Spis treści. Spis treści

Transkrypt

1

2

3 Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym Pierwiastki, liczby niewymierne Wyrażenia arytmetyczne Przedziały liczbowe Logarytmy Wartość bezwzględna Przybliżenia Obliczenia procentowe Sprawdzian po dziale I II. Wyrażenia algebraiczne 10. Wzory skróconego mnożenia Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów Rozkładanie wielomianu na czynniki Dzielenie wielomianu przez dwumian ax + b Wyrażenia wymierne Działania na wyrażeniach wymiernych Sprawdzian po dziale II III. Równania i nierówności 16. Równania i nierówności liniowe Układy równań liniowych Równania i nierówności kwadratowe Wzory Viète a Zastosowanie równań i nierówności liniowych i kwadratowych oraz układów równań Równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem Układy równań prowadzące do równań kwadratowych Równania wielomianowe Nierówności wielomianowe Równania i nierówności wymierne Zastosowanie równań wielomianowych i wymiernych Równania i nierówności z wartością bezwzględną Sprawdzian po dziale III IV. Funkcje 28. Sposoby określania funkcji Własności funkcji Funkcja liniowa Przesunięcia wykresów funkcji Odbicia symetryczne oraz inne przekształcenia wykresów funkcji Funkcja kwadratowa wzór i wykres Własności funkcji kwadratowej Zastosowanie funkcji liniowej i kwadratowej Funkcja wymierna Funkcja wykładnicza Zastosowanie funkcji wykładniczej Funkcja logarytmiczna Zastosowanie funkcji logarytmicznej Funkcje określone przedziałami Sprawdzian po dziale IV V. Ciągi 42. Sposoby opisywania ciągów Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Zastosowanie ciągów arytmetycznego i geometrycznego Granica ciągu Szereg geometryczny Sprawdzian po dziale V VI. Trygonometria 48. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Tożsamości trygonometryczne dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Wykresy funkcji trygonometrycznych Sinus i cosinus sumy oraz różnicy kątów Suma i różnica sinusów oraz cosinusów Zastosowanie tożsamości trygonometrycznych Równania i nierówności trygonometryczne Sprawdzian po dziale VI VII. Planimetria 56. Kąt środkowy i kąt wpisany Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów Podobieństwo trójkątów Okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany w czworokąt Twierdzenie Talesa (proste i odwrotne) Obrazy figur płaskich w jednokładności Zastosowanie własności figur podobnych i jednokładnych Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów Zastosowanie trygonometrii w rozwiązywaniu problemów geometrycznych Sprawdzian po dziale VII

4 4 SPIS TREŚCI VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej 65. Wektory w układzie współrzędnych. Działania na wektorach Opis przesunięcia wykresu funkcji za pomocą wektora Równanie kierunkowe i ogólne prostej. Równoległość i prostopadłość prostych Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej Interpretacja graficzna układu równań i nierówności liniowych Obrazy figur płaskich w symetrii osiowej i środkowej Równanie okręgu i opis koła za pomocą nierówności Wzajemne położenie prostej i okręgu Sprawdzian po dziale VIII IX. Stereometria 73. Proste i płaszczyzny w przestrzeni Graniastosłupy Ostrosłupy Kąt dwuścienny Przekrój graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną Walce i stożki Kula i sfera oraz ich przekroje Zastosowanie trygonometrii do obliczania długości, miar kątów, pól i objętości Sprawdzian po dziale IX X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 81. Analiza danych statystycznych Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych Liczba permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami Prawdopodobieństwo zdarzenia Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Sprawdzian po dziale X XI. Rachunek różniczkowy 87. Granica funkcji Pochodna funkcji wielomianowych i wymiernych Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej Zastosowanie pochodnej do badania własności funkcji Zastosowanie pochodnej w zagadnieniach optymalizacyjnych Sprawdzian po dziale XI Zadania z rozwiązaniem krok po kroku Arkusz maturalny przykładowy zestaw zadań Odpowiedzi i wskazówki do zadań Indeks Wartości funkcji trygonometrycznych Oznaczenie stopnia trudności zadań: łatwe średnio trudne trudne Więcej na Arkusze maturalne z kluczem odpowiedzi Zadania do wszystkich tematów i działów Zadania z gwiazdką Test na wejście Wiedza a także: Podpowiedzi do zadań Rozwiązania wszystkich zadań Aktualne postępy w nauce Słownik pojęć

