Podstawy analizy matematycznej II
|
|
- Alojzy Zieliński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL /10
2 Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x c 0 x c + 0 jeżeli dla każdego > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) g < dla c < x < c (c < x < c + ). Mówimy, że + jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) > M dla c < x < c (c < x < c + ). 2
3 Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) < M dla c < x < c (c < x < c + ). Są to definicje w sensie Cauchy ego. Definicja granicy funkcji w sensie Heinego : Mówimy, że liczba g (+, ) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdego ciągu {x n } zbieżnego do c i takiego, że dla każdego n zachodzi x n < c (x n > c), mamy lim f (x n ) = g (+, ). n 3
4 Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g, x c jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie x = c i obie są sobie równe. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) przy x + (x ), co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x + x jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x) g < dla każdej wartości x > K (x < K ). 4
5 Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że funkcja f (x) dąży do + ( ) przy x +, co zapisujemy lim f (x ) = + ( lim f (x ) = ), x + x + jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x ) > M ( f (x ) < M ) dla każdej wartości x > K. Granice lim f (x ) = + i lim f (x ) = x x określamy podobnie. 5
6 Granica i ciągłość funkcji Jeżeli istnieją granice lim f (x ) i lim g (x ), to x c x c lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x ) x c x c x c lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x ) x c x c x c lim (f (x )/g (x )) = lim f (x ) / lim g (x ), jeśli lim g (x ) 0. x c x c x c Funkcję f (x ) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim f (x ) i jeśli granica ta jest równa f (c ). x c Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Iloraz funkcji ciągłych o dzielniku różnym od zera jest funkcją ciągłą. 6
7 Granica i ciągłość funkcji Przykład 1. Obliczyć granicę funkcji w punkcie x = 2. f (x ) = (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) Dla x = 2 licznik i mianownik jest równy 0, a więc funkcja nie jest określona w tym punkcie. Zauważmy, że 3x 2 5x 2 = 3(x 2)(x + 1/3) i 5x 2 20 = 5(x 2)(x + 2). Możemy zatem funkcję f (x ) zapisać w postaci f (x ) = {3(x + 1/3)/[5(x + 2)]} {(x 2)/(x 2)} = g (x ) h (x ). Pierwszy czynnik g (x ) jest funkcją wymierną, ciągłą w punkcie x = 2, więc lim g (x ) = g (2) = [3(2 + 1/3)]/[5(2+2)] = 7/20. x 2 Drugi czynnik h (x ) równa się 1 dla x 2, a dla x = 2 nie jest zdefiniowany. 7
8 Granica i ciągłość funkcji W myśl definicji granicy lim h (x ) istnieje i równa się 1. x 2 Na podstawie twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy lim (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) = (7/20) 1 = 7/20. x 2 Przykład 2. Wyznaczyć granicę funkcji [x ] w punkcie x = 3. Mamy natomiast lim [x ] = 3, gdyż dla 3 x < 4 jest [x ] = 3, x 3+0 lim [x ] = 2, bo dla 2 x < 3 jest [x ] = 2. x 3 0 Zatem granica funkcji [x ] w punkcie x = 3 nie istnieje. 8
9 Granica i ciągłość funkcji Przykład 3. Obliczyć lim (10x )/tg(3x ). x 0 Dla x = 0 licznik i mianownik są równe 0. Przekształcamy wyrażenie: (10x )/tg(3x ) = [10x cos(3x )]/sin(3x ) = (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ). Na podstawie jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim sinx /x = 1 x 0 mamy lim 3x /sin(3x ) = lim 1/[sin(3x )/(3x )] = 1. Ponadto x 0 x 0 lim cos(3x ) = cos 0 = 1. x 0 Zatem lim (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ) = (10/3) 1 1 = (10/3). x 0 9
10 Granica i ciągłość funkcji Przykład 4. Obliczyć lim f (x ) dla f (x ) = {x [x (x 2 1) 1/2 ]} 1/2. x + Po pomnożeniu i podzieleniu funkcji f (x ) przez [x + (x 2 1) 1/2 ] 1/2 mamy f (x ) = x 1/2 /[x + (x 2 1) 1/2 ] 1/2. Dzieląc teraz licznik i mianownik przez x 1/2 otrzymujemy f (x ) = 1/[1+(1 1/x 2 )], skąd ostatecznie lim f (x ) = 1/( /2 ) 1/2 = 1/2 1/2. x + Przykład 5. Wyznaczyć granicę funkcji exp[1/(1 x 2 )] w punkcie x = 1. Przy wyznaczaniu granic funkcji wykładniczej korzystamy często z wzorów lim a x = +, lim a x = 0 dla a > 1 i lim a x = 0, lim a x = + dla 0 < a < 1. x + x x + x 10
11 Granica i ciągłość funkcji Obliczmy najpierw w punkcie x = 1 granicę funkcji g (x ) = 1/(1 x 2 ). Funkcja ta nie jest określona w podanym punkcie. Przedstawiamy ją w postaci g(x ) = 1/(1 + x ) 1/(1 x ). Pierwszy czynnik jest funkcją ciągłą w punkcie x = 1, w którym granica jest równa ½. Drugi czynnik ma granice lewostronną i prawostronną różne: lim 1/(1 x ) = +, lim 1/(1 x ) =. x 1 0 x 1+0 Z powyższego i na podstawie podanych wzorów wynika, że lim exp(1/(1 x 2 ) = 0, lim exp(1/(1 x 2 ) = +. x 1+0 x
12 Pochodną funkcji y = f (x ) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu wartości funkcji y do przyrostu argumentu x, gdy przyrost argumentu dąży do zera, tj. granicę lim y/ x = lim [f (x + x ) f (x )]/ x. x 0 x 0 Pochodna funkcji y = f (x ) w danym punkcie jest równa współczynnikowi kątowemu (kierunkowemu) stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną (jest różniczkowalna), to jest w tym punkcie ciągła (ale nie na odwrót, np. funkcja y = x w punkcie x = 0). 12
13 Pochodna sumy (różnicy) funkcji. Jeżeli y = u v, to y = u v. Pochodna iloczynu funkcji. Jeżeli y = u v, to y = u v + uv. Pochodna ilorazu funkcji. Jeżeli y = u /v i v 0, to y = (u v uv )/v 2. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja y = f (g (x )) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x 0, funkcja g (x ) jest różniczkowalna w punkcie x = x 0 oraz funkcja f (u ) jest różniczkowalna w punkcie u = u 0, gdzie u 0 = g (x 0 ), to (dy/dx) x =x0 = (dy/du) u =u0 (du/dx) x =x0. 13
14 Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f (x ) ma funkcję odwrotną x =g(y ), to pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji, o ile dy/dx 0, tj. dx/dy = 1/ (dy/dx ). Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (wzory na pochodne) dotyczą funkcji potęgowej, trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, odwrotnych względem hiperbolicznych, wykładniczych oraz logarytmicznych. Wzory te należy znać! 14
15 Przykład 1. Obliczyć pochodną funkcji y = (3x 2 4x x 2/3 )/(2x 1/2 ). Funkcja jest ciągła, gdy x > 0. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x 1/2 mamy y = (3/2)x 3/2 2x 7/6, skąd y = (9/4)x 1/2 (7/3)x 1/6. Przykład 2. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (2 x 2 )/(2x 3 + x + 3). Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Pochodna licznika jest równa 2x, a pochodna mianownika wynosi 6x Zatem y = [ 2x (2x 3 + x + 3) (2 x 2 )(6x 2 +1)]/(2x 3 + x + 3) 2 = (2x 4 13x 2 6x 2)/(2x 3 + x + 3) 2. 15
16 Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji y = sin 3 [(1 2x )/x ] 1/2. Funkcja ta jest określona w przedziale 0 < x < ½. Można ją przedstawić za pomocą czterech funkcji prostych: y = z 3, z = sinu, u = t 1/2, t = (1 2x )/x. Mamy dy/dz = 3z 2, dz/du = cosu, du/dt = 1/(2t 1/2 ), dt/dx = 1/x 2. Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy dy/dx = 3z 2 cosu 1/2t 1/2 ( 1/x 2 ). Wracając do zmiennej x, po wykonaniu działań mamy dy/dx = 3/{2x [x (1 2x )] 1/2 } sin 2 [(1 2x )/x ] 1/2 cos[(1 2x )/x ] 1/2. 16
17 Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji y = x x, gdzie x > 0. Ponieważ e lnx = x, więc x x = e x lnx. Stosując wzór na pochodną funkcji złożonej mamy y = e x lnx [1 lnx + x (1/x )] = x x (lnx + 1). Przykład 5. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (sinx ) tgx 0 < x < /2. w przedziale Ponieważ e lnu = u, więc sinx = e ln sinx. Po podniesieniu obu stron do potęgi tgx mamy y = (sinx ) tgx = e tgx ln sinx. Jest to funkcja postaci e f(x ) i z wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy, że jej pochodna wynosi e f(x ) f (x ). Zatem y = e tgx ln sinx [(1/cos 2 x )ln sinx + tgx (1/sinx ) cosx ] = (sinx ) tgx [ln(sinx )/cos 2 x + 1]. 17
18 Pochodną rzędu drugiego funkcji f (x ) nazywamy pochodną z pochodnej tej funkcji. Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Przykład 1. Obliczyć pochodną rzędu szóstego wielomianu y = x 5 2x 4 + 4x 2 16x Mamy y = 5x 4 8x 3 + 8x 16, y = 20x 3 24x 2 + 8, y = 60x 2 48x, y (4) = 120x 48. y (5) = 120, y (6) = 0. Pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru. 18
19 Przykład 2. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji y = sinx. Mamy y = cosx, y = sinx, y = cosx, y (4) = sinx = y i pochodne wyższych rzędów powtarzają się: y (5) = y, y (6) = y itd. Ponieważ y = cosx =sin(x + /2), y = sinx = sin(x + 2 /2), y = cosx = sin(x + 3 /2), y (4) = sinx = sin(x + 4 /2), więc można podać ogólny wzór na pochodną rzędu n funkcji y = sinx : y (n ) = sin(x + n /2). Wyprowadzenie ogólnych wzorów na pochodną dowolnego rzędu danej funkcji jest w ogólności zadaniem trudnym. 19
20 Jeżeli funkcja ma postać lub daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch prostszych funkcji (y = uv ), dla których można łatwo znaleźć wzory na pochodne rzędu n, to pochodną rzędu n danej funkcji y wyznaczamy z wzoru Leibniza: y (n ) = u (n ) v + ( n 1)u (n 1) v + ( n 2)u (n 2) v + + ( n k)u (n k ) v (k ) + + uv (n ). Przykład. Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji y = e x sinx. Przyjmując u = e x i v = sinx mamy u (n ) = ( 1)ne x, v (n ) = sin(x + n /2) i na podstawie wzoru Leibniza: y (n ) = ( 1) n e x sinx + + ( 1) n k ( n k)e x sin(x + k /2) + + e x sin(x + n /2). 20
21 Dla funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = f (t ), y = g (t ), pochodną obliczamy z wzoru dy/dx = (dy/dt )/(dx/dt ), jeśli dx/dt 0. Przykład. Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi Mamy Zatem x = sint t cost, y = cost + t sint. dx/dt = cost + t sint cost = t sint, dy/dt = sint + t cost + sint = t cost. dy/dx = t cost /(t sint ) = ctgt. 21
22 Pochodną rzędu drugiego d 2 y/dx 2 funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy następująco: d 2 y/dx 2 = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)]/(dx/dt), gdzie d/dt (dy/dx) = d/dt [(dy/dt)/(dx/dt )] = (d 2 y/dt 2 dx/dt d 2 x/dt 2 dy/dt )/(dx/dt ) 2 Przykład. Obliczyć d 2 y/dx 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint t cost, y = cost + t sint. Korzystając z poprzedniego przykładu i powyższego wzoru mamy d 2 y/dx 2 = [d/dt (ctgt )]/(dx/dt ) = ( 1/sin 2 t )/(t sint ) = 1/(t sin 3 t ). 22
23 Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x 1 + (1 )x 2, gdzie x 1 < x 2 i 0 1 zachodzi nierówność f (x ) y, gdzie y = f (x 1 )+ (1 )f (x 2 ). Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to funkcja f (x ) jest wypukła w przedziale [a, b]. Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f (x ) > 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wypukła. 23
24 Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x 1 + (1 )x 2, gdzie x 1 < x 2 i 0 1 zachodzi nierówność f (x ) y, gdzie y = f (x 1 )+ (1 )f (x 2 ). Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją malejącą, to funkcja f (x ) jest wklęsła w przedziale [a, b]. Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f (x ) < 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wklęsła. 24
25 Punktem przegięcia wykresu funkcji y = f (x ), gdy funkcja f (x ) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą. Jeżeli funkcja y = f (x ) ma ciągłą pochodną rzędu drugiego, to w punktach przegięcia wykresu funkcji mamy f (x ) = 0. 25
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x)
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Z definicji wyprowadź wzory na pocodne funkcji. Przypominam definicję pocodnej f (x) f (x) lim f(x + ) f(x) przy czym, aby pocodna istniała,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoObliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa
Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor:
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura Sprawdzian. Granice funkcji- przykładowe zadania ) 8 ZADANIE. Obliczyć granicę. 4 +6 4 Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granice
Bardziej szczegółowoElementy matematyki, wykład 5. Pochodna funkcji. Daniel Wójcik Szymon Łęski.
Elementy matematyki, wykład 5 Pochodna funkcji Daniel Wójcik Szymon Łęski d.wojcik@nencki.gov.pl s.leski@nencki.gov.pl http://www.neuroinf.pl/members/szleski/swps/ http://www.neuroinf.pl/members/danek/homepage/swps/matematyka_wyklad_html/
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowo