Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Transkrypt

1 Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki rzeczywiste a, b, c i d spełniają warunek ad cb 0. Uwaga. ) Jeśli c { = } 0, to () jest funkcją liniową, jeśli c 0, to dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór R \ d c. ) Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola (gdy c 0) albo prosta (gdy c = 0). 3) Przykład funkcji, która nie jest funkcją homograficzną g() = Ta funkcja nie spełnia warunku ad cb 0 i co za tym idzie redukuje się do funkcji stałej g() =. 4) Gałęzie hiperboli będącej wykresem funkcji homograficznej postaci f() = a leżą w ćwiartkach I i III układu współrzędnych dla a > 0 i w ćwiartkach II i IV dla a < 0. 5) Osie OX i OY są asymptotami wykresu funkcji f() = a, a 0. 6) Asymptotami wykresu funkcji g() = b + c są proste = c i y = b, wykres tej funkcji otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji f() = o wektor [c, b]. 7) Funkcja homograficzna jest funkcją różnowartościową. Przykład. Wychodząc od wykresu funkcji h() =, stosując odpowiednie przekształcenia geometryczne, naszkicuj wykres funkcji g() = +. Rozwiązanie. Zapiszmy wzór opisujący funkcję g w innej postaci. g() = + = ( + ) 3 + = 3 + = + 3 ( ). () Widzimy teraz, że asymptotami wykresu funkcji g są proste =, y =, a gałęzie hiperboli leżą w ćwiartkach II i IV. Wykres funkcji g otrzymamy z wykresu funkcji h() = po rozciągnięciu go wzdłuż osi OY (aby otrzymać wykres funkcji y = 3 ), następnie odbiciu otrzymanego wykresu względem osi OX (w ten sposó otrzymamy wykres funkcji y = 3 ) i przesunięciu o wektor [, ]. Uwaga. Łatwo otrzymujemy postać () wykonując dzielenie wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika funkcji homograficznej. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne. Definicja. Niech W () i V () oznaczają dwa wielomiany zmiennej rzeczywistej, niech V () 0, a P oznacza zbór pierwiastków wielomianu V (). Funkcję f() = W () V () dla R \ P nazywamy funkcją wymierną zmiennej.

2 Warunek V () 0 oznacza, że wielomian V nie jest tożsamościowo równy zero, to znaczy, że przyjmuje wartości niezerowe dla pewnych R, inaczej mówiąc jest wielomianem niezerowym. Uwaga. ) Funkcja homograficzna f() = a+b c+d, ad bc 0 jest funkcją wymierną. ) Jeżeli stopień wielomianu W () jest mniejszy niż stopień wielomianu V (), to funkcję wymierną f() = W () V () nazywamy właściwą. Jeżeli stopień wielomianu W () jest nie mniejszy niż stopień wielomianu V (), to funkcję wymierną f() = W () V () nazywamy niewłaściwą. W tym drugim przypadku możemy podzielić wielomiany i otrzymać sumę wielomianu i pewnej funkcji wymiernej właściwej (Patrz Przykład.). 3) Funkcje wymierne typu f() = A ( a), gdzie A, a R oraz r N, nazywamy ułamkami r prostymi pierwszego rodzaju. Funkcje wymierne typu f() = B+C ( +p+q), gdzie B, C, p, q R r przy czym p 4q < 0, a r N, nazywamy ułamkami prostymi drugiego rodzaju. 4) Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju, przy czym ułamki te są określone jednoznacznie np. 3 + = +, 4 + = + +. Przykład. Znaleźć takie liczby rzeczywiste A, B, C, dla których równość ( )( )( 3) = A + B + C 3 (3) jest spełniona dla każdego R \ {,, 3}. Rozwiązanie. Przy założeniu, że R \ {,, 3} możemy pomnożyć obie strony równości (3) przez ( )( )( 3). Otrzymamy wówczas równoważną równość: = A( )( 3) + B( )( 3) + C( )( ). Uporządkujemy wyrazy wielomianu stopnia drugiego stojącego po prawej stronie równości = (A + B + C) + ( 5A 4B 3C) + 6A + 3B + C. (4) Zatem równość (3) zachodzi dla każdego,, 3 wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany w (4) są równe. Dwa wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i gdy współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej są równe. Zatem A, B i C powinny spełniać następujący układ równań: A + B + C = 3 5A 4B 3C = 6A + 3B + C = 9 Dodając stronami równania drugie i trzecie do równania pierwszego otrzymamy: A = 5A 4B 3C = 6A + 3B + C = 9 Dodajmy teraz stronami równanie trzecie do drugiego: A = A B C = 6A + 3B + C = 9

