Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Transkrypt

1 Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q = r 2. W trójkącie równoramiennym miara kąta między ramionami wynosi 30. Miary pozostałych kątów tego trójkąta wynoszą: A. 150, 150 B. 60, 90 C. 75, 75 D. 80, Boki trójkąta prostokątnego mogą mieć długości: A. 6, 30, 6 B. 6, 30, 36 C. 6, 30, 6 D. 6, 30, 6 4. Pole trójkąta jest równe 0,6 m 2, a jeden z jego boków ma długość 30 cm. Oblicz wysokość poprowadzoną na ten bok. 5. Korzystając z informacji podanych na rysunkach, oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Kąt α ma miarę 48. prawda fałsz Kąt β ma miarę 125. prawda fałsz Kąt γ ma miarę 70. prawda fałsz 6. Oblicz długości odcinków x, y, z. 7. Wyznacz długości boków narysowanego obok trójkąta. 8. Pole trójkąta przedstawionego na rysunku jest równe 204. Ile wynosi obwód tego trójkąta? A. 75 C. 92 B. 68 D Oblicz długości odcinków a i b.

2 10. Po wyjściu z punktu A w kierunku południowym pokonano 4 km, a potem jeszcze 7 km w kierunku wschodnim, aby się znaleźć w punkcie B. Czy odległość w linii prostej od punktu A do punktu B jest większa niż 8 km? > 64 TAK, NIE, ponieważ < 64 odległość w linii prostej jest o połowę mniejsza: > 8 < Najdłuższy bok trójkąta ABC o wierzchołkach A = (1, 1), B = ( 1, 3), C = ( 3, 2) ma długość: A. 29 B. 7 C. 2 2 D Jak zmieni się pole trójkąta, jeśli jego wysokość zmniejszy się 6 razy? A. wzrośnie 3 razy B. zmaleje 3 razy C. wzrośnie 6 razy D. zmaleje 6 razy 13. Uzasadnij, że jeśli w trójkącie kąt między bokami a i b ma miarę 60, to pole tego trójkąta jest równe 1 4 ab Jeden z boków trójkąta ma 14 cm, co stanowi 20% obwodu tego trójkąta. Czy ten bok może być najdłuższym bokiem tego trójkąta? Wybierz poprawną odpowiedź i jedno jej uzasadnienie. dwa pozostałe boki też mogą mieć 14 cm. TAK, NIE, ponieważ ten bok jest krótszy od sumy długości dwóch pozostałych. najdłuższy bok tego trójkąta ma co najmniej 28 cm. taki trójkąt nie istnieje. 15. Uzupełnij zdania. a) Pole trójkąta równobocznego o wysokości 5 3 cm wynosi b) Pole trójkąta równobocznego o obwodzie wynosi 4 3 cm Punkt D jest środkiem boku AB trójkąta ABC, a ACB tego trójkąta ma miarę 30. Wykaż, że jeśli trójkąt ADC jest równoramienny, to trójkąt ABC jest prostokątny. 17. Cztery proste przecinają się tak jak na rysunku obok. Uzasadnij, że α + γ = β + δ. *18. Trójkąt równoboczny podziel na osiem trójkątów równobocznych. Podaj, jakie długości mają boki powstałych trójkątów, jeśli długość boku dzielonego trójkąta wynosi a.

3 Klasa 3. Czworokąty. 1. W każdym równoległoboku ABCD: A. AC = DB C. AO = OC B. AC DB D. AD = DB 2. Jakie pole ma trapez przedstawiony na rysunku? A. 14 B. 28 C. 42 D Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Każdy kwadrat ma przekątne równej długości. prawda fałsz Każdy romb jest równoległobokiem. prawda fałsz Przekątne każdego prostokąta przecinają się pod kątem prostym. prawda fałsz Każdy trapez jest równoległobokiem. prawda fałsz 4. Jeden z kątów rombu ma miarę 120. Miary pozostałych kątów tego rombu wynoszą: A. 90, 90, 60 B. 60, 60, 120 C. 30, 60, 120 D. 180, 90, Krótszy bok równoległoboku ma długość 4 cm, krótsza wysokość ma 3 cm, a dłuższa 9 cm. Dłuższy bok równoległoboku jest równy: A. 3 cm B. 6,75 cm C. 6 cm D. 12 cm 6. Obwód kwadratu o przekątnej 4 cm jest równy: A. 8 2 cm B. 2 2 cm C. 8 cm D. 16 cm 7. Oblicz pola i obwody narysowanych figur: a) rombu b) trapezu równoramiennego 8. Obwód czworokąta ABCD jest równy 54 cm. Obwód trójkąta ABC jest równy 31 cm, a trójkąta ACD 35 cm. Oblicz długość przekątnej AC. 9. Kąt ostry równoległoboku o bokach 4 cm i 6 cm ma miarę 45. Pole tego równoległoboku jest równe: A cm 2 B. 6 2 cm 2 C. 24 cm 2 D. 12 cm Czy można skonstruować taki trapez, którego suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180, a suma miar kątów przy innym boku jest równa 100? Wybierz poprawną odpowiedź i jedno jej uzasadnienie. suma miar dwóch kątów trapezu przy jednym boku może być dowolna: większa od 0, ale mniejsza od 360. TAK, NIE, ponieważ = 280, a suma miar wszystkich kątów w czworokącie jest równa 360. jeśli suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180, to przy innym boku też jest równa 180. można podać przykład takiego trapezu: trapez równoramienny, którego kąty przy jednym ramieniu mają miary 130 i 50.

4 11. Oblicz miary kątów, korzystając z informacji podanych na rysunku. ABC = BCD = OPR = PRS = romb trapez równoramienny 12. Oblicz obwód czworokąta ABCD o wierzchołkach A = (3, 4), B = (7, 2), C = (3, 5), D = ( 1, 2). 13. Oblicz pole i obwód trapezu przedstawionego na poniższym rysunku. 14. O bokach czworokąta ABCD wiadomo, że AB = BC oraz CD = AD. Przekątna AC dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: równoboczny i prostokątny. Bok trójkąta równobocznego wynosi 4. Oblicz pole czworokąta ABCD. 15. Podstawy trapezu równoramiennego ABCD mają długości 12 cm i 18 cm, a jego przekątne przecinają się pod kątem 60 w punkcie S. Oblicz pola trójkątów: ABS, DCS, BCS i ADS. 16. W kwadracie o boku 20 cm umieszczono ośmiokąt o równych bokach (jak na rysunku). Wykaż, że pole ośmiokąta jest większe niż pole trójkąta BCD, jeżeli długość odcinka AB jest równa 6 cm. 17. Wykaż, że pole pierścienia utworzonego przez okrąg opisany na kwadracie o boku a i okrąg wpisany w ten kwadrat jest mniejsze od pola tego kwadratu. 18. W trójkącie ABC, w którym CAB = 72 i ACB = 67, na bokach AC i BC obrano odpowiednio punkty D i E, tak że DEB = 140. Czy czworokąt ABED jest trapezem? Uzasadnij odpowiedź. *19. W kwadracie zamalowano 4 jednakowe trójkąty równoramienne, tak jak pokazano na rysunku. Obszar zamalowany ma dwa razy mniejsze pole niż obszar biały. Wykaż, że zaznaczony na rysunku odcinek h stanowi 1 6 długości boku tego kwadratu. Klasa 3. Koła i okręgi. 1. Pole koła o promieniu r wyraża się wzorem: A. πr 2 B. 2πr C. πr D. 2πr 2 2. Koniec wskazówki minutowej o długości 12 cm w ciągu 50 minut pokonał drogę: A. ok. 62,8 cm B. ok. 3,14 cm C. ok. 31,4 cm D. ok. 6,28 cm

5 3. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Każda średnica okręgu przechodzi przez jego środek. prawda fałsz Punkt odległy o 6 cm od środka koła o promieniu 5 cm należy do tego koła. prawda fałsz Cięciwa koła o promieniu 4 cm może mieć 7 cm długości. prawda fałsz Środek okręgu należy do okręgu. prawda fałsz 4. Uzupełnij poniższe zdania dotyczące okręgu o promieniu 10 cm, wpisując jedno z trzech podanych sformułowań. a) Długość tego okręgu jest cm. mniejsza od / większa od / równa b) Średnica tego okręgu ma długość cm / 10 cm / 20 cm c) Pole koła ograniczonego tym okręgiem jest π cm Oblicz pole i obwód koła o promieniu 9 cm. mniejsze od / większe od / równe 6. Ile pełnych obrotów wykona koło o średnicy 50 cm na drodze długości 2 km? Przyjmij, że π Pewien trawnik ma kształt części koła, zaznaczonej na rysunku obok. Ile opakowań nawozu trzeba kupić, aby zasilić ten trawnik, jeśli jedno opakowanie wystarcza na 1 ar powierzchni? 8. Z punktu na okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy o długościach 5 i 2 6. Długość tego okręgu wynosi: A. 3,5π B. 14π C. 7π D. 49π 9. Punkty ABCD leżą na pewnym okręgu, a odcinki AC i BD przecinają się w punkcie E. Oznaczmy miary kątów tak jak na rysunku obok. Uzasadnij, że jeśli α + β = 90, to odcinki AC i BD są prostopadłe. Klasa 3.Wzajemne położenie dwóch okręgów 1. Okrąg o środku C ma promień długości 12 cm, a okrąg o środku B ma promień długości 7 cm. Podaj długość odcinka BC, jeśli okręgi są styczne wewnętrznie. 2. Odległość między środkami dwóch okręgów wynosi 12 cm. Promienie tych okręgów mają 8 cm i 6 cm. Wynika stąd, że okręgi te: A. są styczne wewnętrznie B. są styczne zewnętrznie C. są rozłączne D. przecinają się 3. Okrąg o środku w punkcie A = ( 2, 5) ma promień 8, a okrąg o środku w punkcie B = (4, 5) ma promień 2, zatem okręgi te: A. przecinają się B. są styczne wewnętrznie C. są styczne zewnętrznie D. są rozłączne 4. Na stoliku, którego blat ma kształt koła o średnicy 80 cm, położono okrągłą serwetkę o promieniu 25 cm tak, że nie wychodziła poza brzeg blatu. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Powierzchnia blatu nieprzykryta serwetką jest większa niż 1000π cm 2. prawda fałsz Serwetka zawsze przykrywa środek koła wyznaczonego przez blat stolika. prawda fałsz Środki kół wyznaczonych przez blat i serwetkę mogą być odległe o 20 cm. prawda fałsz Serwetka przykryła mniej niż 40% powierzchni blatu. prawda fałsz

6 5. Trzy okręgi: O 1 o środku A i promieniu 5 cm, O 2 o środku B i promieniu 10 cm, O 3 o środku C i promieniu 15 cm położone są tak, że każde dwa są styczne do siebie zewnętrznie. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny. 6. Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego przez dwa współśrodkowe okręgi, wiedząc, że średnica jednego okręgu wynosi 12 cm, a średnica drugiego okręgu jest 4 razy krótsza. 7. Czy okręgi o różnych promieniach spełniające podany warunek są styczne wewnętrznie? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Odległość między środkami jest równa promieniowi większego z okręgów. TAK NIE Promień większego okręgu jest średnicą mniejszego okręgu. TAK NIE Odległość między środkami okręgów o promieniach 1 cm i 5 cm jest równa średniej arytmetycznej długości tych promieni. TAK NIE *8. Dane są trzy koła współśrodkowe. Promień największego z nich wynosi 9. Oblicz promienie pozostałych kół, jeśli wiadomo, że pola powstałych pierścieni i najmniejszego koła są równe. Klasa 3.Wielokąty i okręgi. 1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 12 cm ma długość: A. 4 3 cm B. 6 3 cm C. 2 3 cm D cm 2. Narysuj okrąg o promieniu 3,5 cm i skonstruuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg. 3. W koło wpisany jest kwadrat o boku 12 cm. Oblicz łączne pole części pozostałych po wycięciu kwadratu. 4. Miara kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego jest równa: A. 20 B. 40 C. 80 D Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma 144. Ile boków ma ten wielokąt? A. 20 B. 36 C. 10 D Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest jednakowo odległy od boków tego trójkąta. prawda prawda fałsz fałsz W każdy romb można wpisać okrąg. prawda fałsz Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia się dwusiecznych kątów tego trójkąta. 7. Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm. prawda fałsz Klasa 3.Symetrie. 1. Osiami symetrii narysowanej obok figury są: A. proste a i c C. proste a i b B. proste b i c D. proste a, b, c

7 2. Na którym rysunku odcinki są symetryczne względem punktu S? 3. Która z figur nie ma środka symetrii? A. odcinek B. kwadrat C. prosta D. trapez równoramienny 4. Na którym rysunku narysowane okręgi są symetryczne względem prostej k? 5. Przyjrzyj się rysunkowi obok i uzupełnij poniższe zdania. a) Punkt..... jest symetryczny do punktu C względem punktu B. b) Punkt..... jest symetryczny do punktu D względem prostej BC. 6. Trójkąt ABC ma wierzchołki w punktach A = ( 2, 5), B = ( 4, 3), C = ( 1, 1). Narysuj ten trójkąt w układzie współrzędnych, a następnie narysuj trójkąt symetryczny do trójkąta ABC względem punktu O = (0, 0). 7. Zbuduj sześciokąt, który ma oś symetrii i nie ma środka symetrii. Wskaż tę oś. 8. Odpowiedz, ile osi symetrii ma: a) koło b) romb niebędący kwadratem 9. Na podstawie rysunku oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Figura I ma dokładnie 2 osie symetrii i środek symetrii. prawda fałsz Tylko dwie figury mają środek symetrii, ale nie mają osi symetrii. prawda fałsz Figury III i IV mają tyle samo osi symetrii. prawda fałsz 10. Narysuj kwadrat o boku 5 cm i znajdź taką prostą p, aby wspólna część kwadratu i kwadratu do niego symetrycznego względem prostej p była prostokątem o polu 5 cm 2.