Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel

Transkrypt

1 Ciąg monotoniczny Autorzy: Katarzyna Korbel 07

2 Ciąg monotoniczny Autor: Katarzyna Korbel Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich zachowania. Na wykresach ciągów z Rys. widzimy, że charakter każdego z ciągów jest zupełnie inny. 0, , Rysunek : Wykresy trzech ciągów o różnej monotoniczności W pierwszym ciągu pokazanym na Rys. każdy kolejny wyraz jest większy od wyrazów poprzednich i ciąg o takiej własności nazywamy rosnącym. W ciągu drugim każdy kolejny wyraz jest od poprzednich mniejszy i ciąg mający taką własność nazywamy malejącym. W trzecim ciągu wszystkie wyrazy są takie same i taki ciąg nazywamy stałym. Może się również zdarzyć, że każdy kolejny wyraz ciągu jest nie mniejszy albo nie większy (tzn. może być też równy) od wyrazu poprzedniego i ciągi o takich własnościach nazywamy niemalejącym albo nierosnącym. Zauważmy, że ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący. Istnieją oczywiście ciągi, które nie są ani rosnące lub niemalejące, ani malejące lub nierosnące, ani stałe i mówimy, że taki ciąg nie jest monotoniczny. Rys. przedstawia ciąg, który nie ma żadnej z powyższych własności. Rysunek : Wykres ciągu, który nie jest ciągiem monotonicznym Rzeczywiście, np. wyraz drugi jest większy od wyrazu pierwszego, wyraz trzeci jest natomiast mniejszy od drugiego, wyraz czwarty jest znowu większy od trzeciego itp.

3 Definicja : Ciąg rosnący Mówimy, że ciąg (a n ) n M jest rosnący, jeżeli dla wszystkich n M spełniona jest nierówność a n+ > a n. Definicja : Ciąg malejący Mówimy, że ciąg (a n ) n M jest malejący, jeżeli dla wszystkich n M spełniona jest nierówność a n+ < a n. Definicja 3: Ciąg stały Mówimy, że ciąg (a n ) n M jest stały, jeżeli dla wszystkich n M spełniona jest równość a n+ = a n. Definicja 4: Ciąg niemalejący Mówimy, że ciąg (a n ) n M jest niemalejący, jeżeli dla wszystkich n M spełniona jest nierówność a n+ a n. Definicja 5: Ciąg nierosnący Mówimy, że ciąg (a n ) n M jest nierosnący, jeżeli dla wszystkich n M spełniona jest nierówność a n+ a n. UWAGA Uwaga : Jeżeli ciąg posiada jedną z wyżej wymienionych własności w całej swojej dziedzinie, to nazywamy go ciągiem monotonicznym. Komentarz

4 Definicję Ciąg rosnący można w sposób równoważny wyrazić w postaci nierówności a n+ a n > 0, która powinna być spełniona dla każdego n M. Jeżeli dodatkowo wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu (a n ) n M są dodatnie, to ciąg jest rosnący, gdy dla a wszystkich n M spełniona jest nierówność n+ >. Jeżeli w nierównościach zmienimy zwroty nierówności na przeciwne, to analogiczne warunki równoważne definiują ciąg malejący. Wypisane warunki są łatwiejsze do sprawdzenia w praktyce, gdyż a wystarczy zbadać znak różnicy a n+ a lub dla ciągów o wyrazach dodatnich przyrównać iloraz n+ n do jedynki, aby odpowiedzieć na pytanie o monotoniczność ciągu. a n a n PRZYKŁAD Przykład : 3n Zbadaj monotoniczność ciągu a n =, n N n+3 Zbadamy znak różnicy a n+ a n. 3n+ 3n (3n+)(n+3) (3n )(n+4) 0 a n+ a n = = = > 0 dla n N n+4 n+3 (n+4)(n+3) (n+4)(n+3) Widzimy, że różnica a n+ a n jest dodatnia dla wszystkich n N. Wykazaliśmy, że ciąg (a n ) n N jest rosnący. PRZYKŁAD Przykład : Zbadaj monotoniczność ciągu b n =, n N Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc obliczamy iloraz. b n+ n b n n+ n n+ = = = <. b n+ b n Iloraz jest mniejszy od jedynki dla wszystkich n N. Wykazaliśmy, że ciąg (b n ) n N jest malejący. n b n+ b n

5 PRZYKŁAD Przykład 3: Zbadaj monotoniczność ciągu c n = n n, n. Określimy znak różnicy c n+ c n dla wszystkich n. c n+ c n = (n + ) (n + ) n n = ( n n n n) + n n n +n = n = n = > 0 dla n 3. n + n n Obliczamy jeszcze c 3 = 3 i c = 0 i zauważamy, że c 3 c > 0. n + n n Wykazaliśmy, że różnica c n+ c n jest dodatnia dla wszystkich n, czyli ciąg (c n ) n jest rosnący. n + n n Komentarz Bardzo często analiza zachowania się ciągu liczbowego sprowadza się do badania zachowania się tego ciągu dla wyrazów o dużych indeksach, czyli nie interesuje nas zachowanie się początkowych wyrazów ciągu (nawet dużej ich ilości), a raczej końcówka tego ciągu. Z takiego punktu widzenia, może się zdarzyć, że dopiero po odrzuceniu pewnej liczby wyrazów początkowych, otrzymujemy ciąg monotoniczny i takie ciągi nazywamy monotonicznymi od pewnego miejsca. 0,3 0, ,,5 0, Rysunek 3: Wykresy trzech ciągów, których monotoniczność ustala się dopiero od pewnego wyrazu Rys. 3 przedstawia wykresy trzech ciągów, których monotoniczność ustala się dopiero od pewnego wyrazu, a nie od wyrazu pierwszego, jak to ma miejsce dla ciągów monotonicznych. Rzeczywiście pierwszy wykres przedstawia ciąg, który jest rosnący począwszy od -go wyrazu. Drugi wykres przedstawia ciąg, który jest malejący począwszy od 8-go wyrazu, a wykres trzeci przedstawia ciąg, który jest stały od 6-go wyrazu.

6 Definicja 6: Ciąg rosnący od pewnego miejsca Jeżeli dziedziną ciągu ( a n ) jest N i istnieje n 0 N takie, że dla każdego n n 0 spełniona jest nierówność a n+ > a n, to mówimy, że ciąg jest rosnący od pewnego miejsca. Definicja 7: Ciąg malejący od pewnego miejsca Jeżeli dziedziną ciągu ( a n ) jest N i istnieje n 0 N takie, że dla każdego n n 0 spełniona jest nierówność a n+ < a n, to mówimy, że ciąg jest malejący od pewnego miejsca. Definicja 8: Ciąg stały od pewnego miejsca Jeżeli dziedziną ciągu ( a n ) jest N i istnieje n 0 N takie, że dla każdego n n 0 spełniona jest równość a n+ = a n, to mówimy, że ciąg jest stały od pewnego miejsca. PRZYKŁAD Przykład 4: Zbadaj monotoniczność ciągu a n = n 6n + 8. Dziedziną ciągu jest zbiór N. Badamy znak różnicy a n+ a n. a n+ a n = (n + ) 6(n + ) + 8 ( n 6n + 8) = n 5 > 0 dla n > 5. Widzimy, że różnica a n+ a n jest dodatnia tylko dla n > 5, czyli ciąg (a jest rosnący od 3-go miejsca. n ) n N

7 PRZYKŁAD Przykład 5: Zbadaj monotoniczność ciągu b n =. +(n 5) Dziedziną ciągu jest zbiór N. Badamy znak różnicy b n+ b n. n+9 b n+ b n = = < 0 dla n > 9. +(n 4) +(n 5) [[+(n 4) ][[+(n 5) ] Widzimy, że różnica b n+ b n jest ujemna tylko dla n > 9, czyli ciąg (b jest malejący od 5-go miejsca. n ) n N Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :3:35 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=a7ef7678fa0e3ab0ab784adc7d3e Autor: Katarzyna Korbel