Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
|
|
- Zofia Żurawska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zespół kanoniczny
2 Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
3 Zespół izobaryczno-izotermiczny
4 Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[ U s N ;V ' U s N ;V P V ' V N 1 ln V '/V ]}
5 Wielki zespół kanoniczny
6 Wielki kanoniczny V T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc N N 1 =min{ 1, V 3 N 1 exp [ U N 1 U N ] } acc N N 1 =min{ 1, 3 N V exp [ U N 1 U N ]}
7 Gibbs ensemble
8 1 N,V, T box 1, P??? n 1,V 1 n 1 n 2 =N V 1 V 2 =V 2 box 2 n 2,V 2
9 Gibbs ensemble Funkcja rozkładu dla układu składającego się z N cząsteczek rozłożonych w dwu objętościach V 1 i V 2 =V-V 1, gdzie cząsteczki oddziałują ze sobą w objętości 1 ale zachowują się jak gaz doskonały w objętości 2: N Q N,V 1, V 2, T = n 1 =0 V 1 n 1 V V 1 N n 1 3N n 1! N n 1! d s 2 N n 1 d s 1 n 1 exp [ U s 1 n 1 ]
10 Gibbs ensemble Rozważmy przypadek taki, że cząsteczki w obu objętościach oddziałują ze sobą w taki sam sposób. Ponadto załóżmy, że objętość V 1 i V 2 zmienia się w taki sposób, że całkowita objętość V=V 1 +V 2 pozostaje stała. W takim przypadku należy scałkować po objętości V 1, co daje następującą funkcję rozkładu: N Q G N,V,T n 1 =0 1 V 3N n 1! N n 1! 0 V dv 1 V 1 n 1 V V 1 N n 1 d s 1 n 1 exp [ U s 1 n 1 ] d s 2 N n 1 exp [ U s 2 N n 1 ]
11 Gibbs ensemble Prawdopodobieństwo znalezienia konfiguracji z n 1 cząsteczkami w pudle 1 o objętości V 1 i położeniach s 1 n1 s 1 N-n1 jest dane przez n n P n 1, V 1, s 1 n 1, s2 2 V 1 V 1 V 1 N n 1 n 1! N n 1! exp { [ U s 1 n 1 U s2 N n 1 ]}
12 Monte Carlo Symulacja Monte Carlo składa się z następujących kroków: 1. przemieszczanie losowo wybranej cząsteczki 2. Zmiana objętości w taki sposób, że całkowita objętość pozostaje bez zmian 3. Przeniesienie losowo wybranej cząsteczki z jednego pudla symulacyjnego do drugiego pudła K o n =K n o K o n =P o o n a c c o n
13 Monte Carlo Wymiana cząsteczek Przesuwanie cząsteczek Zmiana objętości
14 Przesunięcie cząsteczki Załóżmy, że stan n jest otrzymany ze stanu o przez przesunięcie losowo wybranej cząsteczki w pudle 1. Iloczyn odpowiednich statystycznych wag jest dany przez P n P o = exp n [ U s 1 ] n n exp[ U s 1 ] o Po podstawieniu do warunku równowagi szczegółowej otrzymuje się regułę akceptacji nowej konfiguracji. acc o n =min { 1, exp [ U s n n 1 U so n 1 ] } Ta reguła akceptacji nowej konfiguracji jest identyczna z reguła dla zwykłych symulacji w zespole kanonicznym NVT.
