Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.

Transkrypt

1 Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek zdań. Formy zdaniowe. Prawa działań na kwantyfikatorach Pojęcie zdania Funktory zdaniotwórcze (spójniki międzyzdaniowe) Prawa logiki (tautologie) Pojęcie reguł wnioskowania Predykaty Prawa działań na kwantyfikatorach Zadania Rozwiązania zadań 22 Wykład 2. Zbiory. Iloczyn kartezjański. Relacje Zbiory (mnogości) Podzbiory, zawieranie i równość zbiorów Działania na zbiorach Produkt kartezjański zbiorów Relacje dwuargumentowe (binarne) Zadania Rozwiązania zadań 34 Wykład 3. Grupowanie i porządkowanie Grupowanie Porządkowanie Zadania Rozwiązania zadań 44 Wykład 4. Składanie relacji, relacje odwrotne. Odwzorowania, własności odwzorowań Składanie relacji Pojęcie relacji odwrotnej Funkcje Zadania Rozwiązania zadań 52

2 CZĘŚĆ II. ALGEBRA LINIOWA 57 Wykład 5. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji Zadania Rozwiązania zadań 66 Wykład 6. Przestrzeń macierzy. Pojęcie przestrzeni wektorowej i podprzestrzeni. Iloczyn skalarny, ortogonalność Przestrzeń macierzy Przestrzeń wektorowa, podprzestrzeń Iloczyn skalarny i ortogonalność Zadania Rozwiązania zadań 75 Wykład 7. Generowanie przestrzeni, liniowa niezależność, baza Otoczka liniowa Liniowa niezależność Pojęcie bazy Ortogonalność Zadania Rozwiązania zadań 84 Wykład 8. Przekształcenia liniowe Pojęcie przekształcenia liniowego. Obraz, jądro, rząd przekształcenia liniowego Macierz przekształcenia liniowego Zadania Rozwiązania zadań 94 Wykład 9. Iloczyn zewnętrzny (skośny). Wyznacznik i zorientowana objętość Iloczyn zewnętrzny (skośny) Wyznacznik określenie Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace'a-Cauchy'ego Wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego Zadania Rozwiązania zadań 107 Wykład 10. Równania liniowe. Macierz odwrotna. Rząd macierzy. Macierz przejścia Ogólne własności równań liniowych Reprezentacja macierzowa równania liniowego Macierz odwrotna 114

3 10.4. Obliczanie macierzy odwrotnej Wzór na macierz odwrotną Macierze blokowe. Obliczanie macierzy odwrotnej przez podział na bloki Macierz przejścia. Macierz przekształcenia liniowego w różnych bazach Zadania Rozwiązania zadań 127 Wykład 11. Iloczyn wektorowy. Prosta. Hiperpłaszczyzna. Sfera Iloczyn wektorowy Równanie prostej Równanie płaszczyzny Suma liniowa Płaszczyzna Hiperpłaszczyzna Rzut ortogonalny na płaszczyznę Sfera Zadania Rozwiązania zadań 147 Wykład 12. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego. Macierze ortogonalne. Diagonalizacja macierzy Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego Pojęcie macierzy ortogonalnej Sprowadzanie macierzy do postaci diagonalnej Zadania Rozwiązania zadań 162 Wykład 13. Formy liniowe. Formy kwadratowe Formy liniowe w R nx Formy kwadratowe na R nx Postać kanoniczna formy kwadratowej Określoność formy kwadratowej Zadania Rozwiązania zadań 171 Wykład 14. Hiperpowierzchnie drugiego stopnia w przestrzeni R nx Niejednorodne formy kwadratowe w przestrzeni R nx Sprowadzanie niejednorodnej formy kwadratowej do postaci kanonicznej Hiperpowierzchnie drugiego stopnia w przestrzeni R nx Klasyfikacja krzywych drugiego stopnia w przestrzeni dwuwymiarowej 179

4 14.5. Klasyfikacja powierzchni drugiego stopnia w przestrzeni trójwymiarowej Środek symetrii hiperpowierzchni Zadania Rozwiązania zadań 185 CZĘŚĆ III. ANALIZA MATEMATYCZNA 191 Wykład 15. Przestrzeń metryczna. Granica ciągu punktów przestrzeni metrycznej Odległość w przestrzeni euklidesowej Przestrzeń metryczna Granica ciągu punktów Podstawowe pojęcia Wzmianka o dalszym uogólnieniu koncepcji granicy ciągu punktów Zadania Rozwiązania zadań 204 Wykład 16. Granica funkcji. Ciągłość Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych rzeczywistych Granica w punkcie funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych Pojęcie granicy iterowanej Ciągłość funkcji Zadania Rozwiązania zadań 216 Wykład 17. Pochodna kierunkowa. Pochodna funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych. Różniczka Pochodna kierunkowa. Pochodna słaba (gradient). Pochodna mocna Własności gradientu Różniczkowalność Zadania Rozwiązania zadań 230 Wykład 18. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Pochodna drugiego rzędu Różniczki dowolnego rzędu Wzór Taylora Zadania Rozwiązania zadań 241

5 Wykład 19. Ekstrema funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych Zadania Rozwiązania zadań 252 Wykład 20. Różniczkowanie funkcji zmiennej wektorowej o wartościach wektorowych. Funkcje niejawne Funkcje o wartościach wektorowych Wprowadzenie Różniczkowanie funkcji o wartościach wektorowych Zarys ogólnej koncepcji pochodnej Funkcje niejawne (uwikłane) Zadania Rozwiązania zadań 270 Wykład 21. Ekstrema warunkowe Zadania Rozwiązania zadań 280 Wykład 22. Całka nieoznaczona Definicja całki nieoznaczonej i podstawowe wzory Całkowanie funkcji wymiernych Zadania Rozwiązania zadań 293 Wykład 23. Całka oznaczona Pole trapezu Addytywność Medialność Ciągłość Własności funkcji przedziału Całka oznaczona Całki niewłaściwe Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym Całka niewłaściwa funkcji nieciągłych w jednym punkcie Zadania Rozwiązania zadań 314 Wykład 24. Całka podwójna Całka podwójna jako funkcja obszaru płaskiego Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po obszarze normalnym Całka podwójna po obszarze regularnym Liniowość i addytywność całki podwójnej Zadania 324

6 24.7. Rozwiązania zadań 325 Wykład 25. Zamiana zmiennych w całce podwójnej Przekształcenia płaszczyzny Wzór na zamianę zmiennych w całce podwójnej 335 Wykład 26. Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe Zadania Rozwiązania zadań 346 Zadania do samodzielnego rozwiązania 352 Bibliografia 371 Skorowidz 372 oprac. BPK