Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Transkrypt

1 Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit wcięty) należy do bardziej zaawansowanego wprowadzenia w logikę. Może być opuszczone w pierwszym czytaniu. Określenie logika pierwszego rzędu odnosi się do najbardziej elementarnego ujęcia logiki, w którym kwantyfikatory są stosowane wyłącznie do indywiduów, a nie do zbiorów indywiduów (jak w logice drugiego rzędu), zbiorów takich zbiorów (w logice trzeciego rzędu) itd. Istnieją różne systemy logiki pierwszego rzędu, różniące się zestawem reguł wnioskowania, ale są one równoważne, określając ten sam zbiór praw logiki. Jedne z nich zawierają aksjomaty i reguły, inne tylko reguły (zob. W. Marciszewskiego Sztuka rozumowania w świetle logiki, 1994, rozdz. 5). Pewne reguły opisują sposoby wprowadzania stałych logicznych (symboli logicznych nie będących zmiennymi, a więc funktorów i kwantyfikatorów), inne zaś sposoby eliminowania (opuszczania) stałych. Jedne systemy zawierają oba rodzaje reguł, inne wyłącznie reguły eliminacji. Do drugich należy system Tabel Analitycznych (skr.ta) przedmiot obecnych wykładów. Omówienie TA poprzedzam ogólnym wyjaśnieniem, jak funkcjonują reguły wnioskowania. Rachunek zdań można uprawiać (jedno z możliwych ujęć) bez ustalonego raz na zawsze zbioru reguł, ponieważ każdorazowo, na potrzeby określonego rozumowania, da się odpowiednią regułę udowodnić. Dokonuje się w następujących krokach: (1) Znajdujemy schemat S tego wnioskowania, którego poprawność ma się zbadać. Czynimy to przez odróżnienie przesłanki (lub więcej przesłanek) i wniosku oraz zastąpienie w nich najprostszych składników zdaniowych przez litery (A, B, C itd.), a terminów logicznych języka polskiego przez odpowiadające im symbole logiczne; słówko oddzielające wniosek od przesłanek ( więc itp.) zamieniamy na poziomą oddzielającą te człony kreskę. (2) Mając na uwadze, że każdemu takiemu schematowi przyprządkowana jest pewna formuła logiczna, tworzymy tę formułę, (a) łacząc przesłanki symbolem koniunkcji, zaś (b) poziomą kreskę zastępując symbolem implikacji. Krok b pokrywa się z zachodzącą w języku polskim zamiennością więc na jeśli ; np. wnioskowanie świta, więc pora wstawać jest poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie warunkowe jeśli świta, to pora wstawać jest prawdziwe. Tak powstaje określona formuła logiczna w formie implikacji; nazwijmy ją F. (3) Badamy, czy F jest tautologią. Jeśli jest, to zostało tym samym udowodnione, że reguła pozwalająca na podstawie przesłanek w S uznać dany wniosek jest niezawodna, co znaczy, że o ile przesłanki sa prawdziwe, dana reguła zawsze zapewnia prawdziwość wniosku. Związek tych dwóch faktów, tautologiczności F i niezawodności reguły dotyczącej S, niech uprzytomnią następujące przykłady. 2. Przykłady dotyczace akceptacji poprzednika, akceptacji następnika Przykład α. Rozważmy następujące wnioskowanie. Jeśli jest tam dym, to jest tam ogień. Jest tam dym. A więc: jest tam ogień.

2 2 Witold Marciszewski Wykład logiki, 17 luty 2005 Krok (1) tworzymy schemat S α : A B. Krok (2) tworzymy formułę F α : ((p q) p) q. Krok (3). W badaniu tautologiczności posłużymy się algorytmem zerojedynkowym w formie skrótowej. Postępowanie to zaczyna się od następującego założenia o rozważanej formule. Z(F α ): Przyjmijmy, że F α nie jest tautologią, czyli że istnieją takie wartościowania (podstawienia 1: Poprzednik (p q) p = 1. 2: Następnik q = 0. Z wiersza 1 jako z koniunkcji wynika prawdziwość obu jej składników: 3: p q = 1, 4: p = 1. Z wierszy 2 i 4 wynika: 5: p q = 0. Tak więc z założenia Z(F α ) wynikają dwa sprzeczne wnioski 3 i 5. Gdy z jakiegoś zdania wynika sprzeczność, zdanie to jest fałszywe. A skoro FAŁSZYWE jest przyjęte (na próbę) założenie: Istnieją takie podstawienia, przy których formuła F α staje się fałszywa. to PRAWDA jest jego zaprzeczenie czyli zdanie: NIE istnieją takie podstawienia, przy których formuła F α staje się fałszywa. To zaś znaczy tyle, że F α jest tautologią czyli prawem logiki. Przykład β. Rozważmy następujące wnioskowanie. Jeśli jest tam dym, to jest tam ogień. Jest tam ogień. A więc: jest tam dym. *

3 Witold Marciszewski Wykład logiki, 17 luty Krok (1) tworzymy schemat S β : B A. Krok (2) tworzymy formułę F β : ((p q) q) p. Krok (3). Założenie. Z(F β ): Przyjmijmy, że F β nie jest tautologią, czyli że istnieją takie wartościowania (podstawienia 1: Poprzednik (p q) q = 1, 2: następnik p = 0. Z wiersza 1 wynika 3: q = 1. Gdy p = 0 i q = 1, to (p q) = 1, co (wespół z q = 1) czyni prawdziwym poprzednik, a przy fałszywości następnika falsyfikuje rozważaną formułę. 3. Przykłady dotyczace negacji poprzednika, negacji następnika Przykład γ. Rozważmy następujące wnioskowanie. Jeśli jesteś uczciwy, to jesteś religijny. Nie jesteś religijny. A więc nie jesteś uczciwy. Krok (1) tworzymy schemat S γ : B A. Krok (2) tworzymy formułę F γ : ((p q) q) p. Krok (3). Czynimy następujące założenie. Z(F γ ): Przyjmijmy, że F γ nie jest tautologią, czyli że istnieją takie wartościowania (podstawienia 1: Poprzednik (p q) q = 1. 2: Następnik p = p =1... z wiersza 2.

4 4 Witold Marciszewski Wykład logiki, 17 luty q = 1... z wiersza q = 0... z wiersza p q = 1... z wiersza p q = 0... z wierszy 3 i 5. Tak więc z założenia Z(F γ ) wynikają dwa sprzeczne wnioski 6 i 7. Gdy z jakiegoś zdania wynika sprzeczność, zdanie to jest fałszywe. A skoro FAŁSZYWE jest przyjęte (na próbę) założenie: Istnieją takie podstawienia, przy których formuła F γ staje się fałszywa. to PRAWDA jest jego zaprzeczenie czyli zdanie: NIE istnieją takie podstawienia, przy których formuła F γ staje się fałszywa. To zaś znaczy tyle, że F γ jest tautologią czyli prawem logiki. * * Przykład δ. Rozważmy następujące wnioskowanie. Jeśli jesteś uczciwy, to jesteś religijny. Nie jesteś uczciwy. A więc nie jesteś religijny. Krok (1) tworzymy schemat S δ : A B. Krok (2) tworzymy formułę F δ : ((p q) p) q. Krok (3) czynimy następujące założenie. Z(F δ ): Przyjmijmy, że F δ nie jest tautologią, czyli że istnieją takie wartościowania (tj. podstawienia 1: Poprzednik (p q) p = 1. 2: Następnik q = 0. 3: p q = 1... z wiersza 1. 4: p = 1... z wiersza 1. 5: p = 0... z wiersza 4. 6: q = 1... z wiersza 2. Przy znalezionych w ten sposób wartościach p = 0 i q = 1, formuła F δ przyjmuje wartość 0. Skoro istnieje dla niej dla wartościowanie falsyfikujące, nie jest ona tautologią.

5 4. Inne uwagi Witold Marciszewski Wykład logiki, 17 luty W wygłoszonym wykładzie inne były przykłady ilustrujące zarówno akceptację jak i negację następnika i poprzednika. Te, które wprowadzono do obecnej wersji pisanej posłużą do ilustracji rozróżnienia między błędem formalnym i błędem materialnym, co będzie dyskutowane na następnym wykładzie. Ponadto została przedstawiona część (pierwsza kolumna) reguł systemu Tabel Analitycznych. Druga część będzie tematem następnego wykładu. Omawiany zestaw tych reguł znajduje się w pliku do którego jest wejście z Sylabusa, pozycja 5.3.