Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
|
|
- Wanda Chmielewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a) euklidesową, b) rzeczną, c) kolejową, d) motylków Niemyckiego, e) Zariskiego, f) produktu kartezjańskiego prawych strzałek i g) produktu kartezjańskiego prostych z topologią Zariskiego, a prosta w topologię przedziałów, euklidesową, strzałek lub Zariskiego. Jak w wiemy z wykładu, aby zbadać ciągłość funkcji z płaszczyzny na prostą wystarczy sprawdzić czy przeciwobrazy zbiorów bazowych topologii na prostej są zbiorami otwartymi na płaszczyźnie wyposażonej w jedną w wymienionych wyżej topologii. Będziemy rozważać następujące zbiory bazowe: 1. W topologii lewych przedziałów zbiory (, x), gdzie x jest liczbą wymierną 2. W topologii prawych przedziałów zbiory (x, ), gdzie x jest liczbą wymierną 3. W topologii euklidesowej odcinki otwarte o końcach wymiernych (a, b) 4. W topologii lewej strzałki odcinki (a, b] 5. W topologii prawej strzałki odcinki [a, b) Przyjrzyjmy się jak wyglądają przeciwobrazy powyższych zbiorów bazowych. Dla topologii lewych przedziałów mamy: 1. zbiór pusty dla dla x 0 2. dla x > 0 (rys.1) 1
2 3. gdy a 0: (rys.4) 2 Dla topologii prawych przedziałów: 1. cała przestrzeń dla x 0 2. dla x > 0 (rys.2) Dla topologii euklidesowej 1. gdy a < 0 i b 0 mamy zbiór pusty 2. gdy a < 0 i b > 0: (rys.3)
3 Dla topologii lewej strzałki mamy: 1. gdy a < 0 i b < 0 mamy zbiór pusty 2. gdy a < 0 i b = 0 punkt (0, 0) 3. gdy a < 0 i b > 0: (rys.5) 4. gdy a 0 i b > 0 mamy: (rys.6) 3
4 Wreszcie dla topologii Zariskiego zbiory otwarte są postaci: cała przetrzeń bez skończonej liczby punktów. Przeciwobrazem takiego zbioru otwartego jest cała przestrzeń z wyrzuconą skończoną liczbą okregów: (rys.9) 4 Dla topologii prawej strzałki mamy: 1. gdy a < 0 i b < 0 mamy zbiór pusty 2. gdy a 0 i b > 0: (rys.7) 3. gdy a > 0 i b > 0 mamy: (rys.8)
5 Będziemy teraz kolejno rozważać czy przeciwobrazy zbiorów prostej, wyposażonej kolejno w topologię przedziałów, euklidesową, strzałek i Zariskiego, są otwarte na płaszczyźnie wyposażonej w kolejne topologie od a) do g). topologia euklidesowa Przeciwobrazy zbiorów bazowych topologii euklidesowej to odpowiednio: zbiór pusty, kula otwarta (rys.3) i pierścień (rys4); 2 pierwsze zbiory są oczywiście otwarte w topologii euklidesowej. Zauważmy, że zbiorem otwartym jest także pierścień; dla każdego punktu możemy wziąć kulę należącą do tego zbioru o promieniu r 4, gdzie r jest odległością danego punktu od najbliższego brzegu zbioru. Stąd mamy, że pierścień także jest otwarty w topologii euklidesowej, czyli dla prostej wyposażonej w topologię euklidesową, f jest ciągła. Ponieważ, jak wiemy z ćwiczeń, topologia Zariskiego, lewych i prawych przedziałów zawiera się w topologii euklidesowej, więc z ciągłości funkcji dla topologii euklidesowej wynika ciągłość funkcji dla tych 3 topologii. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii euklidesowej, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia rzeczna Topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawiera się w topologii rzecznej. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Z tego wynika, że zbiory otwarte w topologii euklidesowej są również otwarte w topologii rzecznej. A stąd już mamy, że dla topologii przedziałów, euklidesowej i Zariskiego na prostej z ciągłości funkcji f w topologii euklidesowej na płaszczyźnie wynika ciągłość f w topologii rzecznej. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii rzecznej, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia kolejowa Topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawiera się w topologii kolejowej. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Z tego wynika, że zbiory otwarte w topologii euklidesowej są również otwarte w topologii kolejowej. A stąd już mamy, że dla topologii przedziałów, euklidesowej i Zariskiego na prostej z ciągłości funkcji f w topologii euklidesowej na płaszczyźnie wynika ciągłość f w topologii kolejowej. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, 5