15 Zmiana objętości Dla zmiany objętości pudła 1 o V, V 1n =V 1o + V, iloczyn wag statystycznych konfiguracji przed i po zmianie objętości jest dany przez P n P o = V n 1 n 1 V V n 1 N n 1 V o 1 n 1 V V o 1 N n 1 exp[ U s n N ] exp[ U s o N ] Po podstawieniu do warunku równowagi szczegółowej otrzymuje się regułę akceptacji nowej konfiguracji dla zmiany objętości acc o n = V n 1 n 1 V V n 1 N n 1 V o 1 n 1 V V o 1 N n 1 exp [ U s n N U s o N ]
16 Gibbs ensemble Jeśli zamiast zmiany objętości będziemy zmieniać logarytm objętości, ln(v 1 /(V-V 1 )), funkcja rozkładu będzie miała następująca postać Q NVT = 1 N 3N N! N 1 n 1 =0 n V d ln 1 V V 1 V V V 1 1 V V 1 n 1 V V 1 N n 1 d s 1 n 1 exp [ U s 1 n 1 ] d s 2 N n 1 exp [ U s 2 N n 1 ]
17 Zmiana objętości Waga statystyczna konfiguracji n z objętością V 1 jest proporcjonalna do P n V n 1 n 1 1 V V n 1 N n 1 1 V n 1! N n 1! exp [ U s n N ] Z warunku równowagi szczegółowej otrzymuje się następującą regułę akceptacji { acc o n =min 1, V n1 1 n 1 o V 1 V V n N n1 1 1 exp[ o U s U s ] } V V nn on 1
18 Wymiana cząsteczki Załóżmy, że generujemy konfigurację n z konfiguracji o (n 1 cząsteczek w pudle 1) przez usunięcie cząsteczki z pudła 1 i dodanie cząsteczki do pudła 2. Iloczyn wag statystycznych jest dany przez. P n P o = n n 1! N n 1!V V V 1 N n 1 1 n n 1 1! N n 1 1!V 1 V 1 V 1 N n 1 exp[ U s n N U s o N ] Z warunku równowagi szczegółowej otrzymuje się następujące reguły akceptacji acc o n =min { 1, n 1 V V 1 exp [ U s N N n 1 1 V n U s N ] } o 1
19 Potencjał chemiczny W trakcie symulacji potencjał chemiczny może być wyznaczony bez przeprowadzania dodatkowych obliczeń. Wystarczy zbierać następująca średnią podczas obliczeń przeprowadzanych przy kroku wymiany cząsteczek miedzy pudłami symulacyjnymi. 1 = k B T ln 1 3 V 1 n 1 1 exp [ U 1 ] Gibbs,box 1 U 1+ jest energią związaną z cząsteczka dodaną do pudła 1, zawierającego n 1 cząsteczek. Ta dodana cząsteczka jest cząsteczką, która jest przenoszona z pudła 2. Średnia jest liczona w pudle 1. Oczywiście tak samo można postąpić w przypadku cząsteczek znajdujących się w pudle 2.
20 Monitorowanie gęstości Zmiana gęstości w pudłach symulacyjnych w trakcie trwania symulacji.
21 Wyznaczanie punktu krytycznego Diagram fazowy
22 Analiza danych
23 Analiza danych Zamiana faz w pudłach symulacyjnych
24 Gibbs ensemble dla mieszanin Dla mieszanin ciśnienie może być ustalone, a cały układ może być traktowany jako układ NPT, Gęstość prawdopodobieństwa dana jest przez następujące równanie P n 1, V 1 ; N, P, T N! n 1! N n 1! exp [ n 1 lnv 1 N n 1 ln V 2 U s N P V 1 V 2 ] Zmiana objętości w obu pudłach symulacyjnych jest teraz przeprowadzana niezależnie. Reguła akceptacji ruchu polegającego na zmianie objętości w pudle 1 o V 1 i w pudle 2 o V 2 jest dana przez acc o n =min {1, exp [ U s n 1 U s N n 1 n 1 ln V V 1 1 N n V 1 ln V V ]} 2 2 P V 1 V 1 V 2 2
25 Semigrand ensemble
26 Wielki zespół kanoniczny (wieloskładnikowy) Rozważmy funkcję rozkładu w wielkim zespole kanonicznym dla n-składnikowej mieszaniny. 1,, N, V,T = N 1, N 2,, N n n i=1 q i N i exp i N i N i! V N d s N exp[ U s N ] n N= i =1 N i q i wkład kinetyczny do funkcji rozkładu pochodzący od i-tej cząsteczki q i = i 3 i = h 2 / 2 m i k B T
27 Wieki zespół kanoniczny Jeśli N jest stałe, możemy wyeliminować jedną z N i, na przykład N 1, z sumy z poprzedniego równania. Otrzymujemy wtedy następujące wyrażenie: '= N 2,, N n q 1 N exp 1 N n i=1 q Ni i q 1 exp[ i 1 N i ] N i! V N d s N exp [ U s N ] Następnie mnożymy obie strony równania przez exp(- 1 N) i definiujemy nową funkcje rozkładu: Y ' exp 1 N
28 Semigrand ensemble N Y = q 1 N 2,, N n n i=1 q i q 1 Ni exp [ i 1 N i ] N i! V N d s N exp[ U s N ] Zamieniamy sumę po ilościach cząsteczek i-tego rodzaju przez sumę po wszystkich rodzajach cząsteczek. Ale wtedy musimy skorygować wzór aby wyeliminować podwójne zliczanie. Dzielimy więc przez N! N 1! N n!