3 Zatem z równania drugiego mamy B = C + 5, podstawiając tak wyznaczone B i A = do równania trzeciego otrzymujemy C = 3 i co za tym idzie B = =. Rozwiązaniem układu równań jest więc trójka liczb A = B = C = 3. Znaleźliśmy zatem tzw. rozkład wyrażenia 3 +9 ( )( )( 3) na ułamki proste: ( )( )( 3) = Przy rozwiązywaniu równań i nierówności wymiernych pomocne będą następujące warunki: { W () W () = 0 V () = 0 V () 0 { W () W ()V () 0 V () 0 V () 0 Analogicznie dla nierówności typu, <, >. Dziedziną równania, czy nierówności wymiernej nazywamy zbiór R, dla których V () 0. Przykład 3. Rozwiąż równania: a) + + = + +, b) = (+)(+), c) = 0, d) = 5, e) = 0. Rozwiązanie. Wyznaczymy dziedzinę równania z przykładu a) + + = + +. (5) Dziedziną równania jest zbiór takich R, że 0 i + 0 i + = ( + ) 0, a więc zbiór R \ {0, }. Przekształcimy równanie (5) do postaci W () V () = 0: + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 lub =. Ponieważ 0 nie należy do dziedziny równania (5), to rozwiązaniem równania jest tylko =. Widać, że dziedziną równania w przykładzie b) = ( + )( + ) (6)

4 jest zbiór R \ {,, 0}. Przenieśmy wyrażenie występujące po prawej stronie równania na lewą stronę znaku równości, aby przekształcić równanie (6) do postaci W () V () = 0. Mamy zatem ( + )( + ) = 0 ( + ) ( + )( + ) = 0 + = 0 + = 0 =. ( + ) Ponieważ = nie należy do dziedziny równania (6), więc równanie to nie ma rozwiązań. Dla równania z podpunktu c) wyznaczmy najpierw miejsca zerowe mianownika. Mamy dalej: = 0 ( 3 + ) = = 0 (7) ( )( ) = 0 = 0 lub = lub =. Zatem rozwiązań równania (7) szukamy w zbiorze R \ {0,, }. Mamy = = 0 Pierwiastkiem wielomianu 3 6 jest oraz 3 6 = ( )( + + 3). Ponieważ wyróżnik trójmianu jest ujemny, więc wielomian 3 6 ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty =. Zatem 3 6 = 0 =, ale = odrzuciliśmy wcześniej, więc równanie (7) nie ma rozwiązań. Dziedziną równania z podpunktu d) = 5 (8) jest zbiór R \ { W (), 0}. doprowadzimy równanie do postaci V () = 0. Mamy: = = ( + ) + ( + ) = 0 + = 0. ( + ) + = 0 = lub =. Zarówno jak i oraz =. należą do dziedziny równania, zatem rozwiązaniem równania (8) są = Aby wyznaczyć dziedzinę równania z podpunktu e) = 0 (9)