6 w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii kolejowej, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia motylków Niemyckiego Topologia motylków Niemyckiego na płaszczyźnie zawiera topologię euklidesową na płaszczyźnie. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Korzystając z przypadku topologii euklidesowej mamy od razu ciągłość f, gdy prosta wyposażona jest w topologię euklidesową, Zariskiego oraz przedziałów. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (Rys.6) i punkt leżacy na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (rys.4). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii motylków Niemyckiego, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia Zariskiego W topologii Zariskiego f nie jest ciągła w żadnym przypadku. Dla prostej wyposażonej w kolejne topologie zawsze możemy znaleźć przeciwobraz zbioru otwartego zawierający nieskończenie wiele punktów, więc nie jest to zbiór otwarty w topologii Zariskiego. topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek Topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek zawiera topologię euklidesową na płaszczyźnie. Wykażemy ten fakt w drugiej części naszej pracy. Korzystając z tego przypadku mamy od razu ciągłość f, gdy prosta wyposażona jest w topologię euklidesową, Zariskiego oraz przedziałów. Pozostały nam przypadki lewej i prawej strzałki. W obu tych przypadkach f nie jest ciągła. Rozważmy przeciwobraz zbioru (a, b] w topologii lewej strzałki i zbioru [a, b) w topologii prawej strzałki dla a, b > 0. Weźmy punkt leżący w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych na większym okręgu ograniczającym pierścień, będący przeciwobrazem, w przypadku lewej strzałki (rys.6) i punkt leżacy w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych na mniejszym okręgu ograniczającym pierścień w przypadku prawej strzałki (Rys.8). W obu przypadkach nie istnieje zbiór otwarty zawierający się w pierścieniu i zawierający dany punkt. Każdy zbiór otwarty zawierający dany punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Pierścienie nie są więc otwarte w topologii produktu kartezjańskiego prawych strzałek, co implikuje, że f nie jest ciągła. topologia produktu kartezjańskiego prostych z topologią Zariskiego Dla topologii produktu kartezjańskiego f nie jest ciągła w żadnym przypadku. Dopełnienia rzutów przeciwobrazów zbiorów otwartych są nieskończone, więc przeciwobrazy zbiorów otwartych nie są otwarte w topologii Zariskiego. 6
7 Podsumujmy nasze wyniki w tabeli. W tabeli znak + oznacza ciągłość, znak oznacza, że f nie jest ciągła. topologie prostej\topologia przestrzeni a) b) c) d) e) f) g) topologia lewych przedziałów topologia prawych przedziałów topologia euklidesowa topologia lewej strzałki topologia prawej strzałki topologia Zariskiego W drugiej części naszej pracy zajmiemy się badaniem ciągłości funkcji g(x, y) = (x + y, x y). Łatwo wykazać, że funkcja g(x, y) jest bijekcją, a więc istnieje funkcja odwrotna, mająca wzór g 1 (x, y) = ( x+y 2, x y 2 ). Możemy ją zapisać jako g 1 x cos α y sin α (x, y) = ( x sin α+y cos α 2, ( 2 )), gdzie α = 315. Czyli funkcja g 1 (x, y) jest złożeniem obrotu o kąt 315 wokół punktu (0, 0), przemnożenia obu współrzędnych przez 1 2 oraz symetrii osiowej względem osi OX. Na wstępie badania ciągłości, pokażemy wzajemne zawieranie się niektórych topologii na płaszczyźnie. 1. Topologia euklidesowa Topologia Niemyckiego Wynika to z definicji topologii Niemyckiego, która generowana jest przez zbiory bazowe z topologii euklidesowej oraz zbiory postaci dwóch kół otwartych, stycznych w punkcie na osi OX. 2. Topologia euklidesowa Topologia Rzeczna Zbadajmy zbiory bazowe topologii euklidesowej postaci, jak na rysunku poniżej i sprawdźmy czy są otwarte w topologii rzecznej. Jeżeli tak, to wszystkie zbiory otwarte w topologii euklidesowej są zawarte w topologii rzecznej. Niech zbiór U będzie kołem otwartym w topologii euklidesowej, niezawierającym punktów (x, 0). 7