29 Semigrand ensemble Po podzieleniu przez czynnik kombinatoryczny otrzymujemy Y = identities q 1 N n N! i=1 q N i i exp[ q i 1 N i ]V N 1 d s N exp[ U s N ]
30 Stałe ciśnienie Czasami wygodnie jest rozpatrywać odpowiedni zespół statystyczny uwzględniając stałe ciśnienie Y ' = P dv exp P V Vq 1 N N! identities N q 1 n N! i=1 q N i i exp [ q i 1 N i ]V N 1 d s N exp[ U s N ]
31 Lotność (fugacity) Ze względów kosmetycznych można zapisać funkcję rozkładu zastępując potencjał chemiczny przez lotność f i, zdefiniowana przez następujące równanie i P,T, x i i 0 k B T ln f i i0 (T) jest potencjałem chemicznym i-tego składnika względem stanu odniesienia, którym jest gaz doskonały pod ciśnieniem P=1. Dla gazu doskonałego f=p, więc i 0 T = k B T ln k B T q i Wstawiając powyższe równanie do wyrażenia na funkcje rozkładu otrzymujemy: Y ' = P dv exp PV Vq 1 N N! identities n i=1 f N i i d s N exp[ U s N ] f 1
32 Termodynamika Prześledźmy teraz jak zmieniała się charakterystyczna funkcja związana z kolejnymi postaciami funkcji rozkładu Wielki zespół kanoniczny PV =ln V, T,{ i } Transformacja do funkcji rozkładu Y P V 1 =lny V,T,{ i ;i 1 } Transformacja do funkcji rozkładu Y' 1 N= ln Y ' P,T,N,{ln f i / f 1 ;i 1}
33 Ułamek lotności Wygodnie jest używać jako zmiennej niezależnej ułamka lotności i zamiast ln(f i /f 1 ), gdzie i f i n f j j=1 Zaletą używania i jest to, że zmienia się od 0 do 1 podczas gdy ln(f i /f 1 ) zmienia się od minus do plus nieskończoności. Po odpowiednich podstawieniach otrzymujemy: 1 N = ln{ P dv exp P V Vq 1 N identities n i=1 i 1 N! Ni d s N exp [ U s N ] }
34 Zmiana potencjału chemicznego Możemy teraz obliczyć jak zmienia się potencjał chemiczny składnika odniesienia 1, ze względu na zmianę ułamka lotności innego składnika N 1 i N, P, T { j = N i N N 1 ; j i } i 1 d i = j i d j Rozważmy zastosowanie powyższego równania do równowag fazowych dla mieszaniny dwuskładnikowej. W tym przypadku zmieniamy tylko 2. Ma początku mierzymy potencjał chemiczny w fazie I składającej się wyłącznie ze składnika 1 oraz w fazie II składającej się wyłącznie ze składnika 2. (na przykład przez całkowanie termodynamiczne). Następnie obliczamy zmianę w fazie I spowodowana wzrostem 2 od 0 i odpowiadająca zmianę 1 w fazie II spowodowana zmniejszeniem 2 poniżej 1. Punkt, w którym potencjał chemiczny 1 składnika 1 w obu fazach jest taki sam jest punktem współistnienia. 1 I 2 = 1 II 2 f 1 I =f 1 II i f 2 I =f 2 II
35 Symulacje Monte Carlo W przypadku symulacji w semigrand ensemble oprócz ruchów związanych z przesuwaniem cząsteczek oraz zmianą objętości, należy również uwzględnić ruchy związane z zamianą jednych cząsteczek na inne. Robi się to w następujący sposób. Wybieramy losowo jedną cząsteczkę spośród wszystkich cząsteczek N i.z równym prawdopodobieństwem zamieniamy rodzaj tę cząsteczkę na cząsteczkę innego rodzaju. Prawdopodobieństwo akceptacji takiego ruchu dane jest przez: acc i i ' =min{ 1, i ' i exp [ U s N ] } gdzie U(s N ) oznacza zmianę energii potencjalnej układu jeśli zamienimy cząsteczkę i- tego rodzaju na cząsteczkę i'-tego rodzaju.