5 VII. Planimetria 56. Kąt środkowy i kąt wpisany Kąt środkowy i kąt wpisany O r. AB AOB ACB oparte na Przykład 1. a) b) - Odpowiedź: a) b) Przykład 2. A i B AB AOB Odpowiedź:

6 274 VII. PLANIMETRIA - Przykład 3. - Odpowiedź: Przykład 4. < C A, B O D COB ΔABC CAB COB = CDO CDO 90 2 Odpowiedź: OCD 90 2 Przykład 5. O A, B C AB AC BAC ABC ABC ABC ACB BAC = = = Odpowiedź: ABC

7 56. Kąt środkowy i kąt wpisany 275 Przypomnienie własności kątów + = + = + = + = = = = = = = = = = = Zadania Zadanie 1. ABC O AOB = 100, BOC = 170 A BOC AOC =, ABC =, ACB =, CAB = Zadanie 2. A, B, C AB, BC CA ABC

8 276 VII. PLANIMETRIA Zadanie 3. A, B, C, D - ABCD Zadanie 4. A, B P Q a) APB AQB = b) APB + AQB P, Q Zadanie 5. AB CD (O, r P O ACD CAD CPB = 60, COB = 30 Zadanie 6. A, P, B (O, r APB AOB = APB A. B. C. D. Zadanie 7. AB X A B - I. AXB X II. AXB X III. AXB X o AB o AB o AB Zadanie 8. A B (O, r A C A OC D BAC AOB A, D, B a) b) c) d) Zadanie 9. a) b) c) d) Zadanie 10. P AB ABC AP AC BC D E AE BD H CH AB

9 57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów Styczna do okręgu i sieczna okręgu - O r O r O r O r O r O r Przykład 1. O r O a) b) 4, c) a) b) c)

10 278 VII. PLANIMETRIA Przykład 2. k A O AB k AB AOB = 180 AOB OAB = = AOB k ( ) = AB Odpowiedź: - Twierdzenie o odcinkach stycznych P A B PA PB - Przykład 3. A B C D - AB C D K DK DL CD AC BC - DC DK DC DL DK DL

11 57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów 279 Okręgi rozłączne, przecinające się i styczne O1, O2 r1, r2 Z O, O r, r ( r r ) OO > r + r OO 1 2 = r1+ r2 r r < OO < r + r OO 1 2 = r1 r2 r1> r2 OO 1 2 < r1 r2 r > r 1 2 OO 1 2 = 0

12 280 VII. PLANIMETRIA Przykład 4. A A, B, C r B r C BC = r1+ r2 - AB = 3 r1, AC = 3 r 2 ABC AB + BC + AC = 3 r + r + r + 3 r = 6 Odpowiedź: ABC Zadania Zadanie 1. AP, BP DE A, B, C PED AP = a Zadanie 2. k k R + A. k + 1 2k B. k + 1 3k C. k 1 k D. k 1 2k Zadanie 3. I. r k A / B / C / D II. r S - 1 r A / B / C / D 2 III. r S - r A / B / C / D A. S 3 2 r B. S 1 2 r C. k k o r D. S r

13 57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów 281 Zadanie 4. P F I. AB = 3m + 1, r1 = m 2, r 2 = 2 m+ 3, o dla > (A, r (B, r II. AB = m 3, r1 = m+1, r2 = m+1, o dla (A, r (B, r III. AB = 5m 4, r1 = 2m+ 1, r2 = m 3, o dla > 3 (A, r (B, r P / F P / F P / F Zadanie 5. (A, r (B r R A. R > r B. R 3r C. R 4r D. R < r Zadanie 6. (A, r (B, r (C, r 3 A ABC Zadanie 7. Zadanie 8. A, B C, D AB CD Zadanie 9. k I. k A / B / C / D II. k A / B / C / D III. k A / B / C / D A. k B. k C. k D. k Zadanie 10. r -

14 310 VII. PLANIMETRIA Sprawdzian po dziale VII Zadanie 1. A, B, C AB, BC AC ABC A. B. C. D. Zadanie 2. K, L, M O KML = 100 MKL = 24 KMLO Zadanie 3. M, N MN A. B. M, N C. MN D. MN Zadanie 4. Zadanie 5. a) b) Zadanie 6. a) b) Zadanie 7. ABC AB = BC = CA = D, E, AC, BC DE AB, DE Zadanie 8. 4 A. B. C. D. sin Zadanie 9. a) b)