8 Dla każdego punktu x, możemy wybrać odcinek postaci {a} { ɛ 2, ɛ 2 }, gdzie a jest pierwszą współrzędna rozważanego punktu, a ɛ jest najmniejszą odległością wybranego punktu od brzegu koła. Wybrany odcinek jest otwarty w topologii rzecznej. Wtedy x {a} { ɛ 2, ɛ 2 } U. W przypadku kiedy wybrane koło zawiera punkt (x, 0) możemy dobrać taki prostokąt symetryczny względem osi OX, zawierający punkt (x, 0), który jest otwarty w topologii rzecznej i jest jednocześnie zawarty w okręgu otwartym w topologii euklidesowej, np. dla punktu (a, 0), którego najmniejsza odległość od brzegu koła wynosi ɛ weźmy kwadrat otwarty o wierzchołkach w punktach (a ɛ 2, ɛ 2 2 ɛ ), (a + 2 2, ɛ 2 2 ɛ ), (a 2 2, ɛ 2 2 ), 2 (a+ ɛ 2, ɛ 2 2 ). Kwadrat ten jest otwarty w topologi rzecznej oraz zawiera się w zbiorze U, co pokazuje 2 poniższy rysunek: Z tego wniosek, że dla każdego punktu ze zbioru U wybraliśmy zbiór otwarty w topologii rzecznej, zawierający ten punkt i zawierający się w zbiorze U. Czyli koła otwarte, będące bazą topologii euklidesowej są otwarte w topologii rzecznej, czyli zbiory otwarte w topologii euklidesowej są otwarte w topologii rzecznej. 3. Topologia euklidesowa Topologia kolejowa Jak poprzednio badamy zbiory bazowe z topologii euklidesowej U będące kołami otwartymi. Jeżeli punkt (0, 0) nie należy do zbioru U to dla każdego punktu, którego najmniejsza odległość od brzegu zbioru U wynosi ɛ weźmy zbiór I(v, ɛ 2 ), gdzie v = (x). Zbiór I(v, ɛ 2 ) jest oczywiście otwarty w topologi kolejowej, zawiera punkt x i jest zawarty w zbiorze U. Jeżeli zbiór U zawiera punkt (0, 0) i najmniejsza odległość wynosi ɛ to weźmy kwadrat otwarty K o wierzchołkach ( ɛ 2, ɛ 2 2 ), ( ɛ 2 2, ɛ 2 2 ), ( ɛ 2 2, ɛ 2 2 ), 2 ( ɛ 2, ɛ 2 2 ), co przedstawia rysunek: 2 8
9 Oczywiście zbiór K jest otwarty w topologi kolejowej, zawiera punkt (0, 0) i jest zawarty w zbiorze U. Czyli dla każdego punktu ze zbioru U możemy znaleźć zbiór otwarty w topologii kolejowej, zawierający ten punkt i zawierający się w zbiorze U, czyli zbiór U jest otwarty w topologii kolejowej. Stąd, że zbiór U jest bazowy w topologii euklidesowej, wynika, że każdy zbiór otwarty w topologii euklidesowej jest otwarty w topologii kolejowej. 4. Topologia euklidesowa Topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek Topologia euklidesowa na płaszczyźnie jest topologią produktową prostych R z topologią euklidesową na prostej. Wiemy, że topologia euklidesowa na prostej zawiera się w topologii prawych strzałek na prostej. Z tego wynika, że topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawiera się w topologii produktowej prawych strzałek. 5. Topologia Zariskiego Topologia produktu prostych z topologią Zariskiego. Zbiory bazowe topologii produktu prostych z topologią Zariskiego są produktem zbiorów bazowych prostych z topologią Zariskiego i mają postać jak na rysunku poniżej. Gdzie wyrzucone proste pionowe i poziome są równoległe odpowiednio do osi OY i OX oraz ich ilość jest skończona. Suma zbiorów tej postaci także zawiera się w topologii produktowej i ma postać całej przestrzeni bez skończonej liczby punktów. Zbiory te są natomiast otwarte w topologii Zariskiego na płaszczyźnie. 6. Topologia produktowa prostych z topologią zariskiego Topologia euklidesowa Dla dowolnego punkty x, zawartego w zbiorze otwartym topologii produktowej, którego najmniejsza odległość od wyrzuconej prostej wynosi ɛ weźmy koło otwarte B(x, ɛ 2 ), który zawiera punkt x i jest zawarte w całości w zbiorze otwartym topologii produktowej. Z tego wniosek, że zbiory te są otwarte w topologii euklidesowej, więc topologia produktowa topologia euklidesowa. 9
