Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
|
|
- Juliusz Gajewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski
2
3
4 Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ 3 Szeregi liczbowe n S n = a k. Uporządkowaną parę ciągów ((a n ) n=1, (S n) n=1 ) nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem a k. Jeśli ciąg (S n ) n=1 jest zbieżny do pewnej liczby s, to szereg a k nazywamy zbieżnym do s. Granicę tę nazywamy sumą tego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy szeregiem rozbieżnym. Rozważmy ciąg (a n ) n=1, gdzie a n = 1. Ze znanych wzorów dla ciągu geometrycznego 2 n wynika, że S n = ( ) n Stąd już bezpośrednio stwierdzamy, że szereg 1 jest zbieżny i jego granicą jest liczba 1. 2 k Niech (a n ) n=1 będzie dowolnym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, gdzie q 1. Wtedy S n = a 1 1 qn 1 q. Z własności granic ciągów wnioskujemy, że szereg geometryczny a 1 q k 1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q ( 1, 1). W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny. Sumą tego szeregu (gdy q ( 1, 1)) jest a 1 1 q. Twierdzenie 3.1. Jeśli szereg a k jest zbieżny, to ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do zera. Twierdzenie 3.2. (Cauchy) Szereg a k jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 n 0 n>m>n 0 ( a m a n < ε).
5 28 Jacek M. Jędrzejewski Dla szeregu zbieżnego a k i dowolnego n N określamy tzw. n-tą resztę szeregu następująco: r n = a k. k=n+1 Twierdzenie 3.3. Ciąg (r n ) n=1 reszt szeregu zbieżnego jest zbieżny do zera. Twierdzenie 3.4. (Kryterium porównawcze zbieżności szeregów liczbowych) Załóżmy, że ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 Wtedy spełniają warunek n 0 n>n 0 (0 a n b n ). (1) jeśli szereg b k jest zbieżny, to szereg a k też jest zbieżny; (2) jeśli szereg a k jest rozbieżny, to szereg b k też jest rozbieżny. Twierdzenie 3.5. (Cauchy) Jeśli dla szeregu a k spełnione są następujące warunki a n 0 i lim sup n n a n = g, to: (1) jeśli g < 1, to szereg a k jest zbieżny, (2) jeśli g > 1, to szereg a k jest rozbieżny. Twierdzenie 3.6. (d Alembert) Jeśli dla szeregu a k spełnione są następujące warunki a n > 0 i lim sup n a n+1 a n = g, to: (1) szereg a k jest zbieżny, gdy g < 1, (2) szereg a k jest rozbieżny, gdy g > 1. Twierdzenie 3.7. Niech a k i b k będą szeregami zbieżnymi, c dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas szeregi są zbieżne oraz (a k + b k ), (a k b k ), (a k + b k ) = a k + b k, (a k b k ) = a k b k, (c a k ) = c a k. Ważnymi typami szeregów są szeregi postaci 1 gdy α > 0 n α n=1 (c a k ) zwane szeregami harmonicznymi rzędu α. Dla tych szeregów spełnione są następujące warunki: Jeśli α (0, 1], to rozważany szereg jest rozbieżny.
6 Jeśli α (1, ), to rozważany szereg jest zbieżny. Notatki z analizy 29 Szeregiem anharmonicznym nazywamy szereg postaci ( 1) n 1 n. α Jest on szeregiem zbieżnym. n=1 Rozważymy teraz trochę ogólniejsze zagadnienie związane z podobnego typu szeregami. Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci ( 1) k+1 a k, gdzie (a n ) n=1 jest pewnym ciągiem liczb nieujemnych. Twierdzenie 3.8. (Kryterium Leibniza) Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest nierosnącym i zbieżnym do zera ciągiem liczb nieujemnych, to szereg naprzemienny ( 1) k+1 a k jest zbieżny. Definicja 3.2. Szereg a k nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest szereg a k. Definicja 3.3. Szereg a k nazywamy warunkowo zbieżnym, jeśli jest on zbieżny, ale nie jest zbieżny szereg a k. Na koniec tego rozdziału zacytujemy dwa twierdzenia o szeregach warunkowo zbieżnych. Przez permutację zbioru X rozumiemy każdą wzajemnie jednoznaczną funkcję przekształcającą zbiór X na siebie. Twierdzenie 3.9. (o szeregach bezwarunkowo zbieżnych) Szereg liczbowy jest bezwarunkowo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezwzględnie zbieżny. Ponadto, jeśli szereg a k jest bezwzględnie zbieżny, to przy dowolnej pemutacji (k n ) n=1 zbioru liczb naturalnych a kn = a k. Twierdzenie (Riemann) Jeśli szereg a k jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego α R istnieje permutacja (k n ) n=1 zbioru liczb naturalnych taka, że a kn = α.
7
8 ROZDZIAŁ 4 Granica funkcji 1. Granice funkcji Definicja 4.1. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną, jeżeli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony. Definicja 4.2. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną z dołu, jeśli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony z dołu. Definicja 4.3. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną z góry, jeśli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony z góry. Oznacza to, że funkcja f : E R jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby c i d takie, że dla każdej liczby x ze zbioru E spełniony jest warunek c f(x) d. Definicja 4.4. Funkcję f : [a, b] R nazywamy rosnącą, jeżeli x 1,x 2 [a,b](x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy malejącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy niemalejącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy nierosnącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )); Definicja 4.5. Niech f : E R będzie funkcją określoną w pewnym podzbiorze E zbioru liczb rzeczywistych, dla którego x 0 funkcji f w punkcie x 0, jeśli punktem skupienia zbioru E. Liczbę g nazywamy granicą ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)).
9 32 Jacek M. Jędrzejewski Symbolicznie oznaczamy wtedy lim f(x) = g. x x 0 Warunek użyty w tej definicji jest nazywany warunkiem Cauchy ego. W literaturze znany jest też inny warunek określający granicę funkcji zwany warunkiem Heinego. Mówi on o granicy funkcji w języku ciągów. Twierdzenie 4.1. Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru E, to funkcja f : E R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n E, x n x 0 i lim n x n = x 0 również lim n f(x n ) = g. Twierdzenie 4.2. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w danym punkcie. Twierdzenie 4.3. Każda funkcja f : (a, b) R mająca granicę w punkcie x 0 R jest ograniczona w pewnym otoczeniu tego punktu. Twierdzenie 4.4. Załóżmy, że funkcje f : E R i g : E R mają granice w punkcie x 0 E d. Jeśli istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x) g(x) dla x E (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, to lim f(x) lim g(x). x x 0 x x0 Twierdzenie 4.5. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli dwie funkcje f : E R i g : E R mają tę samą granicę α w punkcie x 0 E d i funkcja h : E R spełnia warunek f(x) h(x) g(x) dla x (E (x 0 δ, x 0 + δ)) \ {x 0 } dla pewnej liczby δ > 0, to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę i jest ona równa α. Z własności działań algebraicznych na granicach ciągów wynika następne twierdzenie. Twierdzenie 4.6. Jeśli funkcje f : E R i g : E R mają granice w punkcie x 0 E d, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim x x 0 x x0 f(x) + x x0 lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x 0 x x0 x x0 lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x0 x x0 Jeśli ponadto lim x x0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x E, to ( ) f lim (x) = lim x x 0 f(x) x x 0 g lim x x0 g(x).