36 Nie-addytywne twarde kule U AA r ={ 0, r AA, r AA U AB r ={ 0, r AB, r AB
37 Semigrand Ensemble W przypadku mieszanin symetrycznych symulacje Monte Carlo można przeprowadzić dokonując jedynie dwu rodzajów ruchów przesuwania cząsteczek i zamiany cząsteczek A na cząsteczki B i odwrotnie. Składnik A Składnik B
38 Kombinacja Gibbs i semigrand enseble Rozważmy mieszaninę składającą się ze składników A i B. Niech składnik B będzie większy niż składnik A. Symulację przeprowadza się w taki sposób, że tylko składnik A jest bezpośrednio przenoszony miedzy pudłami symulacyjnymi. Składnik B jest przenoszony pośrednio przez zamianę składnika A na składnik B w jednym pudle symulacyjnym z jednoczesną zmianą składnika B na składnik A w drugim pudle symulacyjnym. Taki ruch jest akceptowany z następującym prawdopodobieństwem (poniższy warunek jest napisany dla zamiany zamiany składnika A w B w pudle 2): acc o n =min { 1, n A B 2 n 1 n A 1 1 n B 2 1 exp [ U 1 U ] } 2 Warunki równowagi potencjałów chemicznych dla składników A i B w obu pudłach symulacyjnych są dane przez: 1 A = 2 A 1 B 1 A = 2 B 2 A (z przenoszenia składnika A między pudłami) (z zamiany składnika A na B i B na A)
39 Mieszaniny asymetryczne 1 A = 2 A 1 B 1 A = 2 B 2 A
40 Mieszaniny symetryczne W przypadku mieszaniny symetrycznej podczas symulacji w Gibbs ensemble, wystarczy przeprowadzać dwa rodzaje ruchów przesuwanie cząsteczek oraz jednoczesna zamiana cząsteczki A na B w pudle 1 i cząsteczki B na A w pudle 2 albo odwrotnie.
41 Całkowanie termodynamiczne Swobodna energia Helmholtza jest bezpośrednio powiązana z kanoniczna funkcją rozkładu następującym równaniem F= k B T lnq N,V, T k B T ln d p N d r N exp [ H p N, r N ] dn N! Jasne jest, że Q(N,V,T) nie może być wyrażone w formie średniej kanonicznej po przestrzeni fazowej. Z tego powodu F (ale i inne funkcje takie jak S, G) nie może być obliczona bezpośrednio z w symulacjach Monte Carlo. W eksperymentach mierzy się pochodne swobodnej energii, takie jak pochodne względem temperatury T czy objętości V: F /T = E 1/T NV F = P V NT Ciśnienie P i energia E są wielkościami mechanicznymi i mogą być mierzone bezpośrednio w symulacjach. Aby obliczyć energię swobodną układu o danej gęstości i wdanej temperaturze należy znaleźć odwracalną ścieżkę na płaszczyźnie V-T, która łączy badany układ z układem o znanej energii swobodnej. Zmiana F wzdłuż tej ścieżki może być oszacowana przez całkowanie termodynamiczne, tzn. przez całkowanie powyższych równań.
42 Całkowanie termodynamiczne Rozważmy układ składający się z N cząsteczek oddziałujących energią potencjalną U. Zakładamy, że U zależy liniowo od parametry tak, że dla =0, U odpowiada energii potencjalnej układu odniesienia (oznaczonego przez I) a dla =1 jest odtwarzana energia potencjalna układu, który chcemy badać (oznaczanego II) U = 1 U I U II =U I U II U I Funkcja rozkładu dla dla układu, w którym funkcja energii potencjalnej odpowiada wartościom zmieniającym się od 0 do 1 jest dana przez Q N,V, T, = 1 3N N! d r N exp[ U ]
43 Całkowanie termodynamiczne Pochodna swobodnej energii Helmholtza F( ) względem może być zapisana jako średnia po zespole statystycznym: F = 1 N, V,T ln Q N,V,T, = 1 Q N,V, T, = d r N U / exp [ U ] d r N exp[ U ] Q N,V,T, = U gdzie <...> oznacza średnią po zespole dla układu z energią potencjalną dana przez U( )
44 Całkowanie termodynamiczne Różnica energii swobodnej między układem II a układem I może być obliczona przez scałkowanie poprzedniego równania: =1 F =1 F =0 = =0 d U Powyższe równanie wyraża różnicę energii swobodnej jako średnią po zespole, która może być obliczona bezpośrednio w symulacjach, w odróżnieniu od swobodnej energii, której nie można obliczyć bezpośrednio w symulacjach.
Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
Bardziej szczegółowoOgólny schemat postępowania
Ogólny schemat postępowania 1. Należy zdecydować, który rozkład prawdopodobieństwa chcemy badać. Rozkład oznaczamy przez P; zależy od zespołu statystycznego. 2. Narzucamy warunek równowagi szczegółowej,
Bardziej szczegółowoe E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii
Metoda Metropolisa Z = e E P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = P E =Z 1 E e E Wartość średnia energii Średnia wartość A = d r N A r N exp[ U r N ] d r N exp[
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju
Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.
Bardziej szczegółowoPodstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym).
Spis treści 1 Stan gazowy 2 Gaz doskonały 21 Definicja mikroskopowa 22 Definicja makroskopowa (termodynamiczna) 3 Prawa gazowe 31 Prawo Boyle a-mariotte a 32 Prawo Gay-Lussaca 33 Prawo Charlesa 34 Prawo
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowopowierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki
Przejścia fazowe. powierzchnia rozdziału - skokowa zmiana niektórych parametrów na granicy faz. kropeki wody w atmosferze - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki Przykłady przejść fazowych:
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne
Bardziej szczegółowoWykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36
Wykład 1 Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego 5 października 2015 1 / 36 Podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny To zbiór niezależnych elementów, które oddziałują ze sobą tworząc integralną
Bardziej szczegółowoWykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych
Wykład 6 Klasyfikacja przemian fazowych JS Klasyfikacja Ehrenfesta Ehrenfest klasyfikuje przemiany fazowe w oparciu o potencjał chemiczny. nieciągłość Przemiany fazowe pierwszego rodzaju pochodne potencjału
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowo1 Kinetyka reakcji chemicznych
Podstawy obliczeń chemicznych 1 1 Kinetyka reakcji chemicznych Szybkość reakcji chemicznej definiuje się jako ubytek stężenia substratu lub wzrost stężenia produktu w jednostce czasu. ν = c [ ] 2 c 1 mol
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoFizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w poprzednim odcinku 1 Kinetyczna teoria gazów AZ DOSKONAŁY Liczba rozważanych cząsteczek gazu jest bardzo duża. Średnia odległość między cząsteczkami jest znacznie większa niż ich rozmiar. Cząsteczki
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoZadania treningowe na kolokwium
Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA
Bardziej szczegółowoRadialna funkcja korelacji g(r)
Radialna funkcja korelacji g(r) r1 Określa prawdopodobieństwo znalezienia innej cząsteczki w odległości r= r1-r od cząsteczki znajdującej się w punkcie r1 Definicja g(r) Aby zdefiniować g(r) całkuje się
Bardziej szczegółowoMATERIAŁOZNAWSTWO Wydział Mechaniczny, Mechatronika, sem. I. dr inż. Hanna Smoleńska
MATERIAŁOZNAWSTWO Wydział Mechaniczny, Mechatronika, sem. I dr inż. Hanna Smoleńska UKŁADY RÓWNOWAGI FAZOWEJ Równowaga termodynamiczna pojęcie stosowane w termodynamice. Oznacza stan, w którym makroskopowe
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 4 Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Pierwsza zasada termodynamiki procesy kwazistatyczne Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki,
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA
TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N
Bardziej szczegółowoWykład Praca (1.1) c Całka liniowa definiuje pracę wykonaną w kierunku działania siły. Reinhard Kulessa 1
1.6 Praca Wykład 2 Praca zdefiniowana jest jako ilość energii dostarczanej przez siłę działającą na pewnej drodze i matematycznie jest zapisana jako: W = c r F r ds (1.1) ds F θ c Całka liniowa definiuje
Bardziej szczegółowoSymulacja Monte Carlo izotermy adsorpcji w układzie. ciało stałe-gaz
Ćwiczenie nr 2 Symulacja Monte Carlo izotermy adsorpcji w układzie ciało stałe-gaz I. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest określenie wpływu parametrów takich jak temperatura, energia oddziaływania cząsteczka-powierzchnia
Bardziej szczegółowoPrzegląd termodynamiki II
Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy
Bardziej szczegółowoSeria 2, ćwiczenia do wykładu Od eksperymentu do poznania materii
Seria 2, ćwiczenia do wykładu Od eksperymentu do poznania materii 8.1.21 Zad. 1. Obliczyć ciśnienie potrzebne do przemiany grafitu w diament w temperaturze 25 o C. Objętość właściwa (odwrotność gęstości)