10 Zajmiemy się teraz bezpośrednim badaniem ciągłości funkcji, poprzez sprawdzanie otwartości przeciwobrazów. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T eu ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu ) (R 2, T eu ) Z wiadomości z Analizy Matematycznej wiemy, że funkcja g(x, y) w przestrzeniach euklidesowych jest ciągła, więc przeciwobrazy zbiorów otwartych w przeciwdziedzinie funkcji g(x, y), są otwarte w topologii euklidesowej. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T k, T r, T N, T s s ) (R 2, T eu ), gdzie T k oznacza topologię kolejową, T r oznacza topologię rzeczną, T N oznacza topologię Niemyckiego, T s s oznacza topologię produktową prawych strzałek. Funkcja jest ciągła, gdyż T eu T k, T r, T N, T s s, więc z otwartości przeciwobrazów w topologii euklidesowej wynika otwartość w pozostałych topologiach. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z Z ) (R 2, T eu ), gdzie T Z Z oznacza topologię produktu prostych z topologią Zariskiego. Funkcja nie będzie ciągła, ponieważ g 1 (U), gdzie U jest kołem otwartym jest także kołem otwartym, gdyż funkcja g 1 jest złożeniem obrotu, przemnożenia przez stała i symetrii względem OX. Dopełnienie rzutu okręgu na prostą OX zawiera nieskończenie wiele punktów, z tego wynika, że koło otwarte nie jest zbiorem otwartym w T Z Z. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z (R 2, T eu ), gdzie T Z oznacza topologię Zariskiego na płaszczyźnie. Funkcja nie jest ciągła, gdyż T Z T Z Z, więc z tego, że przeciwobrazy nie są otwarte w T Z Z wynika, że nie są też otwarte w T Z. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T Z ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z ) (R 2, T Z ) Funkcja jest ciągła, gdyż g 1 (U), gdzie U jest zbiorem otwartym w topologii Zariskiego, jest także otwarty w topologii Zariskiego, ponieważ zbiór g 1 (U) dalej jest całą przestrzenią z wyrzuceniem skończonej liczby punktów. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z Z, T eu, T k, T r, T s s, T N ) (R 2, T Z ) Funkcja jest ciągłą, z tego, że T Z T Z Z T eu T r, T k, T N, T s s więc z otwartości przeciwobrazu w T Z wynika otwartość w pozostałych topologiach. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T r ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła. Dla przykładu zbadajmy g 1 (b) = c, gdzie b jest odcinkiem otwartym w topologii rzecznej, jak na rysunku. 10
11 Odcinek c nie jest otwarty w topologii euklidesowej, gdyż każdy zbiór otwarty zawierający do punkt z odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z, T Z Z ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż T Z, T Z Z T eu, więc przeciwobraz odcinka b nie jest otwarty w T Z, T 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T r ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż g 1 (b) = c nie jest otwarty w topologii rzecznej, gdyż odcinek c, n równoległy do osi OY, oraz każdy zbiór otwarty w topologii rzecznej, zawierający dowolny pu odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T k ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż g 1 (b) = c nie jest otwarty w topologii kolejowej, gdyż odcinek zawiera się w prostej przechodzącej przez punkt (0, 0), oraz każdy zbiór otwarty w topologii kole zawierający dowolny punkt z odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 5. Ciągłość funkcji g : (R 2, T N, T s s ) (R 2, T r ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż każdy zbiór otwarty w topologii Niemyckiego i produktu prawych str zawierający punkt z przeciwobrazu odcinka b ma niepuste przecięcie z jego otoczeniem. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T k ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła. Dla przykładu zbadajmy g 1 (e) = d, gdzie e jest odcinkiem otwart topologii kolejowej, jak na rysunku.
12 Odcinek d nie jest otwarty w topologii euklidesowej, gdyż każdy zbiór otwarty zawierający dowolny punkt z odcinka c ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z, T Z Z ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż T Z, T Z Z T eu, więc przeciwobraz odcinka e nie jest otwarty w T Z, T Z Z. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T k ) (R 2, T k ) Funkcja jest ciągła. Aby to wykazać, zbadajmy przeciwobrazy bazowe w topologii kolejowej. Na początku weźmy zbiory I(v, ɛ). Jak wiemy funkcja g 1 jest złożeniem obrotu, przemnożenia przez stałą oraz symetrii względem osi OX. Z tego wynika, że g 1 ɛ (I(v, ɛ)) = I(v 1, 2 ), czyli przeciwobrazy zbiorów I(v, ɛ) są otwarte w topologii kolejowej. Zbadamy teraz przeciwobrazy zbiorów bazowych topologii kolejowej postaci ( a, a) ( a, a) : a > 0. Przeciwobrazy te mają postać jak na rysunku. 12
13 Widzimy, że dla punktu (0, 0) możemy wybrać odpowiednio mały zbiór otwarty w topologii kolejowej, zawarty w przeciwobrazie. Dla każdego innego punktu, możemy wybrać zbiór I(v, ɛ) zawierające ten punkty i w całości zawarty w przeciwobrazie. Z tego wynika, że przeciwobraz jest otwarty w topologii kolejowej. Sprawdziliśmy przeciwobrazy wszystkich zbiorów bazowych topologii kolejowej i wykazaliśmy ich otwartość w topologii kolejowej. Z tego wynika, że każdy przeciwobraz zbioru otwartego w topologii kolejowej jest otwarty w topologii kolejowej. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T N, T s s ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż każdy zbiór otwarty w topologii Niemyckiego i produktu prawych strzałek, zawierający punkt z przeciwobrazu odcinka e (Rys.) ma niepuste przecięcie z jego otoczeniem. 5. Ciągłość funkcji g : (R 2, T r ) (R 2, T k ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż g 1 (e) = d nie jest otwarty w topologii rzecznej, gdyż odcinek d, nie jest równoległy do osi OY, oraz każdy zbiór otwarty w topologii rzecznej, zawierający dowolny punkt z odcinka d ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T N ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T N ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła. Aby to wykazać zbadamy przeciwobraz zbioru U, bazowego topologii Niemyckiego, będącego dwoma okręgami z punktem styczności A. 13
14 Przeciwobraz składa się z dwóch kół z punktem styczności D. Punkt ten nie należy do osi OX i każde koło otwarte zawierające ten punkt ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu zbioru U, stąd przeciwobraz U nie jest otwarty w topologii Niemyckiego. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T eu, T Z, T Z Z ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła co wynika z tego, że T Z T Z Z T eu T N. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, T r, T k ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła, gdyż każdy zbiór otwarty z topologii rzecznej i kolejowej zawierający punkt D z przeciwobrazu U (Rys.) ma niepuste przecięcie z otoczeniem tego odcinka. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, T s s ) (R 2, T N ) Funkcja nie jest ciągła. Aby to udowodnić, zbadamy przeciwobrazy motylków Niemyckiego. W punkcie styczności każdy zbiór otwarty w topologii produktu ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu motylków Niemyckiego, a więc przeciwobraz motylków Niemyckiego, nie jest otwarty w topologii produktu prawych strzałek. Każdy zbiór należący do T s s i zawierający punkt D, nie zawiera się w przeciwobrazie. 14
15 Ciągłość funkcji g : (R 2, T i ) (R 2, T Z Z ) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z Z ) (R 2, T Z Z ) Funkcja nie jest ciągła. Weźmy przeciwobraz zbioru U, gdzie U jest całą przestrzenią z wyrzuceniem skończonej liczby prostych równoległych do osi OX i OY. Przeciwobraz ten nie jest otwarty w topologii produktu prostych z topologią Zariskiego, gdyż dopełnienie rzutu na oś OX zawiera nieskończenie wiele punktów. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, TZ) (R 2, TZ Z) Funkcja nie jest ciągła, co wynika z tego, że TZ TZ Z. 3. Ciągłość funkcji g : (R 2, Teu) (R 2, TZ Z) Funkcja jest ciągła. Aby to wykazać zbadajmy przeciwobrazy zbiorów otwartych w topologii produktu prostych z topologią Zariskiego. Przeciwobrazy zbiorów U, otwartych w topologii Zariskiego są otwarte w topologii Zariskiego, więc są otwarte w topologii euklidesowej. Przeciwobrazy zbiorów V, będących płaszczyzną z wyrzuceniem skończonej ilości prostych równoległych do OX i OY, są płaszczyzną, gdzie wszystkie proste są obrócone o kąt 315. Więc dla każdego punktu x należącego do zbioru V, którego najmniejsza odległość do wyrzuconej prostej wynosi ɛ weźmy koło otwarte B(x, ɛ 2 ), które zawiera x i jest zawarte w zbiorze V. Z tego wniosek, że przeciwobraz V jest otwarty w topologii euklidesowej. 4. Ciągłość funkcji g : (R 2, Tk, Tr, TN, Ts s) (R 2, TZ Z) Funkcja jest ciągła, co wynika z tego, że Teu Tk, Tr, TN, Ts s. Ciągłość funkcji g : (R 2, Ti) (R 2, Ts s) 1. Ciągłość funkcji g : (R 2, Teu, Tk, TN, Tr, Ts s) (R 2, Ts s) Funkcja nie jest ciągła. Aby to sprawdzić weźmy przeciwobraz kwadratu jednostronne domkniętego, który jest otwarty w topologii produktu prawych strzałek. 15
16 Każdy zbiór otwarty w topologii euklidesowej, Niemyckiego, rzecznej i kolejowej oraz produktu prawych strzałek, zawierający punkt L ma niepuste przecięcie z otoczeniem przeciwobrazu. Czyli przeciwobraz nie jest otwarty w tych topologiach. 2. Ciągłość funkcji g : (R 2, T Z, T Z Z ) (R 2, T s s ) Funkcja nie jest ciągła, co wynika, z tego, że T Z T Z Z T eu. Podsumujmy nasze wyniki w tabeli. W tabeli znak + oznacza ciągłość, znak - oznacza, ze f nie jest ciągła. topologia dziedziny\topologia przeciwdziedziny T eu T r T k T N T Z T s s T Z Z T eu T r T k T N T Z T s s T Z Z
Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoO D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H
O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'
Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że
Bardziej szczegółowoZadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''
GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2012/2013 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoUZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATURĄ MAJ 2015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony ( zadania 1 19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoPRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte (0- pkt) Zadanie Jeżeli a = log 6 to a jest równe: 4 A. B. C. - Zadanie Warunek x ; 8 jest rozwiązaniem nierówności: A. x + 5 > B. x 5 C. x 5 x + 5 Zadanie Wskaż warunek, który opisuje
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym
S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 4 MARCA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Ile jest liczb x należacych
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoRok akademicki 2005/2006
GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2005/2006 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoWymagania z matematyki na poszczególne stopnie szkolne w klasie trzeciej gimnazjum
Wymagania z matematyki na poszczególne stopnie szkolne w klasie trzeciej gimnazjum I LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE podawanie przykładów liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych; porównywanie
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 4e Łukasz Jurczak rozszerzony 2. Elementy analizy matematycznej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowo