Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Transkrypt

1 Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami osi liczbowej i liczbami rzeczywistymi. Zaznaczony punkt na osi liczbowej oznacza ustaloną liczbę rzeczywistą. Zatem jest odległością liczby jest odległością liczby Ponieważ jest liczbą ujemną mniejszą niż, a 2 jest liczbą większą od 1, więc spełniona jest nierówność bo odległość od do 2 jest większa niż do. Zadanie 2 Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej, 25

2 Zadanie 3 Skorzystamy z definicji logarytmu, gdyż, gdyż 2,5 Zadanie 4 Rys.4 Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku zauważając, że styczna jest prostopadła do promienia suma kątów w trójkącie jest równa suma kątów przyległych jest równa Trójkąt COA jest równoramienny, bo okręgu mają równe długości. gdyż promienie tego samego Zatem Zadanie 5

3 Symbol oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu, zaś Zatem 26 Zadanie 6, Zadanie 7 W zbiorze liczb jest 5 cyfr, a kody tworzone z tych cyfr mają mieć po 3 znaki, które mogą się powtarzać np. Szukamy więc liczby uporządkowanych trójek cyfr z podanego zbioru i z możliwością powtórzeń. Pierwszy znak kodu możemy wybrać na 5 sposobów. Drugi na 5 sposobów. Trzeci na 5 sposobów.

4 Na każdy pierwszy znak przypada 5 drugich, więc wybranie pierwszych dwóch znaków kodu daje możliwości. Na każdy układ z jest więc przypada 5, które zajmą trzecie miejsce. Wszystkich 125 Zadanie 8 Zadanie 9 Oznaczenie zdarzenie polegające na wylosowaniu króla tyle jest wszystkich możliwości losowania 1 karty tyle jest możliwości wylosowania króla Korzystamy z definicji klasycznej prawdopodobieństwa

5 Zadanie 10 Dowolny trójkąt prostokątny obracamy wokół przeciwprostokątnej c. Na rysunku Rys 7 Otrzymujemy dwa stożki sklejone podstawami o wysokościach Skoro wysokości mają mieć równe długości, to Wtedy W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli więc przeciwprostokątną na połowy. Rys. 8 Trójkąty są prostokątne o wspólnym boku i Zatem co oznacza, że trójkąt musi być trójkątem równoramiennym. Równoramienny Zadanie 11 Możemy zadanie rozwiązać dwoma sposobami

6 1. Sprawdzać kolejno podstawiając współrzędne punktów do podanych równań pamiętając, że jest pierwszą współrzędną a drugą. 2. Rozwiązując układ równań, ustalając punkty przecięcia krzywych i wybierając z podanych punktów odpowiedź. Stosujemy metodę 2. Oba podane równania spełniają dwa punkty Zadanie 12 Rys 10 Oznaczenia Długość półokręgu

7 Po zwinięciu półkola powstał stożek, w którym tworząca długość okręgu w podstawie jest równa 6cm Zadanie 13 Otrzymujemy trzy rozwiązania: Odp Zadanie 14 Wynikiem jest wielomian

8 Zadanie 15 Zadanie 16 Oznaczenie Stosujemy wzór na pole powierzchni kuli Stosujemy wzór na objętość kuli

9 Zadanie 17 Oznaczenia Podajemy wzory na pola powierzchni sześcianów Do dwukrotnym zwiększeniu długości krawędzi sześcianu pole zwiększy się Podajemy wzory na objętości sześcianów Po dwukrotnym zwiększeniu długości krawędzi sześcianu objętość zwiększy się ośmiokrotnie. Pole 4 razy większe, objętość 8 razy większa. Zadanie 18 Ustalamy dziedzinę funkcji

10 Zadanie 19 Sposób I Ponieważ na osi zaznaczony jest przedział domknięty, to nie jest on rozwiązaniem nierówności drugiej i czwartej. Pozostają do rozwiązania nierówności pierwsza i trzecia. Sposób II Można rozwiązywać każdą z nierówności i porównywać odpowiedź z podanym przedziałem. Zastosujemy drugi sposób. Rys.12 Na rysunkach zaznaczone są szkice wykresów funkcji kwadratowych o pierwiastkach Miejscami zerowymi funkcji są liczby Korzystamy z wykresu

11 0 Miejscami zerowymi funkcji są liczby Korzystamy z wykresu Miejscami zerowymi funkcji są liczby Korzystamy z wykresu Miejscami zerowymi funkcji są liczby Korzystamy z wykresu Jedynie rozwiązanie nierówności osi. jest zgodne z zaznaczonym przedziałem na Odp Zadanie 20 Prosta ma współczynnik kierunkowy równy, bo równanie można zapisać w postaci Wobec warunku równoległości prostych musi zachodzić

12 Zatem Zadanie 21 Obliczamy podatek Cena końcowa Zadanie 22 Z danego wyrazu wybieramy po 2 litery i tworzymy wyraz mający sens lub nie. Litery w tym wyrazie nie powtarzają się. Możemy to zrobić następująco: pierwszą literę wybieramy na drugą literę dobieramy do pierwszej już na Wszystkich wyrazów będzie. Z treści zadania

13 Można rozwiązać równanie kwadratowe albo zgadnąć liczbę naturalną, która po pomnożeniu przez liczbę o 1 mniejszą da 30. Trzeba ją poszukać wśród podzielników liczby 30. Taką liczbą jest, bo 6 Zadanie 23 Rys.13 Oznaczenia Z trójkąta zaznaczonego na rysunku 8 Zadanie 24 Rys 14 Oznaczenia

