Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Transkrypt

1 Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

2 Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik J zyka Polskiego)

3 Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik J zyka Polskiego) Statystyka: nauka, której przedmiotem zainteresowania s metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisuj cych zjawiska, w tym masowe. (Wikipedia)

4 Statystyka Podstawowe poj cia statystyczne: populacja (zbiorowo± statystyczna, masa statystyczna) zbiór dowolnych elementów obj tych badaniem statystycznym, jednostka statystyczna (jednostka badania, obserwacji) elementy skªadowe badanej populacji.

5 Statystyka Cechy statystyczne: staªe nie podlegaj badaniu, decyduj o zaliczeniu jednostek do okre±lonej populacji, zmienne jako±ciowe (niemierzalne), ilo±ciowe (mierzalne) daj si wyrazi za pomoc liczb skokowe warto±ci mog wyra»a si jedynie okre±lonymi liczbami zmieniaj cymi si skokowo, bez warto±ci po±rednich, ci gªe mog przyjmowa ka»d warto± z okre±lonego sko«czonego przedziaªu liczbowego.

6 Statystyka Organizacja bada«statystycznych: 1. Przygotowanie badania, 2. Obserwacja statystyczna (zbiór danych uzyskanych w wyniku obserwacji nazywamy materiaªem statystycznym) 3. Opracowanie i prezentacja materiaªu statystycznego grupowanie, zliczanie, 4. Opis lub wnioskowanie statystyczne (opis dotyczy tylko danej zbiorowo±ci generalnej lub próby, wnioskowanie ma miejsce, gdy badanie jest reprezentacyjne i jego wyniki s uogólniane na caª populacj generaln, z której zostaªa pobrana próba).

7 Statystyka Szereg statystyczny zbiór wyników obserwacji jednostek wedªug pewnej cechy: wyliczaj ce (szczegóªowe) uporz dkowane wyª cznie wg warto±ci badanej cechy, rozdzielcze (strukturalne) poszczególnym wariantom zmiennej przyporz dkowane s odpowiadaj ce im liczebno±ci. Okre±laj struktur danej zbiorowo±ci cech niemierzalnych, cech mierzalnych: puktowe, przedziaªowe, przestrzenne (geograczne) przedstawiaj ce rozmieszczenie wielko±ci statystycznych wg jednostek administracyjnych, cz sci ±wiata, itp., dynamiczne (czasowe) prezentuj rozwój zjawisk w czasie.

8 Statystyka Rozkªad empiryczny zmiennej przyporz dkowanie kolejnym warto±ci zmiennej (x i ) odpowiadaj cych im liczebno±ci (n i )

9 Statystyka Rozkªad empiryczny zmiennej przyporz dkowanie kolejnym warto±ci zmiennej (x i ) odpowiadaj cych im liczebno±ci (n i ) Histogram jeden z gracznych sposobów przedstawiania rozkªadu empirycznego cechy. Skª da si z szeregu prostok tów umieszczonych na osi wspóªrz dnych. Prostok ty te s z jednej strony wyznaczone przez przedziaªy klasowe warto±ci cechy, natomiast ich wysoko± jest okre±lona przez liczebno± (lub cz sto±ci) elementów wpadaj cych do okre±lonego przedziaªu klasowego.

10 Miary ±rednie ±rednie pozycyjne mediana dominanta kwantyle (kwartyle, centyle,... ) miary klasyczne ±rednia arytmetyczna ±rednia geometryczna ±rednia harmoniczna

11 rednia arytmetyczna Szereg wyliczaj cy: x = x x N N = N x i N Szereg rozdzielczy punktowy (±rednia wa»ona) x = x 1n x k n k N gdzie N = n n k = k n i = k x i n i N,

12 rednia arytmetyczna Szereg rozdzielczy przedziaªowy x = x 1n x k n k N gdzie N = n n k = k n i = k x i n i N,

13 rednia harmoniczna Szereg wyliczaj cy: H = N 1 x = N N x N 1 x i Szereg rozdzielczy punktowy H = n 1 x 1 N n = N k k x k gdzie N = n n k = k n i, n i x i

14 rednia harmoniczna Szereg rozdzielczy przedziaªowy H = n 1 x 1 N n = N k k x k gdzie N = n n k = k n i, n i x i

15 rednia geometryczna Szereg wyliczaj cy: G = N x 1 x 2... x N Szereg rozdzielczy punktowy G = N x 1 n 1 x 2 n 2... x k n k gdzie N = n n k = k n i

16 rednia geometryczna Szereg rozdzielczy przedziaªowy G = x1 N n 1 x 2 n 2... x k n k gdzie N = n n k = k n i

17 Dominanta Szereg rozdzielczy przedziaªowy gdzie: D = x D + n D n D 1 (n D n D 1 ) + (n D n D+1 ) i D x D dolna granica przedziaªu dominanty, n D liczebno± przedziaªu dominanty, n D 1, n D+1 liczebno±ci przedziaªów poprzedzaj cego i nast puj cego po przedziale dominanty, i D rozpi to± przedziaªu dominanty.

