1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci całkowej Zadanie. Rozwiąż równanie różniczkowe. p(y) = q() (.2) 2 2 = y (.3) Przenosimy wszystkie wyrazy z y na jedną, a z na drugą stroną, co nas doprowadzi do Całkując obustronnie otrzymujemy z lewej strony y y = (.4) 2 2 = ln y + C (.5) natomiast z prawej strony łącząc oba równania mamy 2 = C (.6) ln y = 2 + C 2 y = C 3 e 2 (.7) Sprawdźmy czy otrzymany wynik spełnia nasze wyjściowe równanie różniczkowe wynik się zgadza! 2 2 d ( Ce 2 = ( ) 2 )Ce 2 = Ce 2 = y (.8) Zadanie 2. Rozwiąż równanie różniczkowe y = 2 (.9)

2 Rozdzielamy zmienne, co nam daje równanie y = ( ) (.0) całkując obie strony otrzymujemy funkcja y wynosi 2 y2 = ln C (.) y = ± 2 ln 2 + C (.2) Zadanie 3. Rozwiąż równania różniczkowe 2 + y a = 0 (.3) y = (a + )(b + y) (.4) ( + e y ) e y = 0 (.5) We wszystkich tych zadaniach staramy się rozdzielić zmienne. W pierwszym przykładzie otrzymamy równanie postaci a y = (.6) 2 całkując dostaniemy ln a y = + C (.7) więc y = C e + a (.8) Równanie (.4) sprowadza się do zagadnienia Lewa strona to nic innego jak a + = ( b + ) (.9) y a + = a a + + (.20) co można otrzymać poprzez wykonanie prostego dzielenia (tak jak w przypadku dzielenia wielomianów). Całkując teraz obie strony otrzymamy ln a + + = b ln y + y + C (.2) 2

3 Wynik możemy w tej postaci zostawić. Zadanie (.5) sprowadzi się do rozważania całek e y + e y = (.22) lewą stronę rozwiązujemy poprzez podstawienie (u = + e y, lub poprzez zwrócenie uwagi, że licznik jest pochodną mianownika, co od razu doprowadzi nas do rezultatu), więc ln + e y = C (.23) 2 Równania różniczkowe liniowe rzę pierwszego Równanie różniczkowe postaci + p()y = q() (2.) liniowe względem y i y, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzę pierwszego. 2. Równania różcznikowe liniowe jednorodne Jeżeli w równaniu (2.) q() = 0, to takie równanie nazywamy równaniem jednorodnym. Równanie takie jest spełnione dla y = 0. Zakładamy, że y 0 i staramy się rozdzielić zmienne. Zadanie 4. Rozwiązać równanie 2 y = 0 (2.2) 2 Przenosimy drugi człon na drugą stronę i dzielimy wszystko przez y całkując otrzymujemy Co da się zapisać jako Zadanie 5. Rozwiąż równanie jednorodne y = ( 2 2 ) (2.3) ln y = 2 ln + + C (2.4) y = C 2 e (2.5) = y tan (2.6) = y 2 (2.7) = y 2 4 (2.8) 3

4 Pierwsze zadanie sprawodza się do postaci całkowej y = tan (2.9) lewa strona to ln y, natomiast z prawą stroną mieliśmy już kilka razy kontakt i wiemy, że jest to ln cos (można to policzyć dokonując podstawienie t = cos ), ln y = ln cos + C y = C cos (2.0) Przykład (2.7): również w prosty sposób można rozdzielić zmienne y = 2 (2.) ln y = + C y = C e (2.2) Ostatnie z zadań (2.8) rozwiązujemy w analogiczny sposób: y = 2 4 Prawa strona w tym przykładzie musi zostać rozłożona na ułamki proste, 2 4 = ( 2)( + 2) = A 2 + B + 2 (2.3) (2.4) stąd wyliczamy współczynniki A i B, które poprzez przemnożenie obu stron przez 2 4 dadzą nam równania A( + 2) + B( 2) = (2.5) więc A =, natomiast B =. Więc całka = rozwiązaniem naszego równania jest A + B = 0 (2.6) 2(A B) = (2.7) + 2 = 4 ln 2 4 ln C = 2 ln C (2.8) ln y = 4 ln C y = C (2.9) 4

5 2.2 Równania różniczkowe liniowe niejednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne jest postaci + p()y = q() (2.20) rozwiązujemy je metodą uzmienniania stałej. W tym celu rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne (zakładamy, że q() = 0. Następnie zastępujemy stałą całkowania C poprzez funkcję u(), następnie wstawiamy taką funkcję do wyjściowego równania i staramy się odczytać postać funkcji u(). Zadanie 6. Oblicz niejednorodne równanie różniczkowe 3y = 2 (2.2) Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne postaci więc Teraz uzmienniamy stałą, = 3y (2.22) ln y = 3 + C (2.23) y = C e 3 (2.24) C u() (2.25) dlatego y = u()e 3 i wstawiamy do wyjściowego równania tak zdefiniowaną funkcję e3 + 3u()e 3 3(u()e 3 ) = 2 (2.26) dwa ostatnie wyrazy po lewej stronie się znoszą i zostajemy z równaniem postaci które można sprowadzić do problemu e3 (2.27) = 2 e 3 (2.28) wstawiając teraz to wyrażenie do u = 2 3 e 3 + C 2 (2.29) y = u()e 3 = C 2e 3 (2.30) 5

6 Zadanie 7. Rozwiąż równania różniczkowe 2y = 3 (2.3) + 2y = e 2 (2.32) + y cos = sin 2 2 (2.33) + y tan = sin 2 (2.34) + y = 2 (2.35) Pierwsze zadanie (2.3). Najpierw rozważmy równanie jednorodne postaci 2y = 0 = 2y (2.36) mamy całki y = 2 ln y = 2 + C y = C e 2 (2.37) uzmienniając stałą funkcja y wyraża się y = u()e 2 (2.38) wstawiając tak zdefiniowaną funkcję do równania (2.3) otrzymujemy e2 + u()2 2 e 2 2u()e 2 = 3 (2.39) dwa ostatnie wyrazy po lewej stronie się zniosą i pozostajemy z wyrażeniem typu z całkami e2 = 3 (2.40) = e 2 3 e 2 (2.4) pierwszą z całek po prawej stronie łatwo obliczyć poprzez podstawienie 2 = t, = dt, więc 2 e 2 = e t dt = 2 2 e 2 + C (2.42) w drugiej całce dokonujemy takiego samego podstawienia, z tą różnicą, że teraz nas to doprowadzi do całki tupu 3 e 2 = 2 te t dt = 2 2 e 2 2 e 2 + C (2.43) 6

7 gdzie w ostatnim kroku całka została rozwiązana poprzez części. Łącząc oba wyniki dostajemy, że u() wynosi u() = 2 2 e e 2 2 e 2 + C = 2 2 e 2 Na koniec wstawiamy postać naszego u() do wyrażenia na y i otrzymujemy y = Ce2 Zadanie (2.32) musimy rozważyć najpierw równanie jednorodne postaci uzmienniając stałą = 2y y = 2 wstawiamy teraz to wyrażenie do (2.32) i otrzymujemy + C (2.44) (2.45) ln y = 2 + C y = C e 2 (2.46) y = u()e 2 (2.47) e 2 = e 2 (2.48) gdzie już zostały pominięte wyrazy końcowe, które się znoszą. Teraz możemy uprościć to równanie poprzez podzielenie przez czynnik e 2, da nam to co prowadzi do funkcji u postaci więc rozwiązaniem równania jest funkcja postaci = (2.49) u() = C (2.50) y = 2 2 e 2 + Ce 2 (2.5) Równanie jednorodne, które będziemy rozważać w zadaniu (2.33) jest postaci = y cos więc po uzmiennieniu stałej mamy y = cos ln y = sin + C (2.52) y = u()e sin (2.53) wstawiając do równania (2.33) i już pomijając wyrazy, które się zniosą otrzymujemy e sin = 2 sin 2 = sin cos e sin (2.54) 7

8 zróbmy podstawienie t = sin, więc dt = cos, całka sin cos e sin = te t dt = te t e t + C = sin e sin e sin + C (2.55) wstawiając do wyrażenia na y otrzymujemy Zadanie (2.34) posiada równianie jednorodne postaci y = sin + Ce sin (2.56) = y tan (2.57) analogiczne równanie już rozważaliśmy, więc można skorzystać z rozwiązania, które da nam rezultat y = C cos y = u() cos (2.58) wstawiając i korzystając z wzoru na sinus podwojonego kąta mamy więc u = 2 cos = 2 sin cos (2.59) sin = 2 cos + C (2.60) więc nasze rozwiązanie Ostatni przykład posiada równanie jednorodne postaci uzmienniając stałą wstawiając otrzymujemy wstawiając otrzymujemy y = 2 cos 2 + C cos (2.6) = y ln y = ln + C y = C y = u() (2.62) (2.63) = 2 (2.64) u = 2 + C (2.65) y = + C (2.66) 8