Spis treści. Przedmowa. Wprowadzenie 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?... XIII 0.2 Podstawowa literatura... XIV

Transkrypt

1 Spis treści Przedmowa XI Wprowadzenie XIII 0.1 Czym jest matematyka dyskretna? XIII 0.2 Podstawowa literatura XIV 1 Rekurencja Wieże Hanoi Notacja asymptotyczna Liczby trójkątne Liczby Fibonacciego Równanie charakterystyczne Rekurencja liniowa niejednorodna Ruina gracza Szybkie mnożenie i rekurencje dziel i rządź Ćwiczenia Kombinatoryka Permutacje Silnia Wariacje Permutacje z powtórzeniami Kombinacje Współczynniki dwumianowe Współczynniki wielomianowe Zasada szufladkowa Układanie domina Ćwiczenia Elementy rachunku prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo dyskretne Paradoks urodzin Zasada włączania i wyłączania

2 VIII Spis treści 3.4 Szaliki kibiców Korony Kielce Problem sadowienia gości Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie Bayesa Ćwiczenia Więcej kombinatoryki Grupa permutacji Liczby Stirlinga Liczby Bella Triangulacja wielokąta i liczby Catalana Partycje liczb Kompendium najczęstszych problemów kombinatorycznych. 121 Ćwiczenia Grafy Spacer Eulera Grafy Hamiltona Kalejdoskop grafów Izomorfizm grafów Grafy planarne Ile jest grafów? Przeszukiwanie grafów Grafy z wagami Jeszcze o wieżach Hanoi Drzewo Steinera Mały świat Kolorowanie wierzchołkowe grafów Kolorowanie krawędziowe grafów Liczby Ramseya Kojarzenie małżeństw Drzewa etykietowane Notacja polska Sieci zdarzeń Przepływy w sieciach Ćwiczenia Algorytmy Czym jest algorytm Automaty skończone Maszyna Turinga Problem Lodziarz z Pińczowa i algorytm genetyczny Klasyfikacja złożoności problemów decyzyjnych

3 Spis treści IX Ćwiczenia Wskazówki i odpowiedzi do ćwiczeń Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Bibliografia 273 Skorowidz 277

4 Przedmowa Niniejsza książka, przeznaczona dla studentów informatyki oraz wykładowców i prowadzących ćwiczenia, przedstawia najważniejsze i najpotrzebniejsze zagadnienia matematyki dyskretnej, koncentrując się na rekurencji, zaawansowanej kombinatoryce i klasycznym rachunku prawdopodobieństwa, grafach i algorytmach na grafach oraz sieciach, a także na wybranych elementach teorii algorytmów i ich złożoności. Ambicją autora jest ukazanie istoty tłumaczonego problemu w powiązaniu z elementarnym przeprowadzeniem początkującego studenta, po dzisiejszej szkole średniej zazwyczaj dość słabo obytego z technikami matematycznymi, poprzez szczegóły rachunkowe. Preferowaną metodą dydaktyczną jest, w miarę możliwości, ścieżka od szczegółu do ogółu: najpierw ukazywany i rozwiązywany jest pewien typowy problem z danego działu, a następnie przedstawiana jest ogólna teoria z definicjami, twierdzeniami, wnioskami, przykładami i uogólnieniami. W ten sposób wykładana abstrakcja znajduje wcześniejsze ugruntowanie w bardziej intuicyjnym przykładzie z życia, co powinno ułatwić zrozumienie i docenienie praktycznego znaczenia wykładanego materiału. Niemniej, niektóre problemy, których wykład nie unika, łatwe nie są i należy przez nie mozolnie przebrnąć z kartką i ołówkiem w zaciszu domowym. Zgodnie z maksymą uczyć bawiąc wiele zagadnień ma charakter rekreacyjny, co rekompensuje włożony trud w wymagających i może mniej atrakcyjnych, choć ważnych, częściach wykładu. Przy całym ukierunkowaniu na przystępność, wykład dotyczy matematyki i jej konkretnych zastosowań, zatem w jego śledzeniu niezbędna jest stosowna koncentracja i doza samozaparcia. Wykład przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku informatyki, wobec czego wymagana wiedza matematyczna niezbędna do jego śledzenia nie wykracza w zasadzie poza podstawowy program szkoły średniej. Warto jednak zawczasu przypomnieć sobie ten materiał z podręczników szkolnych, w szczególności jego część dyskretną: podstawy logiki, teorii mnogości, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Materiał zahacza też nieco o zazwyczaj biegnące równolegle lub z wyprzedzeniem standardowe wykłady algebry i analizy matematycznej, w szczególności używa elementarnej znajomości funkcji, układów równań liniowych, macierzy, ciągów i szeregów, obliczania granic, a także pewnych elementów rachunku różniczkowego i całkowego, jak rozwinięcie Taylora, całka gaussowska itp.

5 XII Przedmowa Zadaniem wykładu, oprócz przekazu stosownej porcji wiedzy, aparatu pojęciowego i typowych technik analizowania problemów matematyki dyskretnej, jest również nauczenie logicznego myślenia, kombinowania, sprytu matematycznego. Dlatego też na końcu każdego rozdziału podane są niekoniecznie łatwe problemy, mające na celu wciągnięcie studenta w tę pasjonującą matematykę. Wiele z tych zadań wymaga pomysłu, a ich rozwiązywanie częstokroć stawia na równi studenta i profesora, z tą jedyną różnicą, że profesor miał już okazję dłużej myśleć nad podobnymi zagadnieniami w swojej karierze! Wskazówki bądź rozwiązania trudniejszych zadań zawarte są na końcu książki. I jeszcze jedno. Studenci, pamiętajcie: Pytania nie są niedyskretne, odpowiedzi czasem tak. Oscar Wilde Książka jest pisemną wersją wykładów Matematyka dyskretna, wygłoszonych przez autora dla studentów pierwszego roku informatyki na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach w latach Autor pragnie podziękować dr. Przemysławowi Kościkowi oraz studentom informatyki Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach za uwagi i korektę tekstu.