC, gdzie krawędź AD jest wysokością tego ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że Zad. 12. ( 5 pkt ) W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi. Zad.13. ( 4 pkt ) Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM. Zad. 14. ( 4 pkt ) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe 100, a pole ściany bocznej jest równe 65. Oblicz objętość ostrosłupa. Zad.15. ( 4 pkt) Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości: i. Wysokość prostopadłościanu ma długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą rachunków, że trójkąt jest prostokątny. Zad. 16. ( 4 pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku. Opracowała D. Brzezińska 2

3 Zad. 17. ( 4 pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zad. 18. ( 4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek). Zad. 19. (1 pkt) Pewien wielościan ma 6 krawędzi. Liczba jego ścian jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 Zad.20. (1 pkt) Ostrosłup ma 12 krawędzi. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa A. 12 B. 9 C. 8 D. 7 Zad.21. (1 pkt) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie A. 16 wierzchołków. B. 9 wierzchołków. C. 16 krawędzi. D. 8 krawędzi. Zad. 22. (1 pkt) Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego stożka jest kołem o promieniu A. 12 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 1 cm Zad.23. (1 pkt) Przekątna prostopadłościanu o wymiarach ma długość A. B. C. D. Zad. 24. (1 pkt) Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Objętość tego sześcianu jest równa A. 64 B. 27 C. 24 D. 8 Zad.25. (1 pkt) Przekątna sześcianu ma długość 3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 54 B. 36 C. 18 D. 12 Opracowała D. Brzezińska 3

4 Zad.26. (1 pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 cm2. Objętość tego sześcianu jest równa A. B. C. D. Zad.27. (1 pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa A. 18π B. 54π C. 108π D. 216π Zad. 28. ( 1 pkt) Zad. 28. ( 1 pkt) Zad. 28. ( 1 pkt) Zad. W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę A. B. C. D. Zad. 29. ( 1 pkt) Z sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości a odcięto ostrosłup ABDE ( zobacz rysunek). Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu? A. 2 razy B. 3 razy C. 4 razy D. 5 razy Opracowała D. Brzezińska 4

5 Zad. 30. ( 1 pkt ) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa. A. B. C. D. Zad. 31. ( 1 pkt ) Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa A. B. C. D. Zad. 32. ( 1 pkt ) Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. B. C. D. Zad. 33. ( 1 pkt ) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt rozwarcia tego stożka jest równy A. B. C. D. Zad. 34. ( 1 pkt ) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej długości 8. Objętość tego walca jest równa: A. A. A. A. Opracowała D. Brzezińska 5

6 Zad. 35. ( 2 pkt ) Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. Zad. 36. ( 5 pkt ) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad. 37. ( 5 pkt ) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zad. 38. ( 5 pkt ) Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD, odcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że,. Zad. 39. ( 5 pkt ) Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest środkiem krawędzi AB, odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa. Zad. 40. ( 2 pkt ) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka. Zad. 41 Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB, zakreślił walec. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku AD, zakreślił walec. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem. Zad. 42. ( 5 pkt ) Dany jest stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem prostokątnym. Objętość stożka jest równa. Wyznacz pole powierzchni całkowitej stożka. Zad. 43. ( 4 pkt ) Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka. Opracowała D. Brzezińska 6

7 Zad.44. ( 4 pkt) Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi 2 cm. Zbudował z nich duży sześcian o krawędzi 8 cm i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego. Zad.45 ( 4 pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zad. 46.( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 27. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 ( zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Opracowała D. Brzezińska 7

8 ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM ROZSZERZONY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 4 pkt) Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz. Zad.2. ( 5 pkt) Prosta p jest nachylona do płaszczyzny pod kątem o mierze i przecina tę płaszczyznę w punkcie A. Prosta q jest zawarta w płaszczyźnie. Punkt A należy do prostej q. Kąt między prostą q i rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę ma miarę. Wykaż, że kąt ostry między prostymi p i q ma miarę. Zad.3. ( 5 pkt ) Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zad.4. Przekrój sześcianu, płaszczyzną przechodzącą przez przekątna podstawy, jest trapezem. Oblicz miarę kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy, wiedząc, że stosunek długości obu podstaw trapezu jest równy. Zad. 5. ( 6 pkt ) Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem miary. a) Oblicz tangens największego z kątów, dla którego przekrój jest trójkątem. Zaznacz ten kąt wraz z odpowiednim przekrojem na rysunku. b) Otrzymany przekrój sześcianu jest trójkątem. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że płaszczyzna, w której jest on zawarty podzieliła sześcian na dwie bryły, których stosunek objętości wynosi 1:11. Zad. 6. (6 pkt ) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 8. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt. Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę sieczną, która jest równoległa do dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój. Zad. 7. (5 pkt ) W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się 8. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zad. 8. (5 pkt ) Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60. Wysokość jest o 2 większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób przekroju. Zad.9. ( 4 pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa. Miara kata między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa. Oblicz objętość graniastosłupa. Opracowała D. Brzezińska 8