5 znajdziemy najpierw rozkład wielomianu 6 4 na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej drugiego. W tym celu skorzystamy (dwukrotnie) ze wzoru na różnicę kwadratów: Dalej mamy 6 4 = (4 )(4 + ) = ( )( + )(4 + ). 6 4 = 0 ( )( + )(4 + ) = 0 = lub =, stąd dziedziną równania (9) jest zbiór R \ {, }. Oczywiście = = 0 4 ( + 3) ( + 3) = 0 ( + 3)( 4 ) = 0 ( + 3)( )( + )( + ) = 0 = 3 lub = lub =. Każda z tych liczb należy do wyznaczonej wcześniej dziedziny, zatem rozwiązaniem równania (9) są = 3, = oraz =. Przykład 4. Rozwiąż równania a) = ; + b) + = +. Rozwiązania. Rozwiązując równania z wartością bezwzględną musimy się najpierw pozbyć tychże wartości bezwzględnych. Zajmiemy się najpierw równaniem z podpunktu a). Zauważmy, że jeśli dla pewnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość a = b, to zachodzi też równość dla kwadratów wyrażeń a i b i co za tym idzie dla kwadratów liczb a i b, to znaczy: a = b = a = b = a = b. Prawdziwa jest też implikacja w drugą stronę: jeśli kwadraty liczb a i b są równe, to liczby te muszą być sobie równe co do wartości bezwzględnej, to znaczy: W konsekwecji mamy równoważność: Równanie zastąpimy równaniem równoważnym: a = b = a = b. a = b a = b (0) = () + ( ) ( ) = + Dziedziną tego równania wymiernego jest zbiór R\{, }. Rozwiązując to równanie postępujemy podobnie jak w podpunkcie a) Przykładu 3. Mamy zatem ciąg równoważności: ( ) ( ) = + ( + ) 4 ( ) = ( + ) ( ) = = 0 = 5 lub =.

6 Zarówno 5 jak i należą do dziedziny, więc są rozwiązaniem równania (). Aby rozwązać równanie z podpunktu b) opuścimy najpierw wartość bezwzględną. Oczywiście w tym przykładzie musimy rozważyć dwa przypadki: dla 0 i dla < 0. Ponieważ dziedziną równania + jest zbiór R \ {0}, więc warunek 0 zredukujemy do > 0. o. Dla > 0 mamy =, stąd = + () + = + + = + + = 0 + = 0 ( )( + ) = 0 = + lub = = 0, ale ponieważ założyliśmy w tym przypadku, że > 0, więc odpowiedź = odrzucamy. o. Dla < 0 mamy =, stąd + = + + = + + = 0 = = 0. Oznacza to że w przypadku, gdy < 0 równanie nie ma rozwiązań. = 0 Podsumowując punkty o i o otrzymujemy, że równanie () ma jedno rozwiązanie =. Przykład 5. Rozwiąż nierówności: a) (+) 3 0, b) + < 6. c) > 0 Rozwiązania. Dziedziną nierówności z podpunktu a) ( + ) 3 0 (3) jest zbiór R \ {0, 3}. Ponadto ( + ) 3 0 ( + )( 3) 0 ( + )( 3) 0 ( ; ] [3; ). Uwzględniając dziedzinę naszej nierówności musimy ze zbioru ( ; ] [3; ) odrzucić 3, stąd rozwiązaniem nierówności (3) są ( ; ] (3; ).

