WSZYSTKO CO CHCECIE WIEDZIEĆ O MATEMATYCE ALE BOICIE SIĘ SPYTAĆ
|
|
- Marcin Karpiński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WSZYSTKO CO CHCECIE WIEDZIEĆ O MATEMATYCE ALE BOICIE SIĘ SPYTAĆ Dla wszystkich, których przerażają opasłe podręczniki szkolne do matematyki, opracowałem w przystępnej formie to co trzeba wiedzieć by rozpocząć przygodę zwaną matematyką. Na razie będzie to przygoda w krainie II Gimnazjum. Będą kolejne. Miłej lektury. Liczby naturalne Są to po prostu liczby,, itd. Nie istnieje największa liczba naturalna, gdyż do każdej pomyślanej liczby można np. dodać 1 lub dowolną inną liczbę, otrzymując liczbę większą. Liczby te służą po prostu do liczenia (podawania liczby elementów danego zbioru) a także ustalania kolejności. Pojęcie liczby naturalnej jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć, co nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Jak? Ano trzeba tylko cierpliwie dodawać. Dziesiętny pozycyjny zapis liczby Każdy bez trudu powie jaką liczbę przedstawia zapis, i czemu liczba mimo iż składa się z tych samych cyfr nie jest jej równa. Dzieje się tak gdyż liczy się pozycja na której stoi dana cyfra w liczbie. Układ zapisywania liczb nazywamy dlatego pozycyjnym. To iż liczbę czytamy CZTERYSTA SZEŚĆDZIESIĄT OSIEM, wynika iż liczymy w układzie dziesiątkowym. znaczy 4 SETKI+6 DZIESIĄTEK+8 JEDNOŚCI. A zatem idąc w zapisie od prawej mamy jedności (), dziesiątki (), setki ( ), tysiące ( ) itd. Nietrudno zgadnąć iż wybór liczby został podyktowany po prostu liczbą palców u rąk. Przykładem systemu o innej podstawie niż jest ukochany przez komputery system dwójkowy. Nie będę go szerzej omawiał ale warto przypomnieć iż liczby w nim zapisane składają się z i, jest to dokładnie to co uwielbiają komputery. Przykładem z kolei systemu nie będącego systemem pozycyjnym jest system rzymski. W systemie tym używane jest 7 znaków I, V, X, L, C, D i M, ale odczytanie np. co za liczba kryje się pod zapisem DCCCXXXIX zajmuje naprawdę sporo czasu (odpowiedź, jest to liczba 839). Podzielność liczb naturalnych Definicja. Liczbę naturalną nazywamy dzielnikiem liczby naturalnej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna taka, że =. Fakt ten zapisujemy symbolicznie. Nietrudno stwierdzić, że jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej, a każda liczba naturalna jest swoim własnym dzielnikiem. Jeżeli to mówimy, że jest wielokrotnością. Przykładowo liczba 18 ma 6 dzielników:,,,,, i oczywiście nieskończenie wiele wielokrotności, np.,,,, itd. Każdy pewnie co oznacza, że liczba jest liczbą parzystą. Po prostu to, że. Jeśli nie dzieli, wówczas jest liczbą nieparzystą. Aby sprawdzić czy nie musimy zawsze wykonywać dzielenia. W przypadku gdy jest jedną z liczb:,,,,, możemy wykorzystać tak zwane cechy podzielności. Liczba jest podzielna przez: jeżeli na końcu ma cyfrę:,,,, lub. Przykłady:,,, jeżeli suma cyfr jest podzielna przez 3. Przykłady:,,,. jeżeli dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Przykłady:,,. jeżeli na pozycji jedności ma cyfrę 0 lub 5. Przykłady:,,. gdy dzieli się przez 2 i przez 3. Przykłady:,,. jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykłady:,,. gdy dzieli się przez 2 i przez 5 (czyli na końcu ma 0). Przykłady:,,. 1
2 Cechy podzielności ułatwiają szukanie dzielników. Np. liczba dzieli się przez, przez (suma cyfr 18), przez (28 dzieli się przez 4), przez (bo dzieli się przez 2 i przez 3), przez (suma cyfr 18). Oczywiście nie są to wszystkie dzielniki (jakie wyznaczyć pozostałe?). Liczby pierwsze i złożone Liczba pierwsza jest liczbą naturalną posiadającą dokładnie dwa różne dzielniki: jeden oraz samą siebie. Przykłady:,,,,,,,,,, Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. (Uwaga: 1 nie jest liczbą pierwszą gdyż posiada tylko jeden dzielnik, a nie dwa różne). Liczba złożona to liczba posiadająca więcej niż 2 różne dzielniki. (1 nie jest ani liczbą pierwszą ani złożoną). Rozkład liczby na czynniki pierwsze Każdą liczbę można zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych. Na przykład: =, =, =. Algorytm rozkładu liczby na czynniki podam na przykładzie liczby. Po lewej stronie zapisuję daną liczbę (w tym przypadku 1296). Po prawej będę zapisywał kolejne liczby pierwsze, przez które dzieli się liczba I tak: 1296 dzieli się przez 2 (w kółku), rezultat 648 zapisuję pod spodem. 