MATURA Przygotowanie do matury z matematyki
|
|
- Weronika Kalinowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część III: Równania i nierówności ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.
2 Witaj, jest to już trzecia część materiałów przygotowujących do matury z matematyki. Dzisiaj odpowiedzi do zadań z działu równania i nierówności. W poniedziałek znajdziesz pod adresem czwartą część powtórki maturalnej. Organizatorami przygotowania do matury są redaktorzy portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Powodzenia, Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl Dziennikarze Gazety Lubuskiej Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności /1
3 Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1: Pierwiastkami równania x 7x 18=0 są: a x= 5 i x=4 b x=0 i x= 1 c x =3 i x=1 d x= i x= 9 Prawidłowa odpowiedź: d) Zadanie : x 1 = x 7x 18=0 = = x = 7 11 = 7 11 = = 7 11 = 9 Zbiór zaznaczony na osi jest rozwiązaniem nierówności: a x 3x 1 0 b x x 15 0 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 3/1
4 c 3x 4x 9 0 d 5x 5x 1 0 Prawidłowa odpowiedź: b) x 5 x 3 =x 3x 5x 15=x x 15 Zadanie 3: Rozwiązaniami równania x 3 x x 6 = 1 14 są: a x=4 i x=9 b x=3 i x=6 c x = 4 i x=5 d x= 5 i x=3 Prawidłowa odpowiedź: a) Wyznaczamy dziedzinę. x x 6 0 Zatem dziedziną jest zbiór R { 3,1}. = =5 1 5 x 1 = =1 1 5 x = = 3 x 3 x x 6 = 1 14 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 4/1
5 14 x 3 =x x 6 14x 4=x x 6 x 13x 36=0 = =5 x 1 = x = = 13 5 =9 = 13 5 =4 Zadanie 4: Rozwiązaniami równania x bx c=0 są x= oraz x= 3. Wynika stąd, że wartości wpsółczynników b i c są równe: a b=3, c= 7 b b=5, c= 1 c b=1, c= 6 d b= 1, c= Prawidłowa odpowiedź: c) Skoro x= jest pierwiastkiem równania, to b c=0. Podobna zależność jest spełniona dla x= 3, czyli 3 b 3 c=0. Otrzymujemy stąd układ równań, o niewiadomych współczynnikach b i c. Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 5/1
6 { 4 b c=0 9 3b c=0 { c= 4 b 9 3b c=0 { c= 4 b 9 3b±4 b=0 { c= 4 b 5b= 5 { c= 4 = 6 b=1 { b=1 c= 6 Zadanie 5: Rozwiąż nierówność x x 0 0. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej. x x 0 0 = =81 x 1 = =4 x = 1 81 = 5 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 6/1
7 Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór x, 5 4,. Zadanie 6: Rozwiąż równanie x 3 5x 7x 35=0. x ( x 5)+7(x 5)=0 (x 5)(x +7)=0 x 5=0 lub x +7=0 Mamy więc jedno rozwiązanie x=5. Drugie równanie jest sprzeczne bo x nie może być równe 7. Zadanie 7: Rozwiąż układ równań. { 3x+4y=33 11x+y=45 { 3x 4y= 33 x+4y=90 19x=57 x=3 4y= y= 4 4 =6 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 7/1
8 Rozwiązaniem jest para liczb { x=3 y=6 Zadanie 8: Andrzej i Michał mają za zadanie pomalować pokój. Razem wykonają całą pracę w ciągu dwóch godzin. Gdyby pracowali oni oddcielnie, to Andrzejowi pomalowanie całego pokoju zajęłoby o 3 godziny dłużej niż Michałowi. W jakim czasie Michał wykonałby całą pracę samodzielnie? Wprowadźmy oznaczenia: x - czas potrzebny Andrzejowi na wykonanie całej pracy. y - czas potrzebny Michałowi na wykonanie całej pracy. 1 x 1 y - oznacza jaką część pracy wykonuje Andrzej w ciągu godziny. - oznacza jaką część pracy wykonuje Michał w ciągu godziny. Z treści zadania wiemy, że Andrzej wykonuje pracę wolniej niż Michał i prawdziwa jest zależność x=y 3. Wiemy, także że Andrzej i Michał pracując razem, pomalują pokój w ciągu dwóch godzin. Zatem prawdziwe jest równanie 1 x 1 y =1 Otrzymaliśmy układ równań. { x =y 3 1 x 1 y =1 1 y 3 1 y =1 y y y 3 y y 3 y 3 =1 Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 8/1