18 Mediana Szereg wyliczaj cy: Me = x N+1, N nieparzyste, 2 x N2 +x N2 +1 2, N parzyste.

19 Kwartyle Szereg rozdzielczy przedziaªowy: Q 1 = x Q1 + N k 1 n 4 i n Q1 i Q1

20 Kwartyle Szereg rozdzielczy przedziaªowy: Q 2 = Me = x Me + N k 1 n 2 i n Me i Me

21 Kwartyle Szereg rozdzielczy przedziaªowy: Q 3 = x Q3 + 3N k 1 n 4 i n Q3 i Q3

22 Kwartyle gdzie: x Q1, x Me, x Q3 dolne granice przedziaªów, gdzie znajduje si Q 1, Me, Q 3 N ogólne liczebno± zbiorowao±ci k 1 n 1 suma liczebno±ci od przedziaªu pierwszego do tego, w którym znajduj si odpowiednio Q 1, Me, Q 3 n Q1, n Me, n Q3 liczebno± odpowiednich przedziaªów i Q1, i Me, i Q3 dªugo±ci odpowiednich przedziaªów

23 Miary zmienno±ci Daj informacj o rozproszeniu badanej cechy. miary pozycyjne empiryczny obszar zmienno±ci odchylenie wiartkowe miary klasyczne odchylenie standardowe wariancja odchylenie przeci tne

24 Empiryczny obszar zmienno±ci R = x max x min

25 Odchylenie przeci tne Okre±la o ile wszystkie jednostki danej zbiorowo±ci ró»ni si ±rednio ze wzgl du na warto± od ±redniej arytmetycznej tej zmiennej. Szereg wyliczaj cy: d = 1 N N x i x

26 Odchylenie przeci tne Szereg rozdzielczy punktowy: d = 1 N k x i x n i Szereg rozdzielczy przedziaªowy: d = 1 N k x i x n i

27 Odchylenie wiartkowe Q = Q 3 Q 1 2

28 Typowy obszar zmienno±ci Me Q < x typ < Me + Q

29 Wariancja Szereg wyliczaj cy: s 2 = 1 N N Szereg rozdzielczy punktowy: s 2 = 1 N k (x i x) 2 (x i x) 2 n i Szereg rozdzielczy przedziaªowy: s 2 = 1 N k ( x i x) 2 n i

30 Odchylenie standardowe s = s 2

31 Typowy obszar zmienno±ci x s < x typ < x + s

32 Typowy obszar zmienno±ci Q < d < s

33 Klasyczny wspóªczynnik zmienno±ci V s = s x 100% V d = 100% d x

34 Pozycyjny wspóªczynnik zmienno±ci V Q = Q Me 100% V Q1,Q 3 = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1

35 Miary asymetrii Rozkªad symetryczny: x = D = Me Rozkªad z asymetri prawostronn : x > Me > D Rozkªad z asymetri lewostronn : x < Me < D

36 Wska¹nik asymetrii W s = x D W s = (Q 3 Q 2 ) (Q 2 Q 1 ) W s = 0 rozkªad symetryczny W s > 0 asymatria prawostronna W s < 0 asymatria lewostronna

37 Wspóªczynnik asymetrii As = x D s As = x D d As = (Q 3 Q 2 ) (Q 2 Q 1 ) (Q 3 Q 2 ) + (Q 2 Q 1 ) = Q 3 + Q 1 2Me 2Q 1

38 Wspóªczynnik asymetrii 1 As 1 As = 0 rozkªad symetryczny As > 0 asymatria prawostronna As < 0 asymatria lewostronna

39 Moment centralny r tego rz du m r = 1 N k (x i x) r n i Mamy: m 1 = 0 m 2 = s 2

40 Moment centralny trzeciego rz du m 3 = 1 N k (x i x) 3 n i As = 0 rozkªad symetryczny As > 0 asymatria prawostronna As < 0 asymatria lewostronna

41 Moment standaryzowany trzeciego rz du As = m 3 s 3

42 Moment standaryzowany czwartego rz du a 4 = m 4 s 4 a 4 = 3 rozkªad normalny a 4 > 3 asymatria wysmukªy a 4 < 3 asymatria spªaszczony

43 Eksces e = a 4 3