14 Trójkąt jest równoboczny, to jest średnicą podstawy stożka i i Ponieważ przekrój poprzeczny przechodzi przez środek wysokości, to i skala podobieństwa jest równa, wtedy Z treści zadania pole koła o średnicy jest równe Obliczamy objętość stożka Zadanie 25 Rys.15

15 W sześcian został wpisany ośmiościan foremny, którego każda ściana jest trójkątem równobocznym. Sześcian ma 8 wierzchołków i 6 ścian Ośmiościan ma 6 wierzchołków i 8 ścian Podajemy liczbę krawędzi sześcian ma 12 krawędzi ośmiościan ma 12 krawędzi Obie bryły: Zadanie 26 (2pkt) Rys.2 ZADANIA OTWARTE Z rysunku widać, że prosta ma z parabolą dwa punkty wspólne i nie przecina okręgu. Sprawdzamy czy prosta nie przecina okręgu rozwiązując układ równań

16 Równanie nie ma rozwiązania, więc prosta nie ma punktu wspólnego z okręgiem. Funkcja ma miejsca zerowe. Ustalamy współrzędne wierzchołka W paraboli Dla punkt na prostej ma rzędną 2, która jest mniejsza od stąd punkt W leży powyżej prostej i prosta musi przecinać parabolę w 2 punktach. Ustalamy punkty wspólne paraboli i prostej Sposób 1. Rozwiązujemy układ Punkty Sposób 2. Można odczytać z wykresu punkty wspólne prostej i paraboli I wtedy trzeba sprawdzić czy te punkty spełniają równania prostej i paraboli, co łatwo jest widoczne.

17 2 punkty: Zadanie 27 (2pkt) Sposób 1. Dla Zastosowaliśmy wzór na kwadrat różnicy. Sposób 2. Dla Zastosowaliśmy wzór na różnicę kwadratów. Sposób 3. Dla Skorzystaliśmy z własności kwadratu liczby W każdym sposobie po przekształceniu występuje dla. i nie otrzymamy Ale przyrównajmy,

18 podanym zbiorze. zachodzi tylko dla, a więc jest sprzeczna w Zadanie 28 (2pkt) Sprawdzamy czy uzyskane pierwiastki mogą być: Ponieważ, zatem w zależności od wyboru kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy Zadanie 29 (3pkt) Równanie jest kwadratowe. Obliczamy.

19 Rozwiązujemy równanie w 3 przypadkach Dla Równanie ma postać i jedno rozwiązanie Dla równanie ma dwa rozwiązania lub Dla równanie jest sprzeczne czyli ma zero rozwiązań.

20 to 1 rozwiązanie; to 2 rozwiązania; to 0 rozwiązań ) a) Wykres funkcji przecina oś w punktach, które są miejscami zerowymi funkcji. b) Osią symetrii paraboli jest prosta równoległa do osi i przechodząca przez wierzchołek paraboli. Taką prostą jest. c) Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi Zatem a) b) c) Zadanie 31 (2pkt) Porządkujemy dane malejąco: a) Wpisujemy dane do tabeli w 2-ej kolumnie. Różnice danych od maksymalnej liczby punktów, którą mogą uzyskać zawodniczki, wpisujemy do 3-ej kolumny. Lp. Dane Różnice Razem Obliczamy średnią danych z 2-ej kolumny

21 Obliczamy średnią różnic z 3-ej kolumny Średnio najlepszym zawodniczkom na etapie przedstawiania uzyskanych ilości punktów brakowało do 800 punktów 395, ale zdobyły więcej, bo średnio 405 punktów, wykazały więc dość wysoki poziom w tej dyscyplinie. b) Medianę wyników odczytujemy z podanych liczb uporządkowanych malejąco: Ponieważ liczba danych jest nieparzysta, to z podanego ciągu wybieramy wynik środkowy Liczba ta dzieli zestaw danych na takie, które są od niej większe (lepsze zawodniczki) i które są od niej mniejsze (słabsze zawodniczki). Wynik 4-ej zawodniczki na liście ustala ten podział., Zadanie 32 (3pkt) Korzystamy ze wzoru gdzie Oznaczenia czas przejazdu drogi z prędkością

22 czas przejazdu drogi z prędkością Obliczamy średnią prędkość na całej trasie Zadanie 33 (4pkt) Trójkąty są podobne, bo i i kąty odpowiadające są równe. Oznaczenia wysokość trójkąta wysokość trójkąta Z podobieństwa co oznacza, że skala k podobieństwa tych trójkątów spełnia warunek i wynosi. Zatem stosunek wysokości trójkątów jest równy

23 Stąd skala podobieństwa trójkątów Z równoległości odcinków i czworokąt jest równoległobokiem i oraz jego wysokością jest h. Zadanie 34 (5pkt) Rys.9 Oznaczenia a) Z trójkąta

24 Obliczamy promień półokręgu tworzącego ucho kubka Długość ucha kubka [cm] b) W czworokącie wielkie koło kuli musi być styczne do oraz powinno być albo rozłączne z odcinkiem albo do niego styczne. Sprawdzamy więc czy wielkie koło kuli jest wpisane w trapez co jest prawdą, gdyż. Wysokość stożka jest średnicą kuli. Zatem a) 10,55cm b) 243,22