12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

Transkrypt

1 matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem =, np.: 4 x 7 x ; log x 4 ; x 0 ; itp. 4 Nierówność to dwa wyrażenia algebraiczne połączone jednym ze znaków: <,,, >, np.:,5 7x ; x 7 ; x 4 4 ; itp. x. Co to jest pierwiastek równania oraz zbiór rozwiązań nierówności? Pierwiastkiem (rozwiązaniem) równania /rozwiązaniem nierówności z niewiadomą x nazywamy każdą liczbę, która spełnia to równanie /tę nierówność, tzn. taką liczbę, która wstawiona w miejsce x zmienia równanie /nierówność w zdanie prawdziwe.. Jakie równania nazywamy oznaczonymi, tożsamościowymi, sprzecznymi? W zależności od liczby rozwiązań równania dzielimy na: - oznaczone gdy jest skończona ilość rozwiązań, - tożsamościowe - gdy jest nieskończona ilość rozwiązań, - sprzeczne - gdy brak rozwiązań. 4. Jakie równania /nierówności nazywamy równoważnymi i jak je otrzymujemy? Równania /nierówności nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań i równe dziedziny. Równania / nierówności równoważne otrzymujemy między innymi: - dodając (lub odejmując) do obu stron równania /nierówności to samo wyrażenie, - mnożąc (lub dzieląc) obie strony równania /nierówności przez tę samą liczbę lub wyrażenie różne od zera, pamiętając przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną lub wyrażenie o wartości ujemnej o zmianie znaku nierówności na przeciwny, tzn. > na <; < na >; na ; na. Równania /nierówności rozwiązujemy przekształcając je kolejno na równania /nierówności równoważne.

2 matematyka / 5. Jakie równania /nierówności nazywamy liniowymi? Równanie liniowe ma postać ax b 0, gdzie a, b R ( a współczynnik przy niewiadomej x; b wyraz wolny; x niewiadoma). Nierówność liniowa ma jedną z postaci: ax b 0; ax b 0; ax b 0 lub ax b 0, gdzie a, b R. 6. Co to jest układ równań liniowych? Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy ax b y c układ postaci:, gdzie a b 0 i a b 0. ax b y c Układ równań liniowych może być: oznaczony (gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie); nieoznaczony (gdy ma nieskończoną liczbę rozwiązań); lub sprzeczny (gdy zbiór rozwiązań jest pusty). 7. Znane Ci metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y: a. metody algebraiczne: - metoda podstawiania, - metoda przeciwnych współczynników, b. metoda graficzna. II. Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i otwartych). Przykład. Jeżeli y x x, to wartość wyrażenia, gdy y 0, jest równa: y A., B., C. Rozwiązujemy równanie: y x, D.. y x y x x y Wykorzystujemy ten związek obliczając wartość wyrażenia =. y y Odpowiedź B.

3 matematyka / Przykład. x Zbiorem rozwiązań układu nierówności x, B. ; A. ; jest przedział:, C. ;, D. ;. Rozwiązujemy obie nierówności i szukamy części wspólnej obu rozwiązań (bo w układzie równań /nierówności muszą być spełnione oba warunki): x x / x x x 4 / : x x x Oba warunki jednocześnie spełniają liczby z przedziału ;. Odpowiedź D. Przykład. Zosia i Ania kupiły w barze każda po dwie kiełbaski. Zosia poleciła usmażyć tylko jedną i zapłaciła za dwie 7,50 zł, a Ania poleciła usmażyć dwie i zapłaciła 9 zł. Wynika z tego, że jedna nieusmażona kiełbaska kosztuje: A.,50 zł, B.,5 zł, C.,75 zł, D. zł. Ponieważ jest to zadanie typu testowego, to możemy przeprowadzić nieskomplikowane rozumowanie:. usmażenie jednej kiełbaski kosztuje 9-7,5 =,5 zł,. jedna kiełbaska usmażona kosztuje 9: = 4,5 zł, więc. kiełbaska nieusmażona kosztuje 4,5 -,5 = zł. Odpowiedź D. Jako zadanie otwarte należałoby raczej rozwiązać je np. przy pomocy układu równań: Wprowadzamy oznaczenia, np.: k cena jednej kiełbaski; s cena usmażenia jednej kiełbaski. Wówczas dla Zosi mamy: k+s = 7,5 a dla Ani: k+s = 9. Otrzymujemy w ten sposób układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi, który rozwiązujemy k s 7,5 / k s 9