7 Dziedziną nierówności z podpunktu b) + < 6 (4) jest zbiór R \ {0, }. Przedstawimy tę nierówność do postaci W () V () + < 6 < 0. Mamy + 6 < 0 ( ) + 6( ) < 0 ( ) < 0 ( ) ( )( 3)( ) < 0 (0, ) (, 3). Zbiór (0, ) (, 3) jest podzbiorem dziedziny R \ {0, } nierówności (4), zatem rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista (0, ) (, 3). W rozwiązaniu nierówności z podpunktu c) posłużymy się wynikami częściowymi otrzymanymi dla równania = 0 z podpunktu e) Przykładu 3.. Analogicznie zatem jak dla równania dziedziną nierówności > 0 (5) jest zbiór R \ {, }. Dalej mamy, że > 0 ( )(6 4 ) > 0 ( + 3)( )( + )( + )( + )( )(4 + ) > 0. Ponieważ wyróżniki dla trójmianów: + oraz 4 + są ujemne, a współczynniki a stojące przy w tych trójmianach są dodatnie, więc dla dowolnego R wartości każdego z tych wielomianów są dodatnie. To oznacza, że nierówność ( + 3)( )( + )( + )( + )( )(4 + ) > 0 jest równoważna nierówności ( + 3)( )( + )( )( + ) > 0. Mamy zatem ( + 3)( )( + )( + )( + )( )(4 + ) > 0 ( + 3)( )( + )( + )( ) > 0 ( ( 3; ) ; ) (; ). ( ) Ponieważ zbiór ( 3; ) ; (; ) jest podzbiorem dziedziny R \ {, } nierówności ( ) (5), zatem rozważana nierówność zachodzi dla ( 3; ) ; (; ). Przykład 6. Rozwiąż nierówności a) 5 >, b) c) d) > >

8 Rozwiązania. Podobnie jak w Przykładzie 4., aby rozwiązać nierówności z wartością bezwzględną, musimy najpierw opuścić wartość bezwzględną. Skorzystamy przy tym z następujących równoważności: a a a, (6) a a lub a. (7) Oczywiście analogiczne równoważności możemy zapisać dla nierówności osrtych, zastępując odpowiednio wszystkie znaki na < w (6) i w (7), czy na > w (7). Sposób o. Dla nierówności z podpunktu a) skorzystamy z (7). Dziedziną nierówności jest zbiór R \ { 3}. Mamy: 5 (8) lub lub (3 )( + 3) 0 lub ( 8)( + 3) 0 [ 3; ] lub ( ; 3] [8; ) 3 Ponieważ 3 nie ( należy ] do dziedziny nierównści, więc rozwiązaniem są ( ; 3) 3; 3 [8; ). Sposób o. Możemy też pozbyć się wartości bezwzględnej w równaniu (8) korzystając z równoważności analogicznej do (0): a b a b. (9) Mamy stąd: ( 5 ) + 3 ( 5) ( + 3) 0 (3 )( 8) ( + 3) 0 (3 )( 8) 0 ( ; 3 ] [8; ). Ponieważ 3 nie ( należy ] do dziedziny nierówności, zatem jej rozwiązaniem są (, 3) 3; 3 [8; ). Dziedziną nierówności z podpunktu b) jest R \ {, } (0)

9 Sposób o. Skorzystamy z (6) otrzymując: ( )( ) ( )( )( ) 0 (4 5)( ) 0 [ ] [ ; [; ) ; 4 5 ( ; ] [ ; 4 [; ) 5] Zbiór ten jest podzbiorem dziedziny nierówności (0) stąd jej rozwiązaniem są ] [; ) [ ; 4 5] [; ). Sposób o. Skorzystamy z (9) i podniesiemy nierówność 5+3 stronami do kwadratu. Otrzymamy wówczas: ( 5 + 3) ( 5 + 3) ( ) ( ) 0 [ ][ ] ( 5 + 3) ( ) ( 5 + 3) + ( ) ( ) 0 ( 5 + 4)( 5 + ) 0 ( 5 + 4)( )( ) 0 [ ; 4 [; ). 5] [ Oczywiście zbiór 5] ; 4 [; ) jest podzbiorem dziedziny nierówności (0), zatem jest to zbiór rozwiązań tej nierówności. Nierówność > 0 () zachodzi dla wszystkich tych R, dla których Sprawdźmy zatem dla jakich R zachodzą równości = 0 lub 6 4 = 0. Podobne warunki rozpatrywaliśmy w punkcie e) Przykładu 4. Mamy zatem = = 0 = 3 = = = =. Zatem nierówność > 0 zachodzi dla R \ { 3,,,, }. Dla nierówności 5 +3 > z podpunktu d) Przykładu 7. nie możemy zastosować równoważności (9) i podnieść obie strony do kwadratu, ponieważ stojące po prawej stronie tej nierówności

