Projekcje (rzuty) Sferyczna, stereograficzna, cyklograficzna,...

Transkrypt

1 Projekcje (rzuty) Sferyczna, stereograficzna, cyklograficzna,...

2 Rzut sferyczny (projekcja sferyczna) Kryształ zastępuje się zespołem płaszczyzn i prostych równoległych do odpowiadających im płaszczyzn i prostych krystalicznych w krysztale, lecz przechodzących przez jeden punkt. Ten punkt to środek zespołu, a całość to zespół krystaliczny. W zespole zachowane są zależności między kątami.

3 Projekcja sferyczna bezpośrednia Zespół umieszcza się w środku kuli o dowolnym promieniu i przedłuża się proste i płaszczyzny aż do przecięcia się z powierzchnią kuli. Powstałe na sferze ślady przebicia są ich projekcjami. Projekcją kierunku jest punkt, a płaszczyzny koło.

4 Projekcja sferyczna pośrednia Jeżeli w zespole zastąpimy płaszczyzny prostymi do nich prostopadłymi, a kierunki płaszczyznami do nich prostopadłymi, to otrzymamy projekcję sferyczną pośrednią. Projekcją kierunku jest koło, a płaszczyzny punkt.

5 Projekcja sferyczna Punkty przecięcia prostych ze sferą bieguny (odpowiadają płaszczyznom lub kierunkom)

6 Projekcja stereograficzna i cyklograficzna Projekcja sferyczna daje wynik 3D, czyli trudny do używania. Dlatego dalszym krokiem jest wytworzenie płaskiego obrazu. globus mapa

7 Projekcja stereograficzna i cyklograficzna W tym celu: sferę projekcji przecinamy poziomą płaszczyzną (płaszczyzną projekcji) przechodzącą przez środek sfery. Wielkie koło wewnątrz sfery to koło projekcji. oś projekcji biegun punkty oczne koło projekcji

8 Projekcja stereograficzna i cyklograficzna Następnie: Łączymy biegun z punktem ocznym na przeciwległej półkuli. Punkt przecięcia tej prostej z kołem projekcji jest projekcją.

9 Zasada rzutu stereograficznego z normalna do ściany hkl płaszczyzna rzutowania obserwator rzut

10 Projekcja stereograficzna N P Q punkt oznacza się pustym symbolem, jeśli rzutowany biegun jest poniżej koła projekcji S punkt oznacza się pełnym symbolem, jeśli rzutowany biegun jest ponad kołem projekcji

11

12 Projekcja stereograficzna i cyklograficzna Projekcja cyklograficzna: jeżeli punktem wyjścia jest projekcja sferyczna bezpośrednia; Projekcja stereograficzna: jeżeli punktem wyjścia jest projekcja sferyczna pośrednia;

13 Projekcja stereograficzna i cyklograficzna projekcja stereograficzna: obrazem kierunków są elipsy i koła; obrazem płaszczyzn są punkty; projekcja cyklograficzna: obrazem kierunków są punkty; obrazem płaszczyzn są elipsy i koła.

14 Przykład: projekcja stereograficzna ścian sześcianu Sześcian orientujemy tak, że oś c jest skierowana pionowo w gorę, w stronę punktu ocznego N.

15 Przykład: projekcja stereograficzna ścian sześcianu Punkty i linie na zewnętrznej sferze to projekcja sferyczna Płaszczyzny = punkty (bieguny)

16 Przykład: projekcja stereograficzna ścian sześcianu Szara powierzchnia = płaszczyzna projekcji Fig 6.5 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons

17 Przykład: projekcja stereograficzna ścian sześcianu A C B C B A

18 Przykład: projekcja stereograficzna ścian sześcianu

19 Przykład: projekcja cyklograficzna ścian sześcianu

20 Do czego służy ta zabawa: Do graficznego opisywania kątów między ścianami, kierunkami itd. Kąt między płaszczyznami w krysztale = kąt między kierunkami prostopadłymi do płaszczyzn. Obie projekcje zachowuje kąty.

21 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? Kąt (biegunowy) ρ -kąt między osią c i biegunem odpowiadającym płaszczyźnie krystalicznej, mierzony w dół od bieguna północnego. Kąt φ kąt mierzony na płaszczyźnie poziomej, od osi b (zerowego południka) w kierunku wskazówek zegara.

22 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? przykład: kąty ρ i φ płaszczyzny (111) w krysztale o strukturze regularnej

23 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? D i E projekcja sferyczna D' i E' projekcja stereograficzna Odległość GD' = f(ρ) gdy ρ 90 D G gdy ρ 0 D O Fig 6.6 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons

24 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? O ρ x ρ/2 Ściśle mówiąc: x R = tg ρ 2

25 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? Zatem, 2-D odległości od środka płaszczyzny projekcji i kąty są ze sobą związane. Fig 6.5 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons

26 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? Np. małe koła (gdy środek koła leży na osi projekcji): Tym samym kątom ρ odpowiadają okręgi o różnym promieniu

27 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? Np. małe koła (gdy środek koła nie leży na osi projekcji); Obrazem jest koło, ale środkiem koła nie jest obraz osi stożka.

28 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? Np. wielkie koła Obrazem wielkiego koła w płaszczyźnie równikowej jest koło ograniczające płaszczyznę rzutu; Obrazem wielkiego koła pionowego jest linia prosta

29 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? Wielkie koła Obrazem wielkich kół nachylonych pod kątem do płaszczyzny równikowej są krzywe (wycinki kół);

30 Jak odczytać kąty z projekcji stereograficznej? W praktyce do prezentacji rzutu stereograficznego stosuje się siatkę południków i równoleżników zwaną siatką Wulfa, mającą następujące cechy: Oś z przebija siatkę w środku koła Ściany równoległe do osi z - pas (hk0) stanowi wielkie koło projekcji Dodatni biegun osi x znajduje się pod płaszczyzną projekcji

31 pas osi x pas osi y oś z oś y oś x

32 Proste linie = pionowe płaszczyzny Koło równikowe = płaszczyzna pozioma ρ Wielkie koła = nachylone płaszczyzny

33 Siatka Wulfa ρ ϕ

34 Znajdowanie kątów między płaszczyznami Aby znaleźć kąt między płaszczyznami w krysztale trzeba: zrobić rzut stereograficzny kryształu; sprowadzić bieguny odpowiednich płaszczyzn na ten sam południk lub równoleżnik (przez obrót);

35