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowo= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A
Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA. przykłady zastosowań. I.Mańkowski I LO w Lęborku
TERMODYNAMIKA przykłady zastosowań I.Mańkowski I LO w Lęborku 2016 UKŁAD TERMODYNAMICZNY Dla przykładu układ termodynamiczny stanowią zamknięty cylinder z ruchomym tłokiem, w którym znajduje się gaz tak
Bardziej szczegółowoPodstawy termodynamiki
Podstawy termodynamiki Temperatura i ciepło Praca jaką wykonuje gaz I zasada termodynamiki Przemiany gazowe izotermiczna izobaryczna izochoryczna adiabatyczna Co to jest temperatura? 40 39 38 Temperatura
Bardziej szczegółowoWarunki izochoryczno-izotermiczne
WYKŁAD 5 Pojęcie potencjału chemicznego. Układy jednoskładnikowe W zależności od warunków termodynamicznych potencjał chemiczny substancji czystej definiujemy następująco: Warunki izobaryczno-izotermiczne
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa
Prawo zachowania energii: ZADANIA Z CHEMII Efekty energetyczne reakcji chemicznej - prawo Hessa Ogólny zasób energii jest niezmienny. Jeżeli zwiększa się zasób energii wybranego układu, to wyłącznie kosztem
Bardziej szczegółowoDRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy
Bardziej szczegółowoPrzemiany termodynamiczne
Przemiany termodynamiczne.:: Przemiana adiabatyczna ::. Przemiana adiabatyczna (Proces adiabatyczny) - proces termodynamiczny, podczas którego wyizolowany układ nie nawiązuje wymiany ciepła, lecz całość
Bardziej szczegółowoWykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego
Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego W5. Energia molekuł Przemieszczanie się całych molekuł w przestrzeni - Ruch translacyjny - Odbywa się w fazie gazowej i ciekłej, w fazie stałej
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowochemia wykład 3 Przemiany fazowe
Przemiany fazowe Przemiany fazowe substancji czystych Wrzenie, krzepnięcie, przemiana grafitu w diament stanowią przykłady przemian fazowych, które zachodzą bez zmiany składu chemicznego. Diagramy fazowe
Bardziej szczegółowoPropozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowoKrótki przegląd termodynamiki
Wykład I Przejścia fazowe 1 Krótki przegląd termodynamiki Termodynamika fenomenologiczna oferuje makroskopowy opis układów statystycznych w stanie równowagi termodynamicznej bądź w stanach jemu bliskich.
Bardziej szczegółowoGAZ DOSKONAŁY. Brak oddziaływań między cząsteczkami z wyjątkiem zderzeń idealnie sprężystych.
TERMODYNAMIKA GAZ DOSKONAŁY Gaz doskonały to abstrakcyjny, matematyczny model gazu, chociaż wiele gazów (azot, tlen) w warunkach normalnych zachowuje się w przybliżeniu jak gaz doskonały. Model ten zakłada:
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez
Bardziej szczegółowoROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI
ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI Rozwiązując zadnia otwarte PAMIĘTAJ o: wypisaniu danych i szukanych, zamianie jednostek na podstawowe, wypisaniu potrzebnych wzorów, w razie potrzeby przekształceniu wzorów,
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12
Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12 C. Mol - jest taką ilością danej substancji,
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoTemperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów
Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów opis makroskopowy równowaga termodynamiczna temperatura opis mikroskopowy średnia energia kinetyczna molekuł Równowaga termodynamiczna A B A
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 4. Przypomnienie z poprzedniego wykładu
Wykład 4 Przejścia fazowe materii Diagram fazowy Ciepło Procesy termodynamiczne Proces kwazistatyczny Procesy odwracalne i nieodwracalne Pokazy doświadczalne W. Dominik Wydział Fizyki UW Termodynamika
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą
Bardziej szczegółowoDRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy
Bardziej szczegółowoChemia - laboratorium
Chemia - laboratorium Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Studia stacjonarne, Rok I, Semestr zimowy 013/14 Dr hab. inż. Tomasz Brylewski e-mail: brylew@agh.edu.pl tel. 1-617-59 Katedra Fizykochemii
Bardziej szczegółowoRównanie gazu doskonałego
Równanie gazu doskonałego Gaz doskonały to abstrakcyjny model gazu, który zakłada, że gaz jest zbiorem sprężyście zderzających się kulek. Wiele gazów w warunkach normalnych zachowuje się jak gaz doskonały.
Bardziej szczegółowoTemperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej.
1 Ciepło jest sposobem przekazywania energii z jednego ciała do drugiego. Ciepło przepływa pod wpływem różnicy temperatur. Jeżeli ciepło nie przepływa mówimy o stanie równowagi termicznej. Zerowa zasada
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum
WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoRównowagi fazowe. Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny
Równowagi fazowe Zakład Chemii Medycznej Pomorski Uniwersytet Medyczny Równowaga termodynamiczna Przemianom fazowym towarzyszą procesy, podczas których nie zmienia się skład chemiczny układu, polegają
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" LICZBY I DZIAŁANIA POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Bardziej szczegółowoBudowa stopów. (układy równowagi fazowej)
Budowa stopów (układy równowagi fazowej) Równowaga termodynamiczna Stopy metali są trwałe w stanie równowagi termodynamicznej. Równowaga jest osiągnięta, gdy energia swobodna układu uzyska minimum lub
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoI. Liczby i działania
I. Liczby i działania porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na dziesiętne i odwrotnie, zaokrąglać liczby do danego rzędu, szacować wyniki działań,
Bardziej szczegółowoUkład termodynamiczny Parametry układu termodynamicznego Proces termodynamiczny Układ izolowany Układ zamknięty Stan równowagi termodynamicznej
termodynamika - podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny - wyodrębniona część otaczającego nas świata. Parametry układu termodynamicznego - wielkości fizyczne, za pomocą których opisujemy stan układu termodynamicznego,
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I TERMOCHEMIA
TERMODYNAMIKA I TERMOCHEMIA Termodynamika - opisuje zmiany energii towarzyszące przemianom chemicznym; dział fizyki zajmujący się zjawiskami cieplnymi. Termochemia - dział chemii zajmujący się efektami
Bardziej szczegółowo3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a
3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Teoria kinetyczna INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Teoria kinetyczna Kierunek Wyróżniony rzez PKA 1 Termodynamika klasyczna Pierwsza zasada termodynamiki to rosta zasada zachowania energii, czyli ogólna reguła
Bardziej szczegółowoWymagania eduka cyjne z matematyki
Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 6. Symulacja komputerowa wybranych procesów farmakokinetycznych z uwzględnieniem farmakokinetyki bezmodelowej
Ćwiczenie 6. Symulacja komputerowa wybranych procesów farmakokinetycznych z uwzględnieniem farmakokinetyki bezmodelowej Celem ćwiczenia jest wyznaczenie podstawowych parametrów farmakokinetycznych paracetamolu
Bardziej szczegółowo1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 2
Termodynamika Część 2 Równanie stanu Równanie stanu gazu doskonałego Równania stanu gazów rzeczywistych rozwinięcie wirialne równanie van der Waalsa hipoteza odpowiedniości stanów inne równania stanu Równanie
Bardziej szczegółoworelacje ilościowe ( masowe,objętościowe i molowe ) dotyczące połączeń 1. pierwiastków w związkach chemicznych 2. związków chemicznych w reakcjach
1 STECHIOMETRIA INTERPRETACJA ILOŚCIOWA ZJAWISK CHEMICZNYCH relacje ilościowe ( masowe,objętościowe i molowe ) dotyczące połączeń 1. pierwiastków w związkach chemicznych 2. związków chemicznych w reakcjach
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo1. PIERWSZA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI TERMOCHEMIA
. PIERWSZA I DRUGA ZASADA ERMODYNAMIKI ERMOCHEMIA Zadania przykładowe.. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego znajduje się początkowo w warunkach P = 0 Pa i = 300 K. Zmiana ciśnienia do P = 0 Pa nastąpiła:
Bardziej szczegółowo