Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Transkrypt

1 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki Elementy logiki i teorii zbiorów Rachunek zdań Reguły wnioskowania Funkcja zdaniowa i kwantyfikatory Działania na zbiorach Zadania Funkcje i relacje Relacja Relacja równoważności Funkcja Ciąg Działania na funkcjach Obraz i przeciwobraz Zadania Zbiory liczbowe Liczby naturalne Ciała Liczby wymierne i rzeczywiste Liczby zespolone Postać trygonometryczna liczby zespolonej Zadania Rozdział II. Ciągi i szeregi Przestrzenie metryczne I Przykłady przestrzeni metrycznych Kule w przestrzeniach metrycznych Zbieżność Zadania Ciągi Własności ciągów liczbowych Ciągi liczb rzeczywistych Metody obliczania granic... 55

2 8 Spis treści Ciągi rozbieżne do nieskończoności Ciągi ograniczone Zadania Szeregi Szeregi liczbowe Kryteria zbieżności szeregów Szeregi potęgowe Szeregi funkcyjne Uzupełnienia Zadania Rozdział III. Ciągłość Przestrzenie metryczne II Zbiory otwarte i domknięte Zbiory zwarte Przestrzeń zupełna Zasada Banacha Zadania Granica i ciągłość funkcji Definicja ciągowa (Heinego) Definicja otoczeniowa (Cauchy ego) Działania na funkcjach ciągłych Przykłady Zadania Własności funkcji ciągłych Własność Darboux Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych Przestrzeń funkcji ciągłych Zadania Rozdział IV. Różniczkowalność Pochodna funkcji jednej zmiennej Definicja pochodnej Podstawowe twierdzenia Pochodne funkcji elementarnych Przykłady Pochodne wyższych rzędów Zadania Twierdzenia o wartości średnieji ich zastosowania Twierdzenia o wartości średniej Wzór Taylora Badanie przebiegu zmienności funkcji Reguła de L Hospitala Przybliżone rozwiązywanie równań Zadania Pochodne funkcji wielu zmiennych Elementy algebry liniowej Pochodne cząstkowe

3 Spis treści Pochodna Frécheta Pochodna kierunkowa Zastosowania różniczki i pochodnej Pochodna funkcji złożonej Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Pochodne w przestrzeniach unormowanych Operatory teorii pola Zadania Ekstrema funkcji Wzór Taylora Ekstrema lokalne Ekstrema globalne Zadania Twierdzenie o funkcji odwrotnej i jego zastosowania Twierdzenie o funkcji odwrotnej Twierdzenie o funkcji uwikłanej Powierzchnie Powierzchnie domknięte i kawałkami gładkie Ekstrema warunkowe Zadania Rozdział V. Ca lki Całka nieoznaczona Definicja całki nieoznaczonej Podstawowe całki Całkowanie przez części Całkowanie przez podstawienie Całkowanie funkcji wymiernych Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych Zadania Całka oznaczona Definicja całki oznaczonej Całkowalność funkcji Własności całki oznaczonej Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną Zastosowania geometryczne całki Całki niewłaściwe i ich zastosowania Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki Różniczkowanie całki zależnejod parametru Uogólnienia: całka Riemanna Stieltjesa i całka z funkcji o wartościach w R n Funkcje specjalne Zadania Całki wielokrotne Definicja całki wielokrotnej Całka iterowana i wzór Fubiniego Całka wielokrotna po dowolnym zbiorze Zastosowania całek wielokrotnych Twierdzenie o zamianie zmiennych Zadania

4 10 Spis treści 5.4. Całki krzywoliniowe Orientacja Całka krzywoliniowa zorientowana Całka krzywoliniowa niezorientowana Związek całek zorientowanych i niezorientowanych Zastosowania całek krzywoliniowych Wzór Greena i pole potencjalne Zadania Całki powierzchniowe Całka powierzchniowa niezorientowana Całka powierzchniowa zorientowana Twierdzenie Gaussa Ostrogradskiego Twierdzenie Stokesa Równanie Poissona Zadania Rozdział VI. Funkcje zespolone Pochodna i całka Pochodna zespolona Równania Cauchy ego Riemanna Całka zespolona Twierdzenie całkowe Cauchy ego Zadania Własności funkcji analitycznych Wzór całkowy Cauchy ego Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy Nierówności Cauchy ego i zasada maksimum Szereg Laurenta i punkty osobliwe Zadania Zastosowania funkcji analitycznych Rachunek residuów Funkcje harmoniczne Zadania Rozdział VII. Równania różniczkowe Metody rozwiązywania równań różniczkowych Uwagi ogólne Modele przyrodnicze prowadzące do równań różniczkowych zwyczajnych Równanie o zmiennych rozdzielonych Równanie zupełne Równanie liniowe i równanie Bernoulliego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań pierwszego rzędu Uwagi o efektywnym rozwiązywaniu równań różniczkowych Zadania Podstawowe twierdzenia Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych Ciągła zależność od warunków początkowych i parametru

5 Spis treści Metoda małego parametru Zastosowanie szeregów potęgowych w teorii równań różniczkowych Zadania Równania i układy równań liniowych Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności Układ liniowy jednorodny Rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego Układ jednorodny o stałych współczynnikach Układ niejednorodny ze stałą macierzą A Równanie liniowe Równanie liniowe o stałych współczynnikach Analiza równania drgań Zadania Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych Równanie autonomiczne Układ zachowawczy Stabilność Twierdzenie Liouville a Zadania Elementarne wiadomości o równaniach cząstkowych Równania cząstkowe pierwszego rzędu Równania cząstkowe drugiego rzędu Zadania Rozdział VIII. Teoria ca lki Lebesgue a Przestrzeń z miarą Zbiory mierzalne Zbiory borelowskie Miara Miara Lebesgue a Miara zupełna Własności miary Zadania Funkcje mierzalne Definicja funkcji mierzalnej Własności funkcji mierzalnych Funkcje proste Zadania Całka Lebesgue a Definicja całki Lebesgue a Własności całki Lebesgue a Twierdzenia o przejściu do granicy pod znakiem całki Całkowanie funkcji zespolonych Całka Lebesgue a w R Zadania Szeregi Fouriera Przestrzeń L Przestrzeń unitarna i przestrzeń Hilberta Układ ortonormalny

6 12 Spis treści Szeregi Fouriera Równanie Laplace a w kole Zadania Rozdział IX. Dodatek Transformacja Fouriera Twierdzenie Fubiniego Splot Transformacja Fouriera Odwrotna transformacja Fouriera Równanie przewodnictwa cieplnego Zadania Transformacja Laplace a Definicja transformaty Laplace a Własności transformaty Laplace a Zastosowania transformacji Laplace a do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Zadania Elementy rachunku wariacyjnego Ekstrema funkcjonałów Ekstremale funkcjonału działania Przykłady Związek rachunku wariacyjnego z mechaniką Newtona Zadania Literatura uzupełniająca Skorowidz