Lista 1 (elementy logiki)

Transkrypt

1 Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie Księżyc krąży wokół Ziemi jest prawdziwe jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie Pies ma osiem łap nie jest prawdziwe a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nie udowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej. Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym gdyż nie jest ani prawdziwe ani fałszywe - jeśli zdanie To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe to prawdziwe jest zdanie To zdanie jest prawdziwe" czyli zdanie jest zarówno prawdziwe jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to że nie potrafimy określić jego wartości logicznej lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności. Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych np. i czy też lub które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników. 2. Spójniki logiczne a) Koniunkcja symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego i koniunkcja lub alternatywa nieprawda że... negacja (zaprzeczenie) jeżeli... to... implikacja wtedy i tylko wtedy gdy... równoważność Zajmijmy się takim prostym logicznym zdaniem: Byłem w księgarni i kupiłem książkę. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste: Byłem w księgarni które oznaczymy przez p Kupiłem książkę które oznaczymy przez q Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i które w matematyce oznaczamy przez. Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (w(p) = 1) i kupiliśmy książkę (w(q) = 1). Natomiast jeśli któreś ze zdań p i

2 q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki) oznaczałoby to że skłamaliśmy czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania (czyli zdania r) która jest pokazana niżej. Wynika z niej że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe. p q p q b) Alternatywa Oznaczmy przez r zdanie: Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję. Zdanie r możemy podzielić na dwa zdania proste: zdanie p: Dziś rano posprzątam w pokoju i zdanie q: Dziś rano pooglądam telewizję połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce spójnik lub oznaczamy przez. Nasze zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiającą wartości logiczne alternatywy w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak: c) Negacja p q p q Zdanie Nieprawda że byłem dzisiaj w kinie oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania Byłem dzisiaj w kinie które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako. Jeśli zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie) to zdanie r jest fałszywe bo skłamaliśmy że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe oznacza to że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce. d) Implikacja p p Oznaczmy r jako zdanie Jeżeli będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych: zdania p: Będziesz grzeczny

3 zdania q: Dostaniesz czekoladę Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika a w tym przypadku przez p q. Pozostaje zastanowić się kiedy zdanie r będzie prawdą a kiedy kłamstwem. Załóżmy że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny a nie dostał czekolady oznacza to że został okłamany. Okazuje się także że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ mama nie stwierdziła co go spotka jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy że jest warunkiem wystarczającym do tego by zaszło q a o q że jest warunkiem koniecznym do tego by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak: p q p q e) Równoważność Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy jeśli będziesz grzeczny lub Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy gdy będziesz grzeczny to okazałoby się że gdyby synek był niegrzeczny a mama i tak by mu dała czekoladę to mama by skłamała. Spójnik logiczny wtedy i tylko wtedy gdy... oznaczamy przez. Tabela równoważności będzie wyglądać tak: p q p q Prawa rachunku zdań Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone które jest zawsze prawdziwe np.. Rzeczywiście zdanie jest zawsze prawdziwe. Mówiąc Byłem w kinie lub nie byłem w kinie nie skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią. 4. Funkcja zdaniowa (forma zdaniowa) Funkcją zdaniową określoną na pewnym zbiorze nazywamy każde zdanie zawierające zmienną takie że po wstawieniu w miejsce zmiennej dowolnego elementu z tego zbioru zdanie to staje się zdaniem logicznym.

4 5. Kwantyfikatory a) Kwantyfikator ogólny Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez mówi on że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym. Jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie każdy pies ma cztery łapy? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez ZP a liczbę łap psa p oznaczymy przez ζ(p) wówczas możemy napisać:. Zdanie to przeczytamy tak: dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap ζ(p) wynosi 4 lub bardziej po polsku każdy pies ma cztery łapy. b) Kwantyfikator szczegółowy Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez mówi on że istnieje takie x dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym. Jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie są ludzie którzy nie umieją liczyć? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l) jako zdanie mówiące że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać: co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: istnieje taki element l należący do zbioru L że zdanie q(l) nie jest prawdziwe. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: istnieje taki człowiek l należący do zbioru wszystkich ludzi L że człowiek ten nie umie liczyć lub krócej istnieją ludzie którzy nie umieją liczyć. Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez ( dla każdego x... ) a kwantyfikator szczegółowy przez ( istnieje takie x że... ). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. pochodzi od All (wszystkie) od Exists (istnieje).

5 Zadania Zad Zbadaj które z podanych wypowiedzi są zdaniami logicznymi: 1) 17 jest liczbą pierwszą 2) 13 jest liczbą feralną 3) czy 15 dzieli się przez 3? 4) suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą 5) iloczyn dwóch liczb pierwszych jest liczbą pierwszą 6) rozwiąż to równanie! 7) 0 2=2 8) istnieje taki prostokąt który nie jest kwadratem 9) Rysy leżą w Tatrach 10) Warszawa leży nad Odrą. Zad Poniżej podano przykłady zdań logicznych. Wyszukaj w nich zdania proste oraz funktory zdaniotwórcze. Zapisz te zdania symbolicznie: 1) to jest klocek czerwony trójkątny mały 2) klocek nie jest czerwony ani biały 3) jeżeli klocek jest mały to nie jest niebieski 4) klocek jest mały wtedy i tylko wtedy gdy jest niebieski 5) jutro idę na wykład lub na spacer. Zad Wykazać że następujące formuły są tautologiami: 1) p ~ ( ~ p) 2) [ p ( ~ p) ] 5) p ( ~ p) 3) ( p q) ( q p) 4) ( p q) ( q p) 6) ~ ( q) ( ~ p ~ q) 7) ~ ( q) ( ~ p ~ q) 8) ( p q) ( ~ q ~ p) (prawo podwójnego zaprzeczenia) ~ (prawo sprzeczności) (prawo wyłączonego środka) (prawo przemienności alternatywy) (prawo przemienności koniunkcji) p (I prawo de Morgana) p (II prawo de Morgana) (prawo transpozycji). Zad Sprawdzić czy następujące formuły są tautologiami: 1) p ( q p) 2) ( p q) ( ~ p ~ q) 3) ( p q) ( ~ p ~ q) 4) p ( q ~ p) 5) ( p q) ( p ~ q). Zad Oceń wartość logiczną zdań: 1) 1 jest liczbą pierwszą lub 1 jest liczbą złożoną 2) 2 jest dzielnikiem 2 i 2 jest liczbą złożoną 3) jeżeli 5<6 to 2 2 >0 4) jeżeli przekątne rombu są równe to każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym 5) suma cyfr liczby dwucyfrowa jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy gdy ta liczba dzieli się przez 3 6) jeżeli wielokąt jest kwadratem to jest on rombem.

6 Zad Następujące zdania złożone zapisz symbolicznie i zbadaj kiedy są one prawdziwe: 1) jeżeli liczba naturalna a dzieli się przez 3 to z faktu że nie dzieli się przez 3 wynika że dzieli się przez 5 2) jeżeli figura a jest prostokątem to jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy z faktu że nie jest kwadratem wynika iż nie jest prostokątem 3) jeżeli figura a jest czworokątem i a ma wszystkie kąty równe to z faktu że a nie jest czworokątem wynika że a ma boki równe. Zad Oceń wartość logiczną zdań: 1) ( x 2 < 0) 2) ( x 2 > 0) 3) ( ) x 2 = 0 x x 4) ( ( ) 0) x 5) = 1 x 2 x 6) ( x = x) 7) ~ ( < 0) 8) ( R) ( x x 0) x π. R Zad Zbuduj zaprzeczenia poniższych zdań oraz oceń ich wartość logiczną: 1 1) ( x = x) x N 2) ( x = x) x 1 N 3) ( x > y) x R y R 4 ( x + y = 3) x N y N 5) ( x + y = y + x) x N y N. Zad Następujące zdania zapisz symbolicznie i oceń ich wartość logiczną: 1) każda liczba rzeczywista jest mniejsza od 2 2) nie ma takiej liczby rzeczywistej której kwadrat byłby ujemny 3) jest taka liczba parzysta która jest liczbą pierwszą 4) są takie liczby parzyste których suma cyfr dzieli się przez 3 5) nie jest prawdą że każda liczba naturalna jest swoim dzielnikiem 6) do każdej liczby naturalnej istnieje jej odwrotność.