15 Sprawdzian po dziale VII 311 Zadanie A B. 3 1 C D Zadanie 11. AD ABCD - O AB, BC CD ABCD Zadanie 12. A. B. C. D. Zadanie Zadanie A B C D Zadanie 15. ABCD AB CD - AD AD BC O AO A. 4 B. C. D. Zadanie P F I. P / F II Zadanie 17. ABC AB AC D BC E AD AC = BC = EC A. 4 B. C. D. P / F

16 436 XI. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej Geometryczna interpretacja pochodnej f P = (x f (x Q = (x + x f (x + x PQ f P Q PQ PQM - PM QM x Δ y Δx MPQ PQM PQ x Δ y f( x0+ Δx) f( x0) = r Δx Δx PQ x P i Q x x M P PQ l P Δ y l x Δx Δy tg = lim = f ( x0) Δx Δx 0

17 89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej 437 y = f( x) x l x f ( x0) l l P = (x y y = f ( x )( x x ) J f x P = x 0 y 0 y y = f ( x )( x x ) Przykład 1. f (x) = x f ( x) = 2x f ( 2) = 4 f = P = - 4 = 4(x 4 = 4x 8 = 4x 4 Odpowiedź: = 4x 4 Przykład 2. f( x)= x 3 r f = f ( x) = 3x 2 f () 1 = 3 P = x = x x = 3x 2 x 3x+ 2= 0 Odpowiedź: = x f

18 438 XI. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY Przykład 3. f( x)= x 2 i g( x)= 1 x f i g 2 1 f (x) = g(x) x = x x (x x 3 = 1 x = f = g = f i g P = 1 f ( x) = 2x g ( x) = 2 f () 1 = 2 g () 1 = 1 - x f g P = = x - = - P x + ) + = = Odpowiedź: P = P Fizyczna interpretacja pochodnej P OS S = s( st ( 0+ Δt) st ( 0) vt ( 0) = lim = s ( t0) Δt 0 Δt J vt ( 0 + Δt) vt ( 0) v( ) i v( + Δt vt ( 0+ Δt) vt ( 0) at ( 0) = lim = v ( t0) Δt Δt 0

19 89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej 439 Przykład 4. s()= t 1 gt 2 g 2 v( a( v s - 1 v() t = s () t = g 2t = gt 2 a( ) = v ( ) = g Odpowiedź: v( ) = a( ) = g Zadania Zadanie 1. f A a) f( x)= x 2 A = 2 A = ( ) b) f( x)= 1+ 1 x 1, c) f( x)= 1 x 3 A = 3 d) f( x)= A =, x 3 2 ( ) Zadanie 2. f I. f( x)= x + x II. f( x)= + x x 3 2 III. f( x)= x + x x IV. f( x)= x + x + 1 x A. = x + B. = 4x C. = x D. = 4x E. = 4 F. = x Zadanie 3. f( x)= 2x 3 x x z x f

20 Zadania z rozwiązaniem krok po kroku ZADANIA Z ROZWIĄZANIEM KROK PO KROKU 455 Zadanie ( ) + ( + ) = Prosta o równaniu x y+ 3= 0 x+ 3 y 2 4w punktach A i B. C A i B CD ABC AB C. Krok 1. S = ( 3, kierunkowym y = x + 3 oraz punkty A, B D i prowa- AB w punktach C 1 i C 2. Krok 2. A i B 2 2 ( ) + ( + ) = Punkty A i B x y+ 3= 0 x+ 3 y 2 4, ich w - x y+ 3= ( x+ 3) + ( y+ 2) = 4 y (y = x ( ) + ( + + ) = x+ 3 x x + 6x+ 9 + x + 10x+ 25 4= 0 2 2x + 16x+ 30= 0 2 x + 8x+ 15= 0

21 470 Arkusz maturalny Zadanie 7. (0 2) f ( x)= x x+ c ma dwa miejsca zerowe x x c. - Zadanie 8. (0 2) f zmiennej x a R + jest dana wzorem f ( x)= a sin x+ 7, 21 a f