Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Transkrypt

1 Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie sprzeczne. d) Zdanie warunkowe, odwrotne, przeciwstawne (kontrapozycja) e) Matryca logiczna f) Ważne prawa w rachunku zdań: Prawo łączności Prawa rozdzielności. Prawa De Morgana. Prawo kontrapozycji. Prawo określenia implikacji za pomocą alternatywy lub koniunkcji. g) Metody dowodzenia faktu, że zdanie jest tautologią: Matryca logiczna. Prawa rachunku zdań. Dowód nie wprost. h) Ważne reguły wnioskowania. Modus ponens P ;P Q Q Modus tollens P Q; Q P 1

2 2 Zadania podstawowe Zadanie 1. Zbuduj matrycę logiczną dla następujących formuł rachunku zdań: a) [(p q) q] p b) [s ( (p q))] [s ( p q)] Zadanie 2. Sprawdź, czy podana formuła jest tautologią rachunku zdań (za pomocą matrycy logicznej i metodą nie wprost)? a) [(p q) r)] [p (q r)] b) [p (p q)] [(p q) (p r)] Zadanie 3. Sprawdź, czy podana formuła jest tautologią rachunku zdań (za pomocą prawa logiki)? [(p s) ( s t)] [p (s t)] Zadanie 4. Zdefiniować spójniki logiczne,,, za pomocą spójników, Zadanie 5. Spójnik Sheffera (kreska Sheffera) jest definiowany w następujący sposób: 1 1 = = 0 1 = 0 0 = 1 Określić następujące spójniki,,, za pomocą spójnika Sheffera. Zadanie 6. Wskazać prawa rachunku zdań i reguły użyte w dowodzenia w dowodzie twierdzenia: dla dowolnych zbiorów A, B, C A (B \C) = (A B)\C. Zadanie 7. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne do następującego zdania: "Jeśli x 2 = x to x = 0 lub x = 1". Zadanie 8. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne do nastepujacego zdania: Jeśli x > y to x 2 > y 2 (x, y R). Zadanie 9. Zbadać dla jakich n podana niżej formuła jest tautologią? ((p p) p)... p (zmienna p występuje n razy w formule). Zadanie 10. Zbadać dla jakich n podana niżej formuła jest tautologią? p... (p (p p)) (zmienna p występuje n razy w formule). Zadanie 11. Napisać zdanie złożone z trzech zmiennych zdaniowych p, q, r, które jest prawdziwe tylko wtedy gdy dokładnie jedno z trzech zdań p, q, r jest prawdziwe. Zadanie 12. Zapisz następujące rozumowanie za pomocą symboliki logicznej, używając sugerowanych nazw zmiennych. Następnie napisz dowód formalny: "Jeśli będę studiował informatykę, to będę zarabiał dużo pieniędzy. Jeśli 2

3 będę studiował archeologię, to będę dużo podróżowal. Jeśli będę zarabiał dużo pieniędzy lub dużo podróżował, to nie będę nieszczęśliwy. Zatem, jeśli jestem nieszczęśliwy, to nie studiowałem informatyki i nie studiowałem archeologii". (sp, d, sa, p, nsz) Zadanie 13. Które z podanych rozumowań jest poprawne? a) Przesłanki: (1) Jeśli student nie uczył się pilnie, to nie zda egzaminu. (2) Student nie zdał egzaminu. Wniosek: Student nie uczył się pilnie. b) Przesłanki: (1) Jeśli student nie uczył się pilnie, to nie zda egzaminu. (2) Student zdał egzamin. Wniosek: Student uczył się pilnie. c) Przesłanki: (1) Jeśli student uczył się pilnie, to zda egzamin. (2) Student nie uczył się pilnie. Wniosek: Student nie zda egzaminu. d) Przesłanki: (1) Jeśli student uczył się pilnie, to zda egzamin. (2) Student nie zdał egzaminu. Wniosek: Student nie uczył się pilnie. Zadanie 14. Które z podanych schematów P rzesanka W niosek wnioskowania? a) p (p q) q b) (p q) r) q r c) (p q) q d) p q p e) (p q) q p są poprawnymi regułami Zadanie 15. Ze zbioru zdań {(1) : s a p; (2) : a; (3) : p a} wywnioskować zdanie s. Zadanie 16. W każdym z podanych przypadkach podaj dowód formalny twierdzenia lub pokaż, że jest ono fałszywe: a) Jeśli {(1) : q r p; (2) : q r} to p. b) Jeśli {(1) : q r; (2) : (r p) p} to p. c) Jeśli {(1) : p (q r); (2) : q s; (3) : r p} to p s 3

4 Zadanie 17. Niech p, q będą zmiennymi zdaniowymi, a P 1, P 2, P 3 dowolnymi programami. Uprość podane instrukcje stosujac prawa rachunku zdań. a) {if (p q) then P 1 else if q then P 3 else P 2 fi fi} b) {while (p q) do if ( (p q) (p q)) then P 1 else P 2 fi od; if (p q) then P 3 fi} Zadanie 18. Napisz zaprzeczenie każdego z podanych zdań: a) p (q r) b) (p q) (r s) c) (p q) r d) (p q) (r s) 3 Pytania Pytanie 1. Który z podanych zbiorów spójników logicznych pozwala zdefiniować wszystkie pozostałe? a) { }, b) kreska Sheffera { }, c) {, }, d) {, }, e) {, } Pytanie 2. Niech formuła α i β będą tautologiami. Które z wymionionych formuł są tautologiam rachunku zdań? a) {α β} b) { α β} c) {α β} d) { α β} e) { β α} Pytanie 3. Zadanie p q jest równoważne zdaniu a) { p q} b) {q p} c) { q p} 4

5 Pytanie 4. Zdanie (p (q r)) (q r) jest fałszywe gdy a) {p = 0, q = 1, r = 1} b) {p = 0, q = 0, r = 0} c) {p = 0, q = 0, r = 1} d) {p = 1, q = 1, r = 1} Pytanie 5. Który z podanych zbiorów formuł jest sprzeczny? a) {p, q p} b) {( p q), (p q), (q p)} c) {(p q), ( q p), p} d) { p, (p q), (q p)} e) {((p q) p), p, q} Więcej pytań testowych: Pytania (strona ). Elementy matematyki dyskretnej. Zbiór zadań. 5