10 Notatki z analizy Granice jednostronne Niech dana będzie funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R. Zauważamy, że w tym przypadku punkt x 0 jest punktem skupienia przedziału (x 0, x 0 + δ) i możemy rozważać granice względem tego zbioru w punkcie x 0. Taką granicę nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0. Oznaczamy ją symbolem lim f(x). Podobnie definiujemy granicę lewostronną funkcji f określonej w przedziale (x 0 δ, x 0 ). Tę granicę oznaczamy symbolem Mamy wtedy: lim f(x). g = lim f(x) ε>0 δ>0 x (x 0,x 0 +δ) ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)) i podobnie g = lim f(x) ε>0 δ>0 x (x 0 δ,x 0 ) ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)). Łatwo przekonujemy się, że Twierdzenie 4.7. Jeśli f : (a, x 0 ) (x 0, b) R jest dowolną funkcją, to granica tej funkcji w punkcie x 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie granice lewostronna i prawostronna funkcji f w tym punkcie i są sobie równe. Korzystając z powyżej opisanych własności dotyczących granic funkcji określonych w dowolnym zbiorze E otrzymujemy następujące własności: Własność 4.1. Funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R ma w punkcie x 0 granicę prawostronną g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n > x 0, i lim n x n = x 0 spełniony jest warunek lim f(x n) = g. n Własność 4.2. Funkcja f : (x 0 δ, x 0 ) R ma w punkcie x 0 granicę lewostronną g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n < x 0, i x n x 0 spełniony jest warunek lim f(x n) = g. n Własność 4.3. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę prawostronną (lewostronną) w danym punkcie.
11 34 Jacek M. Jędrzejewski Własność 4.4. Niech funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają granice prawostronne w punkcie x 0 E. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ 1 > 0 taka, że to Własność 4.5. Niech funkcje f(x) g(x) dla x (x 0, x 0 + δ 1 ), lim f(x) lim g(x). f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają granice lewostronne w punkcie x 0. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ 1 > 0 taka, że to f(x) g(x) dla x (x 0 δ 1, x 0 ), lim f(x) lim g(x). Własność 4.6. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają tę samą granicę prawostronną α w punkcie x 0, a ponadto funkcja h : (x 0, x 0 + δ) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę prawostronną i jest ona równa α. Własność 4.7. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają tę samą granicę lewostronną α w punkcie x 0, a ponadto funkcja spełnia warunek h : (x 0 δ, x 0 ) R f(x) h(x) g(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę lewostronną i jest ona równa α.
12 Notatki z analizy 35 Własność 4.8. Jeśli funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają granice prawostronne w punkcie x 0, to funkcje f +g, f g i f g mają granice prawostronne w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) Jeśli ponadto lim x x + 0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to Własność 4.9. Jeśli funkcje lim ( ) f g (x) = lim x x + f(x) 0 lim x x + g(x). 0 f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają granice lewostronne w punkcie x 0, to funkcje f + g, f g i f g mają granice lewostronne w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim lim (f g)(x) = lim lim (f g)(x) = lim f(x) + lim f(x) lim f(x) lim g(x), g(x), g(x) Jeśli ponadto lim x x 0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ), to lim ( ) f (x) = lim x x f(x) 0 g lim x x g(x). 0 Na koniec tej części rozdziału odnotujmy pewne ważne granice, które będą przydatne w dalszej części wykładu. sin x lim x 0 x = 1, e x 1 lim x 0 x = 1.
13 36 Jacek M. Jędrzejewski 3. Granice w nieskończoności Definicja 4.6. Niech funkcja f będzie określona w pewnym przedziale (a, ). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x (δ, )( f(x) g < ε). lim f(x) = g. x Oczywiście, możemy się spodziewać odpowiedniego warunku Heinego dla tego typu granicy. Dowody tych własności są podobne do dowodów odpowiednich własności granicy funkcji w punkcie. Twierdzenie 4.8. Funkcja f : (a, ) R ma w nieskończoności granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x n ) n=1 takiego, że lim n x n = ma miejsce zbieżność lim f(x n) = g. n Twierdzenie 4.9. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w nieskończoności. Twierdzenie Niech funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R mają granice w nieskończoności. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ taka, że f(x) g(x) dla x (δ, ), to lim f(x) lim g(x). x x Twierdzenie (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R mają tę samą granicę α w nieskończoności, a ponadto funkcja h : (a, ) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (a, ), to funkcja h ma w nieskończoności granicę i jest ona równa α. Twierdzenie Jeśli funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R
14 Notatki z analizy 37 mają granice w nieskończoności, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w nieskończoności oraz Jeśli ponadto lim x g(x) 0, to lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x x lim x ( f g ) (x) = lim x f(x) lim x g(x). Definicja 4.7. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym przedziale (, a). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności ( ), jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x (, δ)( f(x) g < ε). lim f(x) = g. x Oczywiście wszystkie własności, które przedstawiliśmy dla granic w nieskończoności przenoszą się na granice funkcji w minus nieskończoności. Twierdzenie Funkcja f : (, a) R ma w minus nieskończoności granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że lim n x n = mamy: lim f(x n) = g. n Twierdzenie Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w minus nieskończoności. Twierdzenie Niech funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają granice w minus nieskończoności. Jeśli istnieje liczba δ taka, że f(x) g(x) dla x (, δ), to lim f(x) lim g(x). x x Twierdzenie (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają tę samą granicę α w minus nieskończoności i funkcja h : (, a) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (, a),
15 38 Jacek M. Jędrzejewski to funkcja h ma w minus nieskończoności granicę i jest ona równa α. Twierdzenie Jeśli funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają granice w minus nieskończoności, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w minus nieskończoności oraz Jeśli ponadto lim x g(x) 0, to lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x x lim x ( ) f (x) = lim x f(x) g lim x g(x). 4. Granice niewłaściwe Definicja 4.8. Niech f : E R będzie funkcją określoną w podzbiorze E zbioru liczb rzeczywistych, dla którego x 0 jest punktem skupienia. Nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x x 0 Definicja 4.9. Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, gdzie E jest podzbiorem liczb rzeczywistych i x 0 punktem skupienia zbioru E, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = (f(x) < ε)). lim f(x) =. x x 0 Jeśli zbiór E jest przedziałem (x 0, x 0 + a), to (wtedy oczywiście x 0 jest punktem skupienia przedziału (x 0, x 0 + a)) granica powyżej określona jest granicą prawostronną, gdy zaś zbiór E jest postaci E = (x 0 a, x 0 ), to taka granica jest granicą lewostronną. Podobnie określamy granice niewłaściwe w nieskończoności. Mamy wtedy następujące określenia:
16 nek: Notatki z analizy 39 Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych spełniającym waru- a R x E(a < x). Jeżeli f : E R jest dowolną funkcją, to nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x > δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(x < a). Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, to nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x < δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(a < x). Jeśli f : E R będzie daną funkcją, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x > δ) = (f(x) < ε)). lim f(x) =. x Definicja Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(x < a). Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności, jeśli ε>0 δ>0 x E (x < δ) = (f(x) < ε)).
17 40 Jacek M. Jędrzejewski Symbolicznie oznaczamy wtedy lim f(x) =. x W każdym z powyższych przypadków możemy odnotować podstawowe twierdzenie charakteryzujące granice tak właściwe jak i niewłaściwe przy pomocy ciągów (metoda Heinego). Mamy więc: Twierdzenie Funkcja f ma granicę g w punkcie x 0 R, jeśli dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n E, x n x 0 i lim n x n = x 0 również lim n f(x n ) = g. 5. Asymptoty Jeśli funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R ma w punkcie x 0 granicę prawostronną równą + lub, to mówimy, że prosta o równaniu x = x 0 jest asymptotą pionową funkcji f (z prawej strony). Jeśli funkcja f : (x 0 δ, x 0 ) R ma w punkcie x 0 granicę lewostronną równą lub, to mówimy, że prosta o równaniu x = x 0 jest asymptotą pionową funkcji f (z lewej strony). Prostą L nazywamy asymptotą pochyłą (ukośną) funkcji f : (a, ) R w nieskończoności, jeśli ϱ((x, f(x)), L) 0 przy x, gdzie ϱ((x, f(x)), L) oznacza odległość punktu (x, f(x)) od prostej L. Prostą L nazywamy asymptotą pochyłą (ukośną) funkcji f : (a, ) R w minus nieskończoności, jeśli ϱ((x, f(x)), L) 0 przy x, Istnienie asymptot wynika z obliczenia dwóch specjalnych granic. Prawdziwe jest następujące twierdzenie: Twierdzenie Prosta L o równaniu y = ax + b jest asymptotą funkcji w nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy f : (c, ) R f(x) lim x x = a
18 Notatki z analizy 41 oraz lim (f(x) ax) = b. x Twierdzenie Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą funkcji f : (, c) R w minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy oraz f(x) lim x x = a lim (f(x) ax) = b. x Definicja Prostą L nazywamy styczną do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeśli stosunek odległości dowolnego punktu (x, f(x)) na wykresie funkcji f od prostej L do odległości tego punktu od punktu (x 0, f(x 0 )) ma granicę przy x dążącym do x 0 i granica ta jest równa zeru. Symbolicznie, gdy ϱ(p, L) lim x x 0 ϱ(p, p 0 ) = 0, gdzie p = (x, f(x)), p 0 = (x 0, f(x 0 )) i ϱ oznacza odległość euklidesową na płaszczyźnie.
19
20 ROZDZIAŁ 5 Funkcje ciągłe Definicja 5.1. Funkcja f : (a, b) R nazywa się ciągła w punkcie x 0 (a, b), jeśli ε>0 δ>0 x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Warunek użyty w tej definicji nosi nazwę warunku Cauchy ego. Definicja 5.2. Funkcję f : [x 0, b) R nazywamy ciągłą z prawej strony (prawostronnie ciągłą) w punkcie x 0, jeśli ε>0 δ>0 x (x 0,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Definicja 5.3. Funkcję f : (a, x 0 ] R nazywamy ciągłą z lewej strony (lewostronnie ciągłą) w punkcie x 0, jeśli ε>0 δ>0 x (a,x 0 ) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Oczywiście zauważamy bez trudu, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła z lewej i z prawej strony jednocześnie. W przypadku funkcji f : [a, b] R mówimy, że jest ciągła w punkcie a, gdy jest w nim prawostronnie ciągła, a ciągła w punkcie b, gdy jest w nim lewostronnie ciągła. Poniższe twierdzenie podaje warunek (nazywany warunkiem Heinego) równoważny ciągłości funkcji w danym punkcie sformułowany w języku ciągów. Twierdzenie 5.1. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 przedziału (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 ciąg (f(x n )) n=1 f(x 0 ). jest zbieżny do Twierdzenie 5.2. Funkcja f : (x 0, b) R jest ciągła prawostronnie w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 i takiego, że x n x 0 ciąg (f(x n )) n=1 jest zbieżny do f(x 0 ). Twierdzenie 5.3. Funkcja f : (a, x 0 ) R jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 i takiego, że x n x 0 dla n N, ciąg (f(x n )) n=1 jest zbieżny do f(x 0). Twierdzenie 5.4. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b), to istnieje granica funkcji f w punkcie x 0 i jest równa f(x 0 ).
21 44 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie 5.5. Jeśli w punkcie x 0 (a, b) istnieje granica funkcji f : (a, b) R i jest równa f(x 0 ), to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. W języku otoczeń ciągłość funkcji można wyrazić następująco: Twierdzenie 5.6. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 przedziału (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia V punktu x 0 istnieje otoczenie U punktu x 0 takie, że f(u) V. Z powyższej własności łatwo wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie 5.7. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) i f(x 0 ) 0, to istnieje otoczenie U punktu x 0 takie, że f(x) 0 gdy x U. Twierdzenie 5.8. Jeśli funkcje f : (a, b) R i g : (a, b) R są ciągłe w punkcie x 0 (a, b), to ciągłe w tym punkcie są również następujące funkcje f + g, f g, f g, f, max(f, g), min(f, g). Ponadto, jeśli g(x) 0 dla x (a, b), to również funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0. Twierdzenie 5.9. Niech dane będą funkcje: f : (a, b) (c, d), i g : (c, d) R. Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) i funkcja g jest ciągła w punkcie f(x 0 ), to funkcja g f jest ciągła w punkcie x 0. Definicja 5.4. Funkcja f : (a, b) R nazywa się ciągła w przedziale (a, b), jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję f : [a, b] R nazywamy ciągłą w przedziale [a, b], jeśli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a, b) oraz w punktach a i b jednostronnie ciągła. Łatwo stwierdzamy, że funkcja f : (a, b) R jest ciągła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli x 0 (a,b) ε>0 δ>0 x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy x 0 [a,b] ε>0 δ>0 x [a,b] ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Definicja 5.5. Funkcję f : (a, b) R nazywamy jednostajnie ciągłą w przedziale (a, b), ε>0 δ>0 x 0 (a,b) x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Funkcję f : [a, b] R nazywamy jednostajnie ciągłą w przedziale [a, b], jeśli ε>0 δ>0 x 0 [a,b] x [a,b] ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε).
22 Notatki z analizy 45 Oczywiście, z definicji ciągłości i jednostajnej ciągłości wynika, że każda funkcja jednostajnie ciągła w pewnym przedziale jest w tym przedziale ciągła (niezależnie, czy jest to przedział otwarty, czy domknięty). Podamy teraz pewne charakteryzacje funkcji ciągłych w podprzedziałach zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Funkcja f : (a, b) R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty. Podzbiór zbioru R nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym. Inaczej mówiąc, podzbiór E zbioru liczb rzeczywistych jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Bezpośrednio z powyższej definicji, własności przeciwobrazów funkcji i wzorów de Morgana wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie Funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty. Twierdzenie Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby α zbiory {x (a, b) : f(x) < α}, {x (a, b) : f(x) > α} są otwarte. Definicja 5.6. O funkcji f : (a, b) R mówimy, że ma własność Darboux, jeśli dla każdych punktów α, β z przedziału (a, b) takich, że α < β i f(α) f(β) oraz każdej liczby c leżącej między f(α) i f(β) istnieje punkt ξ (α, β) taki, że f(ξ) = c. Mówimy, że funkcja f : [a, b] R ma własność Darboux, jeśli dla każdych punktów α, β z przedziału [a, b] takich, że α < β i f(α) f(β) oraz każdej liczby c leżącej między f(α) i f(β) istnieje punkt ξ (α, β) taki, że f(ξ) = c. Twierdzenie (Tw. Darboux) Każda funkcja ciągła w przedziale (otwartym lub domkniętym) ma własność Darboux. Niech f : [a, b] R będzie dowolną funkcją. Jeśli istnieje element x 1 [a, b] taki, że f(x 1 ) = sup {f(x) : x [a, b]}, to wartość f(x 1 ) nazywamy maksimum funkcji f w przedziale [a, b], a punkt x 1 punktem, w którym istnieje maksimum.
23 46 Jacek M. Jędrzejewski Jeśli istnieje punkt x 2 [a, b] taki, że f(x 2 ) = inf {f(x) : x [a, b]}, to wartość f(x 2 ) nazywamy minimum funkcji f w przedziale [a, b], a punkt x 2 punktem, w którym istnieje minimum. Przez ekstremum rozumiemy maksimum lub minimum. Jasnym jest, że nie każda funkcja posiada punkty maksymalny i minimalny. Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) zawarte w (a, b) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Łatwo zauważyć, że pojęcia maksimum i maksimum lokalne są różne, nie zawsze maksimum (czasami nazywane maksimum globalnym) musi być maksimum lokalnym i odwrotnie. Te same uwagi dotyczą minimum i minimum lokalnego. Twierdzenie (Tw. Weierstrassa) Każda funkcja ciągła określona w przedziale domkniętym (i ograniczonym) jest ograniczona oraz istnieją punkty ξ 1, ξ 2 [a, b] takie, że f(ξ 1 ) = inf {f(x) : x [a, b]}, f(ξ 2 ) = sup {f(x) : x [a, b]}. Z powyższego twierdzenia wynika, że każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym osuiąga swoje maksimum i minimum. Twierdzenie (Tw. Heinego) Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoMatematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji
27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoCi agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoFunkcje. Granica i ciągłość.
Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoTemat: Ciągi i szeregi funkcyjne
Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną
Bardziej szczegółowoEgzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski
ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Na dzisiejszym wykładzie (oraz trzech
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoSpis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 5
Granica funkcji wykład 5 dr Mariusz Grządziel 4 listopada 200 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego
Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II
Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowo