Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z1, 1 4. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 01 Edwin Koźniewski Instytut Inżynierii Budowlanej, Politechnika Bia lostocka 1. Twierdzenie o punkcie wȩz lowym Przy kreśleniu przekrojów figur przestrzennych p laszczyznami wygodnie jest pos lugiwać siȩ prostym twierdzeniem Twierdzenie 1 W danej trójce p laszczyzn krawȩdzie poszczególnych par tych p laszczyzn pokrywaj a siȩ lub s a trzema różnymi prostymi przecinaj acymi siȩ w jednym punkcie. Rozwi ażmy nastȩpuj ace Zadanie 1 Dany jest ostros lup czworok atny [ABCDW] o podstawie [ABCD] na p laszczyzźnie α oraz p laszczyzna β(klm) określona przez punkty K, L, M leż ace odpowiednio na krawȩdziach [AW], [BW], [CW]. Wyznaczyć przekrój [ABCDW] β. Rozwi azanie: Rozważmy kolejno trzy trójki p laszczyzn α, β, γ 1 (ABW); α, β, γ 2 (BCW); α, β, γ 3 (CDW) oraz odpowiednie diagramy. Diagram γ 1 α k(??) 1 β pokazuje, że proste (AB) (AB) i (KL) maj a wspólny punkt 1 oraz szukana krawȩdź k(??) (symbole?,? - oznaczaj a dwa nieznane punkty szukanej prostej) przechodzi przez punkt 1 (rys. 1-10a1). Diagram (LM) γ 2 (BC) α k(1?) 2 β pokazuje, że proste (BC) i (LM) maj a wspólny punkt 2 wiȩc szukana krawȩdź k przechodzi również przez punkt 2 (rys. 1-10a2). Diagram α β m(m?) 3 γ 3 k pokazuje, że proste k i (CD) maj a wspólny punkt 3 oraz szukana krawȩdź m przechodz aca przez punkt M przechodzi również przez punkt 3 (rys. 1-10a3, 1-10a4). Przeciȩcie (DW) m = {N} prostych (DW), m daje szukany punkt N (rys. 1-10a4, 10a5). Zadanie 2 Dany jest ostros lup piȩciok atny [ABCDEW] o podstawie [ABCDE] na p laszczyźnie α oraz p laszczyzna β(klm) określona przez punkty K, L, M leż ace odpowiednio na ścianach [ABW], [BCW], [CDW]. Wyznaczyć przekrój [ABCDW] β. Edwin Koźniewski c 2007 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok (KL) (CD)

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 01 Rys. Z01-01: Konstrukcja przekroju ostros lupa [ABCDW] p laszczyzn a przechodz ac a przez trzy punkty K, L, M leż ace odpowiednio na krawȩdziach bocznych [AW], [BW], [CW] Rys. Z01-02: Konstrukcja przekroju ostros lupa [ABCDW] p laszczyzn a przechodz ac a przez trzy punkty K, L, M leż ace odpowiednio na ścianach [ABW], [BCW], [CDW] W celu wyznaczenia pomocniczej prostej k, wcześniej punktów 1, 2, wyznaczamy p laszczyzny pomocnicze [KLW], [LMW]. L acz ac punkty 3, K kontynujemy jak w zadaniu poprzednim (rys. 1-10). Zadanie 3 Korzystaj ac w twierdzenia o punkcie wȩz lowym oraz z równoleg lości pewnych p laszczyzn brzegowych bry ly wykreślić przekrój bry ly powsta lej z sześcianu p laszczyzn a określon a

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 01 3 przez trzy punkty na krawȩdziach bry ly (punkty leż a w odleg lościach 1, 1 d lugości krawȩdzi od 2 3 wierzcho lka bry ly). Czy przekrój sześcianu może być: trójk atem, czworok atem, piȩciok atem, sześciok atem, siedmiok atem, trójk atem równobocznym, kwadratem, sześciok atem foremnym? Rys. Z01-03: Przyk ladowe rozwi azanie Uwaga! Przy wyznaczaniu przekrojów bry l zawieraj acych równoleg le ściany pamiȩtamy o w lasności: Krawȩdzie przeciȩcia dwu równoleg lych p laszczyzn trzeci a p laszczyzn a s a równoleg le. Pamiȩtamy ponadto, że w rzucie równoleg lym, bo w takim s a odwzorowane bry ly sześcienne, rzuty prostych równoleg lych s a równoleg le. Jest to niezmiennik rzutowania równoleg lego. W lasność tȩ stosujemy w sytuacji, gdy na jednej z dwu równoleg lych ścian bry ly mamy krawȩdź, na drugiej - punkt przekroju. Rysunek Z01-03 przedstawia przyk ladowe rozwi azanie zadania. P laszczyny pomocnicze bȩdziemy wykorzystywać zawsze w przypadku, gdy żadne dwa punkty p laszczyzny przekroju nie leż a na tej samej ścianie bry ly (Rys. Z01-04vii). W przypadku bry ly sześciennej (prostopad lościennej) p laszczyzna pomocnicza powinna przechodzić przez jeden zpunktów niew laściwych (odpowiednik wierzcho lka ostros lupa) bry ly. Zadanie 4 Dany jest trójk at ostrok atny. Skonstruować aksonometriȩ prostok atn a sześcianu o krawȩdzi 6cm. Zadanie 5 Dane s a cztery odcinki o d lugościach: j = 7cm, j x = 4cm, j y = 3cm, j z = 5cm. Skonstruować aksonometriȩ prostopad lościanu o krawȩdziach 8cm, 9cm, 14cm.

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 01 Rys. Z01-04: Zadania do rozwi azania

5 5 Rys. Z01-05: Zadania do rozwi azania Rys. Z01-06: Pocz atek rozwi azania przyk ladu z rys. Z01-04vii