4 matematyka /4 k s 7,5 k s 9 Dodajemy te równania stronami (czyli stosujemy metodę przeciwnych współczynników współczynniki przy niewiadomej k są teraz i ). Otrzymujemy: k s k s 7,5 9 s,5 Wstawiamy tę wartość do jednego z równań i obliczamy interesującą nas wartość s, np.: k,5 7,5 k 7,5,5 k 6 / : k, czyli nieusmażona kiełbaska kosztuje zł. Odpowiedź D. Przykład 4. Jeśli b biletów zostanie rozdzielonych równo miedzy trzy szkoły, to każda z tych szkół otrzyma 5 biletów mniej, niż gdyby były one rozdzielone pomiędzy dwie szkoły. Oblicz liczbę b biletów. Jeśli b biletów zostanie rozdzielonych równo miedzy trzy szkoły, to każda z tych szkół otrzyma b biletów. Gdyby były one rozdzielone równo pomiędzy dwie szkoły, to każda z nich otrzymałaby b biletów. Z treści zadania wiemy, że b jest o 5 mniejsze od b. Układamy równanie: b +5 = b (aby móc postawić znak równości musimy 5 dodać po stronie mniejszego wyrażenia) i rozwiązujemy je: b +5 = b / 6 6 b b b 50 b 50 b b b 50 Odpowiedź: Rozdzielono 50 biletów. Możemy jeszcze sprawdzić sobie poprawność wyniku: przy podziale między trzy szkoły, każda z nich otrzymałaby po 50: = 50 biletów, a przy podziale między dwie szkoły, każda z nich otrzymałaby po 50: = 75 biletów, czyli o 5 więcej, co zgadza się z treścią zadania.

5 matematyka /5 Przykład 5. Za 5 lat córka będzie 4 razy młodsza od mamy, a za 0 lat mama będzie razy starsza od córki. Ile lat ma teraz każda z nich? Najłatwiej rozwiązać takie zadanie konstruując tabelkę: Teraz Za 5 lat Za 0 lat Wiek córki x x+5 x+0 Wiek mamy y y+5 y+0 Następnie tworzymy układ równań (jedno równanie do sytuacji za 5 lat, a drugie za 0 lat): 4 5 y 5 x 0 y 0 x i rozwiązujemy go: 0 y 5 x 0 y 0 y 5 0 x y 0 0 / y 5 x y 0 y x y 5 0 x 5 5 y 0 5 y 0 y 0 5 y 5 Odpowiedź: Obecnie córka ma 5 lat a jej matka 5 lat. Rzeczywiście: za 5 lat córka będzie w wieku 0 lat, czyli będzie 4 razy młodsza od matki (40 lat); natomiast za 0 lat matka (45 lat) będzie razy starsza od córki (5 lat).

6 matematyka /6 ZADANIA DO ROZWIĄZANIA Zadanie. ( pkt) Jeżeli liczbę a zmniejszymy o 4, to otrzymamy 4 tej liczby. Liczba a jest równa: A., B. 5 Zadanie. ( pkt) 5, C. Jeżeli 0 x 7, to x nie może być równe:, D. 4. A., B. 7, C. -, D. 0. Zadanie. ( pkt) Każdemu z układów równań: x y x y 6x y... x y x y 4 x y 6 przyporządkuj odpowiadającą mu interpretację geometryczną przedstawioną na rysunku: Odczytaj z wykresów liczbę rozwiązań układu równań i podaj rozwiązanie układu oznaczonego. Zadanie 4. ( pkt) Michał ma tyle samo braci co i sióstr, a jego siostra ma dwa razy więcej braci niż sióstr. Ile dzieci jest w tej rodzinie? Uwaga: Postaraj się rozwiązać to zadanie przy pomocy równania lub układu równań.