9 Zad. 10. ( 6 pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju. Zad. 11. ( 7 pkt ) Punkt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 8, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt Przez wierzchołek A podstawy, równolegle do przekątnej BD, poprowadzono płaszczyznę sieczną tworzącą z płaszczyzną podstawy ostrosłupa kąt. Sporządź rysunek ostrosłupa, zaznacz otrzymany przekrój i oblicz pole tego przekroju. Zad.12. ( 6 pkt) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami i. a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty. b) Oblicz objętość ostrosłupa. Zad.13. ( 7 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy, a długość 40. Ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem. Oblicz długość promienia kuli opisanej na tym ostrosłupie. Zad. 14. ( 5 pkt ) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H długość wysokości ostrosłupa oraz α miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy. a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa. b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa. Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni. Zad. 15. ( 5 pkt ) Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości. Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H. Zad. 16. ( 4 pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Narysuj rysunek tego ostrosłupa. Zaznacz na tym rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta. Zad. 17. ( 7 pkt ) Podstawa ostrosłupa jest kwadratem. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy ostrosłupa. Najdłuższa krawędź boczna ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy bocznej tego ostrosłupa.. Narysuj rysunek pomocniczy i oblicz pole powierzchni Zad. 18. ( 5 pkt ) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa. Wyznacz objętość tego ostrosłupa. Opracowała D. Brzezińska 9

10 Zad. 19. ( 6 pkt ) Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony kąt dwuścienny. Zad. 20. ( PR- 6 pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju. Zad. 21. ( 6pkt ) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Zad. 22. ( 5 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym = 30, =39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.23. ( 4pkt) Podstawą ostrosłupa jest romb, którego pole wynosi 800, a kąt ostry rombu ma miarę Wysokość ostrosłupa jest równa 24 a spodek tej wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz: a) długość promienia tego okręgu, b) pole powierzchni bocznej ostrosłupa. Zad.24. ( 4 pkt) W ostrosłupie podstawa jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa Zad.25. ( 6pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD ( patrz rysunek obok). Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu B od krawędzi CS jest równa d, a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę, gdzie. Oblicz: a) odległość punktu A od krawędzi CS, b) długość wysokości tego ostrosłupa. Zad.26. ( 3 pkt) Graniastosłup prawidłowy trójkątny jest opisany na kuli o promieniu 2. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Opracowała D. Brzezińska 10

11 Zad. 27. ( 4 pkt ) Pole podstawy stożka jest równe 3, a pole jego powierzchni bocznej jest równe 5. Oblicz objętość tego stożka. Zad. 28. ( 5 pkt ) Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika. Zad.29. ( 6 pkt) W trójkącie dane są:. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta dookoła boku. Zad.30. ( 6 pkt) Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy. Zad.31. ( 3 pkt) Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zad.32. ( 4 pkt) W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do 0,001. Zad.33. ( 6 pkt) W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę wpisano kulę. a) Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli. b) Wyznacz, jeżeli stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy 9:4. Zad.34. ( 4 pkt) Sześcian przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy oraz odcinek, gdzie M jest środkiem krawędzi, zaś - środkiem krawędzi ( zobacz rysunek poniżej). Oblicz cosinus kąta otrzymanego przekroju. Zad.35. ( 5 pkt) Długości wszystkich krawędzi ostrosłupa czworokątnego prawidłowego są równe a. Przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę. Wyznacz sinus kąta nachylenia wyznaczonego przekroju do podstawy ostrosłupa. Zad. 36. ( 5 pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt ABC. Kąt nachylenia krawędzi bocznej AS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi i zawartymi w ścianie bocznej tego ostrosłupa. Oblicz kosinus tego kąta. Opracowała D. Brzezińska 11

12 Zad.37. Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS. Punkt M jest środkiem boku AB i AS jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.. Odcinek Zad.38. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM. Zad.39. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, w którym. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Zad.40. ( 6pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju. Zad.41. ( 5 pkt) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 25. Ściany boczne ABS i BCS mają takie same pola, każde równe 250. Ściany boczne ADS i CDS też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne AS i CS mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.42. ( 6 pkt) Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku. Zad.43. ( 3 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.44. ( 3 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt jest kątem dwuściennym między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Kąt jest kątem przy podstawie ściany bocznej ( tzn. kątem między krawędzią podstawy i krawędzią boczną ostrosłupa). Wykaż, że. Opracowała D. Brzezińska 12

13 Zad.45. ( 4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zad.46. ( 4 pkt) Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD opuszczoną z wierzchołka D na ścianę ACS. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW. Zad.47. ( 4 pkt) Dany jest sześcian ABCDEFGH, którego krawędź ma długość równą 15. Punkty Q i R dzielą krawędzie HG i FG w stosunku 2 : 1, to znaczy. Płaszczyzna AQR przecina krawędzie DH i BF odpowiednio w punktach P i S. Oblicz długości odcinków DP i BS. Zad.48. ( 6 pkt) Kwadrat ABCD o boku długości 1 jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Odcinek HS jest wysokością ostrosłupa, przy czym punkt H dzieli przekątną AC podstawy w stosunku 2 : 1. Krawędzie boczne BS i DS mają długość równą 1. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz długości krawędzi AS i CS. Zad.49. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa 10 cm, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zad.50. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa 10 cm, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem. Uzasadnij, że pole otrzymanego przekroju jest równe. Zad.51. ( 3 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę ( zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.52. ( 5 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kata między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa. Zad. 53. ( 5 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość, jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD. Opracowała D. Brzezińska 13

14 Zad. 54. ( 6 pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa. Zad. 55. ( 5 pkt) Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt P jest środkiem krawędzi BC. Płaszczyzna AHP przecina krawędź CG w punkcie R ( zobacz rysunek). Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty A, H, R i P. Opracowała D. Brzezińska 14