9 y 3 y y 3 =1 y 3 =y y 3 4 y 6=y 3 y y y 6=0 = =5 y 1 = 1 5 =3 y = 1 5 = Ponieważ czas na wykonanie pracy nie może być ujemny, to jedynym rozwiązaniem jest: y=3 Michał wykonałby całą pracę w ciągu 3 godzin. Zadanie 9: Rozwiąż nierówność 3x 1 9x 10. 3x 1 9x 10 Wyznaczamy przedziały, w których będziemy rozwiązywać nierówność. W tym celu porównujemy do zera wyrażenia pod wartością bezwzględną. 3x 1=0 x= x =0 x= 9 Zatem nierówność będziemy rozwiązywać w przedziałach :, 1 3 ], Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 9/1
10 1 3, 9 ], 9,. I. x, 1 3 ] 3x 1 9x 10 1x 9 x 9 1 x 3 4 II. III. Zatem otrzymujemy, że x 3 4, 1 3 ]. x 1 3, 9 ] 3x 1 9x 10 6x 7 x 7 6 Zatem otrzymujemy, że x 1 3, 9 ]. x 9, Zatem otrzymujemy, że x 9, Podsumowanie: 3x 1 9x 10 1x 11 x Sumujemy rozwiązania z wszystkich przypadków i otrzymujemy, że Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 10/1
11 rozwizaniem nierówności jest x 3 4, Zadanie 10: Dla jakich wartości parametru m równanie x m x m=0 ma dwa rozwiązania różnych znaków? Pierwszym warunkiem jaki musi być spełniony, aby równanie miało dwa rozwiązania, to 0. = m 4 1 m= m 4m=m 4m 4 4m=m 4 0 Ten warunek jest spełniony dla wszystkich wartości parametru m. Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki różnych znaków, jeżeli ich iloczyn jest liczbą ujemną x 1 x 0. Aby obliczyć iloczyn pierwiastków równania kwadratowego skorzystamy z wzorów Viete'a. x 1 x = c a Stąd otrzymujemy: x 1 x = m 1 0 m 0 Równanie kwadratowe x m x m=0 ma dwa rozwiązania różnych znaków, jeżeli m 0. Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 11/1
12 Kolejne zadania do powtórek będą dostępne w poniedziałek pod adresem Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu równania i nierówności, które pomogą Ci w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na adres powtorka@matmana6.pl. Redaktorzy serwisu MatmaNa6.pl prowadzą Darmowy Kurs Maturalny z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym, który składa się z ponad 70 lekcji. Każda lekcja zawiera: 1. omówienie wybranego zagadnienia,. ćwiczenia interaktywne, 3. przykłady zadań, 4. zadania maturalne do samodzielnego rozwiązania, 5. rozwiązania zadań z poprzedniej lekcji. Kliknij, aby zapisać się na kurs. Powtórka maturalna > Część III: Równania i nierówności 1/1
MATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część II: Wyrażenia algebraiczne Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część I: Liczby rzeczywiste ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część VI: Trygonometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoMATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część V: Ciągi liczbowe ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoMATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.
MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już ósmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych
Bardziej szczegółowoMATURA Powtórka do matury z matematyki. Część VII: Planimetria ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl
MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VII: Planimetria ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już siódmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych do matury
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część X: Statystyka, kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy
Bardziej szczegółowoMATURA Powtórka do matury z matematyki. Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA. Organizatorzy: MatmaNa6.p l i Dziennik.pl
MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Organizatorzy: MatmaNa6.p l i Dziennik.pl Witaj, otrzymałeś już siódmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych do matury
Bardziej szczegółowoMATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część IX: Stereometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoKURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowo7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100
ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowo3.2. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE.
.. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE. m równania (pierwiastkiem równania) z jedną niewiadomą nazywamy liczbę, która spełnia dane równanie, tzn. jeśli w miejsce niewiadomej podstawimy tę liczbę, to otrzymamy
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowo12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.
matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowo. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Bardziej szczegółowoMatura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP
Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP I Zadania zamknięte (pkt) Zadanie Liczba - jest miejscem zerowym funkcji liniowej = x + B. f ( x) = x C. f ( x) = x + D. f
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoTemat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi
Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoDefinicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =
1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowox+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoW planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)
Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoLekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
Bardziej szczegółowoKURS LICZB ZESPOLONYCH
KURS LICZB ZESPOLONYCH Lekcja 2 Równania zespolone. Pierwiastki drugiego stopnia liczone w postaci kartezjańskiej. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji z matematyki w szkole ponadgimnazjalnej
Scenariusz lekcji z matematyki w szkole ponadgimnazjalnej Temat: Wzory Viete a. Zastosowanie wzorów Viete a w zadaniach. Czas trwania lekcji: dwie jednostki lekcyjne (90 minut) Powiązanie z wcześniejszą
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowo1.8. PRZEDZIAŁY LICZBOWE
.8. PRZEDZIAŁY LICZBOWE Przedziały liczbowe Nazwa zbioru Oznaczenie Warunek, które spełniają liczby naleŝące do zbioru Ilustracja graficzna Przedział otwarty ( b) a, a < x < b Przedział domknięty a, b
Bardziej szczegółowoPendolinem z równaniami, nierównościami i układami
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoDane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.
Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoKlasa 6. Liczby dodatnie i liczby ujemne
Klasa 6 Liczby dodatnie i liczby ujemne gr A str 1/3 imię i nazwisko klasa data 1 Wyobraź sobie, że na osi liczbowej zaznaczono liczby: 6, 7, 1, 3, 2, 1, 0, 3, 4 Ile z nich znajduje się po lewej stronie
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY. Poziom podstawowy
WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowo2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH
WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to
Bardziej szczegółowoNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].
Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji
Bardziej szczegółowoPodstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko
Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa
ymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa Oznaczenia: wymagania konieczne (ocena dopuszczająca), wymagania podstawowe (ocena dostateczna), wymagania rozszerzające (ocena dobra) D wymagania
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA DO ZADAŃ
TURNIRJ MATEMATYCZNY ELIPSA dla klas LO ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ Zadanie. (2 pkt.) Dla jakich wartości parametru m (m R), część wspólna przedziałów A = (, m m i B = 2m 2, + ) jest zbiorem pustym? / Jeśli A
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowo2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3
ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 183264 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dziedzina funkcji
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoAd maiora natus sum III nr projektu RPO /15
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach SCENARIUSZ DWUGODZINNYCH (2 X 45 MINUT) ZAJĘĆ Z MATEMATYKI W KLASIE II LICEUM PROWADZONYCH W CELU UZUPEŁNIENIA WIADOMOŚCI Temat: Doskonalenie umiejętności
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM DZIAŁ: LICZBY WYMIERNE (DODATNIE I UJEMNE) Otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów oceny dopuszczającej, nie jest w stanie na pojęcie liczby naturalnej,
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3
Bardziej szczegółowoWymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO
Wymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO Lekcja Liczba Treści z podstawy godzin programowej I. Liczby rzeczywiste (9 h) 1. Liczby naturalne 1 Przypomnienie ze szkoły podstawowej ułatwiające
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMatematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowo