Układ RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:

Transkrypt

1 Politechnika Łódzka TIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Zadanie: Układ z diodą Termin: 5 I 2010 Nr. albumu: Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Nr. albumu: Nazwisko i imię: Tarasiuk Paweł Data oddania raportu: 5 I 2010

2 Treść zadania Zbadać ewolucję w czasie układu z dodaną prostą diodą. Schemat układu przedstawiony jest na rysunku. ównanie opisujące zachowanie układu jest następujące: d 2 q dt 2 = q dq dt ( ) 1 ln dq dt cos(t) gdzie q to ładunek na kondensatorze, a,,, i to pewne stałe. Wykonać wykres zależności q oraz I = dq dt od czasu. Zrobić wykres fazowy (I(q)). Zbadać ilość energii wydzielanej na oporniku i na diodzie. Przeanalizować postać zadania w zależności od wartości parametrów. W jakich przypadkach rozwiązania będą jakościowo różne? Opis metody Kluczowe dla rozwiązania problemu jest wykorzystanie funkcji ode do rozwiązania równania różniczkowego. Przygotowanie równania do użycia tej procedury było proste - wystarczyło rozbić je na układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu: dq dt = I di dt = q ( ) I ln 1 I cos(t) Wszystkie znalezione rozwiązania przystają do ogólnego wzoru, bądź są jego przypadkami granicznymi: q(t) = A 1 e κt sin(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + φ 2 ) + c 1 Jednak, ze względu na różnorodne uproszczenia tego wzoru (które występują w większości przypadków), uzyskane rozwiązania równania różniczkowego można uważać za jakościowo różne. Istnieje np. przypadek, w którym otrzymano pojedynczą funkcję falową - dla pewnych współczynników jest on oczywiście szczególnym przypadkiem przedstawionego wzoru, jednak da się go zapisać znacznie prościej. Ze względu na różne charaktery uproszczeń, wyszczególnione zostało 6 przypadków. Dla każdego z nich sporządzono wykresy q(t), I(t), I(q) oraz wykres zmian energii w czasie (przedstawiający energię całkowitą układu oraz energię wydzieloną na oporniku oraz na diodzie). Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 2 / 11

3 Dla każdego przypadku, na podstawie wykresów odgadnięta została postać przybliżonego wzoru funkcji opisującej zależność q(t), a następnie zostały do tej postaci dobrane współczynniki, za pomocą funkcji leastsq. Energia wydzielana na diodzie liczona była w oparciu o prawo zachowania energii. Wiemy, że energia całkowita wprowadzona do układu, czyli praca wykonana przez źródło w czasie, wyraża się wzorem E A (t) = I(t) U(t) dt, gdzie U(t) = cos( t). Energia wydzielona na kondensatorze to natomiast E (t) = (q(t))2 2, na zwojnicy - E (t) = 1 2 (I(t))2, oraz na oporniku - E = I(t) dt. Energię wydzieloną na diodzie można zatem obliczyć jako E D (t) = E A (t) E (t) E (t) E (t). W celu zastąpienia całek nieoznaczonych, przygotowana została prosta funkcja obliczająca wektor wartości całek oznaczonych dla kolejnych punktów w czasie, na podstawie wektora wartości funkcji. Wartości całek oznaczonych liczone są poprzez sumowanie pól trapezów. Wektor uzyskany jako wynik takiej funkcji jest jednocześnie wektorem wartości całki nieoznaczonej w tych punktach. Jest to rozwiązanie wydajniejsze, niż korzystanie w tym celu z funkcji ode. Przypadek I Typowy, rezonansowy układ z diodą mającą umiarkowany wpływ na ewolucję układu. Przyjęte parametry: 100 Ω 8000 H 0, , 5 Hz 9 V 0, 1 A W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) jest pojedynczą funkcją falową ze wzmocnieniem wykładniczym do pewnego poziomu, czyli (w odniesieniu do ogólnego wzoru) zachodzi przypadek c 1 = 0, κ < 0, A 2 = A 1, ω 2 = ω 1 oraz φ 2 = φ 1. Po uproszczeniu, otrzymamy wtedy: q(t) = A 2 (1 e κt ) sin(ω 1 t + φ 1 ) Dla czasu od 0 do t max = 300 s uzyskane zostały następujące wykresy: Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 3 / 11

4 Gdzie dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór ma postać: q(t) = 0, (1 exp( 0, t)) sin(0, t + 0, ) Wykresy pokazują, że powyższy wzór jest bardzo dokładny (na wykresie q(t) niebieska linia przerywana praktycznie zakrywa czerwoną linię). Przypadek II ezonansowy układ, z oporem opornika oraz parametrem diody przyjętymi jako 0, w celu uzyskania braku tłumienia. 0 Ω 8000 H 0, , 5 Hz 0 V 0, 1 A W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) jest pojedynczą funkcją falową ze wzmocnieniem liniowym (nieograniczonym). W odniesieniu do wzoru ogólnego otrzymujemy tutaj: c 1 = 0, A 2 = A 1, ω 2 = ω 1 oraz φ 2 = φ 1. Jest to jednak przypadek graniczny, gdzie κ 0 oraz A 1 a κ. Zauważmy, że lim κ 0 ( a κ (eκt e 1)) = a lim κt 1 H κ 0 κ = a lim κ 0 (t e κt ) = a t. Zatem wzór opisujący ten przypadek, postaci: q(t) = a t sin(ω 1 t + φ 1 ) Stanowi graniczny przypadek przedstawionego wzoru ogólnego. Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 4 / 11

5 Dla czasu od 0 do t max = 200 s uzyskane zostały następujące wykresy: Gdzie dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór ma postać: q(t) = 0, t sin(0, t ) Wykresy pokazują, że powyższy wzór jest bardzo dokładny (na wykresie q(t) niebieska linia przerywana praktycznie zakrywa czerwoną linię). iekawostką jest, że wykres fazowy dla tego szczególnego przypadku stanowi idealną spiralę Archimedesa. Przypadek III Układ o częstości bliskiej rezonansowej (nieznacznie zachwiany). 80 Ω 8000 H 0, , 44 Hz 7, 0, 1 A Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 5 / 11

6 W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) sumą pewnej funkcji falowej, oraz funkcji falowej tłumionej. Wykorzystany zostanie wzór ogólny praktycznie w pełnej formie - jedyne, co jest w tym przypadku szczególne, to c 1 = 0 oraz φ 1 = φ 2. Zatem wzór opisujący ten przypadek ma postać: q(t) = A 1 e κt sin(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + φ 1 ) Dla czasu od 0 do t max = 300 s uzyskane zostały następujące wykresy: Gdzie dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór ma postać: q(t) = 0, exp( 0, t) sin(0, t+1, )+0, sin(0, t+1, ) Także w tym przypadku wykresy pokazują, zapisany powyżej wzór jest dokładny (na wykresie q(t) niebieska linia przerywana praktycznie zakrywa czerwoną linię). Wykres fazowy dla tego przypadku jest mało czytelny, ale można z niego wywnioskować, że promień krzywizny na początku jest mały, później rośnie, aż w końcu stabilizuje się w pobliżu pewnej elipsy pośredniej. Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 6 / 11

7 Układ ze zwojnicą o małej indukcyjności. Przypadek IV 100 Ω 80 H 0, , 5 Hz 10 V 0, 1 A W tym przypadku uzyskana funkcja q(t) jest najprostsza, gdyż A 1 = 0 oraz c 1 = 0. Dobrym przybliżeniem wyniku dla tego przypadku jest po prostu pojedyncza funkcja falowa: q(t) = A 2 sin(ω 2 t + φ 2 ) Odstępstwo od takiej postaci wzoru występuje jedynie na samym początku pracy układu. Dla czasu od 0 do t max = 100 s uzyskane zostały następujące wykresy: Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 7 / 11

8 Dopasowany (według wskazanej postaci jakościowej) za pomocą funkcji leastsq wzór q(t) ma postać: q(t) = 0, sin(0, t + 1, ) Odstępstwo od powyższego wzoru dotyczy tylko samego początku pracy układu. Także wykres fazowy sporządzony dla tego przypadku dla początkowych chwil czasu jest bardzo chaotyczny, a dla dalszych - stanowi po prostu elipsę. Przypadek V Układ ze zwojnicą o bardzo dużej indukcyjności. 300 Ω H 0, , 5 Hz 33 V 0, 1 A Przypadek ten można by potraktować tak samo jak przypadek III, otrzymując podobnie skomplikowany, ale przy tym bardzo dokładny wzór. W tym przypadku także c 1 = 0. Jednakże, w tym przypadku κ jest bardzo duże (κ jest bardzo małą liczbą ujemną), dzięki czemu można przybliżyć, że q(t) jest po prostu złożeniem dwóch funkcji falowych (co jest przypadkiem granicznym wzoru ogólnego dla κ ). Przyjęta postać rozwiązania to zatem: q(t) = A 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + φ 2 ) Wykres pozwala stwierdzić, że jest to tylko przybliżenie, ale można je uznać za wystarczająco dokładne. ozważano ewolucję w czasie od 0 do t max = 100 s: Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 8 / 11

9 Dopasowany (według postaci jakościowej, ustalonej na podstawie uzyskanej krzywej wykresu) za pomocą funkcji leastsq wzór q(t) ma postać: q(t) = 0, sin(0, t + 1, ) 0, sin(0, t + 1, ) Powyższy wzór przybliżony może być bardzo praktycznym odwzorowaniem ewolucji układu ze zwojnicą o bardzo dużej indukcyjności (gdzie 1 ). Przypadek VI Układ, na który kluczowy wpływ ma dioda (małe ) Ω 8000 H 0, , 5 Hz 9 V 0, 0001 A W tym przypadku ustalony został także duży opornik, aby energia wydzielana na oporniku była porównywalna z energią wydzielaną na diodzie (w innym wypadku nie powstałby czytelny wykres energii). Ponadto, w tym przypadku można przyjąć ω 1 = 0, czyli A 1 sin(φ 1 ) jest po prostu stałą. Zachodzi także zależność c 1 = A 1 sin(φ 1 ). Oczekiwane q(t) może być więc postaci: q(t) = c 1 (1 e κt ) + A 2 sin(ω 2 t + φ 2 ) Wykres potwierdza trafność spostrzeżeń na temat jakościowej postaci wzoru opisującego zależność q(t) dla tego przypadku. ozważano ewolucję w czasie od 0 do t max = 300 s: Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 9 / 11

10 Dopasowany za pomocą funkcji leastsq wzór q(t) (z którego wynika wykres zaznaczony niebieską linią przerywaną) ma postać: q(t) = 0, (1 exp( 0, t)) + 0, sin(0, t + 0, ) Potwierdzeniem dokładności powyższego wzoru jest wykres q(t). Podsumowanie Dobierając różne zestawy parametrów, uzyskano bardzo różnorodne kształty krzywych będących wykresami różnych wielkości opisujących badany układ w czasie. W każdym przypadku udało się ustalić jakościową postać wzoru opisującego zależność q(t), co pozwoliło następnie przygotować dokładną formułę matematyczną opisującą tą zależność, dobierając współczynniki za pomocą leastsq. Przygotowany program pozwala w prosty sposób wybrać, który przypadek ma być rozważany i który z wykresów ma być sporządzony. Odpowiednie sformułowanie procedur pozwoliło zminimalizować powtarzanie dużych fragmentów kodu - za każdym razem wywoływane są te same procedury, a różnica między różnymi przypadkami dotyczy wyłącznie generowania zestawu Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 10 / 11

11 przyjętych współczynników oraz przygotowywania formuły o odpowiedniej jakościowej postaci wzoru (która jest dla każdego przypadku inna). Wyznaczona formuła jest wypisywana w czytelny sposób w głównym oknie scilaba, za pomocą funkcji printf. Z wykresów energii wydzielonej na oporniku oraz na diodzie wynika, że zachowanie tych dwóch elementów jest bardzo podobne do siebie - dioda wydziela dokładnie tyle energii, ile wydzieliłby opornik o oporze. y za każdym razem były dobierane tak, aby krzywe energii wydzielanych na oporze oraz na diodzie nie pokryły się, oraz aby widoczne było, że mają jednakowe kształty. Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk 11 / 11