10 może przyjmować wartości również ujemne! Korzystając z (7) otrzymujemy: > < lub > < 0 lub ( + + 5) > ( ; 5 3 5) ( 3; ) lub ( ; 3) ( ; 3) ( 3; ). Przykład 7. Wyznacz liczbę rozwiązań równania i rozwiąż równania, w zależności od parametru m: a) = m, b) +m m + m +m =. Rozwiązanie. Równanie = m () ma sens dla 0. Przekształcimy je równoważnie: = m m = 0 m = 0 Dziedziną równania () jest zbiór R\{0}. Wyróżnik równania kwadratowego m = 0 jest postaci = m +4. Zatem dla dowolnego m R mamy > 0, stąd równanie m = 0 ma dla każdego m R dwa pierwiastki: = m+ m +4 i = m m +4. Oczywiście i należa do dziedziny równania (), bo m m + 4. Zatem równanie ) ma dla dowolnego m R dwa rozwiązania: = m+ m +4 i = m m +4. Dziedziną równania + m m + m + m = (3) jest zbiór R \ { m, m}. Równoważne mu równanie przyjmuje postać: ( + m) + ( m) ( m ) ( m)( + m) 4m = 0 m = 0. 4m = 0 To znaczy, że równanie (3) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla m = 0. Rozwiązaniem równania jest wtedy każda liczba rzeczywista 0. Dla m 0 równanie nie ma rozwiązań. Przykład 8. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? m + (m + ) + 9m + 4 < 0 (4) Rozwiązanie. Zanim wyznaczymy dziedzinę nierówności zauważmy, że wyróżnik trójmianu 8 + 0

11 jest mniejszy od zera, a ramiona paraboli o równaniu y = są skierowane do góry. Oznacza to, że > 0 dla każdego R. Zatem m + (m + ) + 9m + 4 < 0 m + (m + ) + 9m + 4 < 0. Ponadto jeśli nierówność (4) ma być spełniona dla wszystkich R, to dziedziną równania powinien być zbiór R. Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych, dla których m + (m + ) + 9m Rozpatrzymy dwa przypadki: dla m = 0 i dla m 0. o. Jeśli m = 0, to wielomian stopnia drugiego z mianownika ułamka (4) redukuje się do wielomianu stopnia pierwszego: + 4. Wówczas dziedziną nierówności m + (m + ) + 9m + 4 = < jest zbiór R\{ }, zatem na pewno nierówność nie zachodzi dla =, a więc nie każda liczba rzeczywista spełnia tę nierówność. o. Jeśli m 0, to wielomian z mianownika nierówności (4) jest stopnia drugiego, a dla trójmianu m + (m + ) + 9m + 4 jest postaci Mamy dalej ciąg równoważnych warunków: R = 4(8m + m + ) m + (m + ) + 9m + 4 < 0 R m + (m + ) + 9m + 4 < 0 = 4(8m + m + ) < 0 m < 0. Rozwiążmy układ nierówności: { 4(8m + m + ) < 0 m < 0 4(8m + m + ) < 0 8m + m + > 0. Dla trójmianu 8m + m +, = 4 3 < 0, zatem 8m + m + > 0 dla każdego m R. Układ nierówności jest więc spełniony dla dowolnego m < 0. Podsumowując o i o otrzymamy, że nierówność (4) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej, jeśli parametr m < 0. Przykład 9. Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania (m 5) + m + 3m + = 0 (5) ma wartość dodatnią? Równanie kwadratowe (5) ma pierwiastki tylko wtedy gdy wyróżnik 0 tzn., że = 4(m 5) 4(m + 3m + ) = 3m Zatem m 3 3. (6)

12 Korzystając ze wzorów Viéte a wyrazimy sumę odwrotności pierwiastków równania (5) za pomocą parametru m + = + (m 5) = m + 3m +. Rozwiążemy nierówność (m 5) m + 3m + > 0 (7) Oczywiście nierówność ta ma sens tylko dla takich m R, dla których m + 3m + 0, czyli dla m i m. Dalej mamy : (m 5) m + 3m + > 0 (m 5)(m + 3m + ) = (m 5)(m + )(m + ) > 0 m ( ; ) m (5; ). Uwzględniając warunek (6) otrzymamy, że suma odwrotnosci pierwiastków równania (5) jest liczbą dodatnią dla m ( ; ). Zauważmy, że dla m = lub m =, co najmniej jeden z pierwiastków równania (5) jest równy 0, a zatem rozważanie jego odwrotności nie ma sensu. Zadania. Wychodząc od wykresu funkcji h() = i stosując odpowiednie przekształcenia geometryczne naszkicuj wykresy funkcji f() = + +, k() = +.. Narysuj wykresy funkcji f() = 4, g() = Rozwiąż równania: a) 3 = 5, b) 6 +3 = +5 +, c) =, d) = +4, e) = 3+, 4. Rozwiąż równania: a) 6 =, b) + = +, c) =, d) 3 + =. 5. Znajdź punkty przecięcia paraboli y = z hiperbolą y = Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów dwóch pierwiastków równania +3+ = 0 jest większa od 9? m m 3 7. Dla jakich wartości parametru m równanie + suma jest mniejsza od m? 8. Rozwiąż nierówności: + = m ma dwa pierwiastki, których

13 a) + <, b) 3 4 0, c) < 0, d) , e) , f) >, g) Dana jest funkcja f() = +. Rozwiąż nierówność f() > f( ). 0. Rozwiąż nierówności: a) > 0, b) > +, c) 3 4, d) Rozwiąż nierówność: ( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + 3) ( + 9)( + 0) <.. Określ dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f, jeśli f() = ( ) ( ) Dla jakich wartości parametru m nierówność m > jest spełniona tożsamościowo tzn. dla wszystkich R. 4. Zbadaj dla jakich wartości parametru m, układ równań { +y y + y +y = my + m + = 0 y, y, ma rozwiązanie? Wyznacz to rozwiązanie. 5. Znajdź współczynniki A, B, C, dla których równość zachodzi dla każdego R \ {0,, 4}. Odpowiedzi 3. a) = 4 lub = ; b) = lub = 4; c) = 3; d) = 3 lub = ; = A + B + C 4

14 e) = 4 lub = a) = 5 + ; b) = ; c) = 3 lub = ; d) = 0 lub = ; 5. P = ( (, 3) ) 6. m 8 3 ; 35 3 ; ( ) 7. m 3 ; 0 (; ); 8. a) ( ; 0); b) ( ; ) (; ); c) ( ; ) (; 3); d) ( ; ) ( ; 0]; e) ( ; 6) [7; ]; f) ( ; 3) (; 3) ( + 3; ); g) R; 9. (0; ) (; ); 0. a) ( 5; ) ( ; ) (; 4) (6; ); b) ( ; 0) (0; ); c) ( ; 4] [ ; ] [4; ) d) ( ; 3 6 ] [ ; );. [ ( 0; 0) (; ) ] \ {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; ( ). f() = dla ; ; 3. m ( 7; ); 4. Cztery różne pierwiastki, jeśli m m > 0 i m = neq. Pierwiastki te są postaci ( y, y ), (y, y ), ( y, y ), (y, y ), gdzie y = m m m i y = m+ m m. Dwa różne pierwiastki, jeśli m m = 0. Pierwiastki są wtedy postaci (m, m ), (m, m ). Nie ma rozwiązań, jeśli m m < 0; 5. A = 8, B = 3 4, C = 5 8.