648 dzieli się przez 2 co daje dzieli się przez 2, co daje dzieli się przez 2 co daje dzieli się przez 3, co daje dzieli się przez 3 co daje 9. Wreszcie 9 dzieli się przez 3 co daje 3. 3 dzieli się przez 3 co daje 1. W prawej kolumnie mamy czynniki pierwsze rozkładu liczby 1296, co zapisujemy: =. Największy wspólny dzielnik Największy wspólny dzielnik (,) dwóch liczb naturalnych i to największa liczba naturalna dzieląca każdą z tych liczb. Na przykład: (,)=. 24 to największa liczba dzieląca zarówno 72 jak i 48. Algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika podam na przykładzie liczb i. Znajduję rozkład na czynniki pierwsze obu liczb. Następnie znajduję wspólne czynniki pierwsze. Są to i. (,) to iloczyn =. Nietrudno zauważyć, że jest to największy dzielnik obu liczb gdyż występuje jako największy czynnik obydwu. Najmniejsza wspólna wielokrotność Najmniejsza wspólna wielokrotność (,) dwóch liczb naturalnych i to taka najmniejsza liczba, która dzieli się zarówno przez jak i. Na przykład: (,)=. Algorytm znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dzielnika podam na przykładzie liczb i. Znajduję rozkład na czynniki pierwsze obu liczb. Następnie znajduję wspólne czynniki pierwsze. Na koniec mnożę jedną z liczb przez iloczyn czynników drugiej liczby, które nie występują w pierwszej. W naszym przykładzie (,)= =. Oczywiście iloczyn dwóch liczb jest równocześnie ich wspólną wielokrotnością, choć nie zawsze najmniejszą. 2
3 Liczby całkowite Liczbami całkowitymi nazywamy znane nam już liczby naturalne,,,..., liczby ujemne,,,... oraz liczbę. Liczby,,,... można sobie wyobrazić jako liczby naturalne z dołączonym znakiem minus. Wszystkie liczby całkowite (a jest ich nieskończenie wiele) możemy ustawić na prostej, którą będziemy nazywać osią liczbową. W jednym z jej punktów (obojętnie którym) umieszczamy liczbę. Wystarczy teraz obrać gdziekolwiek (po prawej) drugi punkt i umieścić w nim liczbę 1. Gdzie będą pozostałe liczby całkowite? Wiadomo. Będą rozmieszczone równomiernie na całej prostej w tej samej odległości od siebie. Ujemne będą po lewej stronie od, a dodatnie po prawej. O osi liczbowej będziemy jeszcze mówić. Oś liczbowa Jak widać z powyższego rysunku liczby całkowite można dobrać w pary: i, i, i, itd. Są to przykłady liczb parami przeciwnych. A zatem jeśli mamy liczbę, liczbę do niej przeciwną oznaczamy. I tak np. liczbą przeciwną dla jest, a liczbą przeciwną do liczba. Nie należy jednak myśleć, że zapis oznacza zawsze liczbę ujemną. Jeżeli np. = to ( )= (liczba dodatnia). Liczbą przeciwną do jest, co zapisujemy =. Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych Chyba każdy umie dodawać do siebie liczby naturalne. Z odejmowaniem jest trochę trudniej. Oczywiście nietrudno wykonać działanie =, ale co będzie rezultatem działania? Właśnie po to by wykonywać takie działania wymyślono liczby całkowite. Zresztą liczby całkowite najwygodniej wyobrazić sobie jako strzałki na osi liczbowej. Strzałki w prawo to liczby naturalne, w lewo liczby całkowite ujemne, strzałka, której początek i koniec pokrywają się, to liczba. Otóż dodawanie i odejmowanie liczb odpowiada składaniu ze sobą strzałek. I tak np. gdy chcemy wykonać działanie, idziemy w prawo o 7 jednostek (liczba ), a następnie w lewo o 5 (liczba ). Wynik odpowiada właśnie skierowanej w prawo strzałce o końcu w punkcie 2. Podobnie dla działania, idziemy w prawo o 5 jednostek (liczba ), a następnie w lewo o 7 (liczba ). Wynik odpowiada właśnie skierowanej w lewo strzałce o końcu w punkcie. Dzięki takiemu podejściu możemy stwierdzić iż dodawanie i odejmowanie to te same działania. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych Każdy potrafi pomnożyć przez siebie liczby naturalne (kłania się upiorna tabliczka mnożenia). Zresztą mnożenie to też żadne nowe działanie. No bo właściwie co to znaczy np. pomnożyć przez? Ano to samo co 5 razy dodać do siebie 4 albo 4 razy dodać do siebie 5. Wynik wynika właśnie z tego iż ++++= jak również +++=. Każdy widzi przecież, że sadząc po 4 drzewa w 5 rzędach w istocie posadził po 5 drzew w 4 rzędach. No ale jaki będzie rezultat działania razy ( )? Otóż, przypominając sobie działania na strzałkach, jest to 4 krotne odłożenie strzałki o długości 5 skierowanej w lewo. Wynikiem będzie oczywiście skierowana w lewo strzałka o długości 20 (czyli liczba ). Na koniec pada pytanie: a jak pomnożyć ( ) przez ( )? Przyjmiemy na razie bez dowodu, że ( ) ( )=, gdyż iloczyn dwóch (i ogólnie parzystej liczby) liczb ujemnych jest liczbą dodatnią. Z dzieleniem jest dokładnie tak samo (jeśli chodzi o znak). Przykłady: ( ) ( )= ( ) ()= ( ) ( )= ( ) ()= 3
4 Ułamki Fajnie jest gdy dzielimy przez siebie dwie liczby całkowite i wynik jest również liczbą całkowitą. No bo na przykład = a =. Ale co będzie gdy na przykład chcemy obliczyć ile wynosi? Że nie jest to liczba całkowita to widać. Otóż aby takie działania były możliwe stworzono właśnie ułamki. UŁAMKI TO PO PROSTU LICZBY. Ułamkiem o liczniku i mianowniku ( ) nazywamy liczbę odpowiadającą właśnie rezultatowi działania. A teraz najważniejsze! DZIELENIE PRZEZ JEST NIEWYKONALNE! stąd nie istnieją ułamki o mianowniku. Natomiast ułamek o mianowniku jest to po prostu liczba równa jego licznikowi ( =). Ułamek można najprościej zinterpretować jako podzielenie pewnej wielkości na części i wzięcie takich części. Na przykład podzielenie tabliczki czekolady na 4 części i wzięcie 3 z nich, powoduje w istocie wzięcie tabliczki czekolady. Nietrudno zgadnąć iż to samo można uzyskać dzieląc tabliczkę na 8 części i biorąc 6, na 16 części i biorąc 12 itd. Za każdym razem będziemy w posiadaniu tabliczki. Widać stąd, że = = Ogólnie, = gdy =. Skoro na przykładzie czekolady widać, iż istnieje nieskończenie wiele identycznych ułamków, należałoby zapytać jak z danego ułamka otrzymać ułamek jemu równy? Służy do tego operacja skracania i rozszerzania ułamków. Skracaniem ułamka nazywamy podzielenie licznika i mianownika przez ich dowolny wspólny dzielnik (różny od 1 dlaczego?). Rozszerzanie jest jeszcze prostsze, gdyż polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez dowolną tę samą liczbę całkowitą (różną od 0). I tak, ułamek można skrócić dzieląc licznik i mianownik przez, otrzymując a następnie przez otrzymując. Oczywiście tego ostatniego skrócić się już nie da (taki ułamek nazywamy nieskracalnym). Działania na ułamkach Wspomnieliśmy, że ułamki są liczbami, a liczby można porównywać, dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Otóż, > > gdy >, a < gdy <. Przykład: < gdyż < Mnożenie ułamków omówię na początku gdyż jest najprostsze. Ułamki mnożymy mnożąc liczniki i mianowniki. =. Przykład: = = Dzielenie ułamków również nie jest trudne. Otóż ułamki dzielimy następująco: = =. Przykład: = = = Dodawanie (odejmowanie) ułamków jest trudniejsze. Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki to dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian. Przykład: += =. Jeżeli ułamki mają różne mianowniki, to najpierw należy sprowadzić je do wspólnego mianownika, a dalej jak wyżej. Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność tych mianowników. Wiadomo teraz po co była nam NWW! Przykład: Chcemy obliczyć +. Obliczamy (,)=. Następnie rozszerzamy ułamki: =, =, += Liczby wymierne i działania na nich Liczbą wymierną jest każda liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i ( ), są liczbami całkowitymi. Wszystkie pomiary wykonujemy właśnie w tych liczbach, zresztą nie tylko 4
5 pomiary, wszelkie rachunki wykonywane są w praktyce wyłącznie w obrębie liczb wymiernych. Liczby wymierne możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Jeśli bowiem liczba jest różna od zera, to nie ma liczby, która byłaby wynikiem podzielenia liczby przez gdyż jeśli =, to = (a miało być ). Wynikiem operacji mogłaby być dowolna liczba gdyż jeśli i =, to = dla dowolnej liczby. Prawa dotyczące działań na liczbach. Dla każdych liczb i : + = + (przemienność dodawania) = (przemienność mnożenia) (+)+ = +(+) (łączność dodawania) ( ) = ( ) (łączność mnożenia) (+)= + (rozdzielność mnożenia względem dodawania) ( )= (rozdzielność mnożenia względem odejmowania) + = (dodanie zera do dowolnej liczby nie zmienia wyniku) = (pomnożenie dowolnej liczby przez 1 nie zmienia wyniku) +( ) = (suma liczby i liczby przeciwnej równa się zero) =, (iloczyn liczby (różnej od zera) przez jej odwrotność wynosi jeden) Jeżeli = to = lub = (aby iloczyn dwóch liczb był zerem wystarczy by jedna z nich była zerem) Obliczenia procentowe Procent (%) to po prostu ułamek 5 % z danej liczby wynosi. A zatem %= =, %= =, %=. Na przykład % z wynosi = = = Jeżeli liczba stanowi % nieznanej liczby to =. Na przykład jeśli stanowi % z liczby to = = Jeżeli mamy dwie liczby i to liczba =( )% liczby. Na przykład liczba stanowi % liczby 400 bo = %=% Potęgi o wykładniku naturalnym Potęgowanie to po prostu mnożenie przez siebie danej liczby określoną ilość razy. Zapisujemy to następująco: = i tych jest n. Na przykład = =. Liczbę nazywamy podstawą potęgi a jej wykładnikiem. Oczywiście =. Na potęgach można wykonywać działania. I tak: = Na przykład = = = : = Na przykład : = = = =( ) Na przykład =( ) = = ( ) = Na przykład ( ) = = =
6 Potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym Jeżeli i jest liczbą naturalną to =. Na przykład = =. Na potęgach o wykładniku ujemnym obowiązują wszystkie podane wyżej działania (jak dla dodatnich). Pierwiastki Jeżeli >0 i >1 to pierwiastkiem stopnia z liczby nazywamy taką liczbę, że =. Pierwiastek stopnia z liczby oznaczamy. Jeżeli = to w zapisie pomijamy i piszemy. Przykłady: =, bo =, =, bo =, =, bo ( ) = Nietrudno zauważyć, że nie z każdej liczby da się łatwo wyciągnąć pierwiastek. Już liczba sprawia kłopoty. Podobnie, i wiele wiele innych. Jednak takie pierwiastki istnieją i są liczbami niewymiernymi. Będziemy je zapisywać właśnie w postaci,,, i zajmiemy się nimi później. Liczbą niewymierną jest również dobrze znana liczba. Ma ona jednak inny typ niewymierności. Wszystkie liczby wymierne i niewymierne nazywać będziemy liczbami rzeczywistymi. Kolejność wykonywania działań Matematyka to sztuka ale jak w każdej sztuce konieczne jest rzemiosło. Tym rzemiosłem jest wykonywanie działań. Opiszę to na przykładzie. Przypuśćmy, że mamy obliczyć wartość wyrażenia: ( ) + Pierwszeństwo mają działania w nawiasach. W nich z kolei zaczynamy od potęgowania, następnie wykonujemy mnożenie, a następnie dodawanie. Na końcu rezultat musimy podnieść do potęgi. A zatem =, ( ) =. W nawiasie mamy zatem + =. Na koniec ( ) = Zapamiętajmy najpierw wykonujemy potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie (w kolejności zapisu), a następnie dodawanie i odejmowanie (też w kolejności zapisu). Kolejność zapisu oznacza, że : =, gdyż najpierw dzielimy 4 przez 5 a następnie wynik mnożymy przez 2. Gdybyśmy operacje wykonali w innej kolejności otrzymalibyśmy inny (nieprawidłowy) rezultat. Oś liczbowa Wygodnie jest utożsamiać liczby rzeczywiste z punktami na prostej. Istotnie punktów na prostej jest nieskończenie wiele, podobnie jak liczb. Oprócz tego każde dwie liczby możemy porównać, odpowiada to położeniu punktów, ten bardziej w prawo będzie odpowiadał liczbie większej. Na koniec, pomiędzy dwie dowolne liczby można wstawić trzecią, dotyczy to również punktów. Nietrudno stwierdzić, że wystarczy ustalić położenie 0 i 1 by reszta liczb ułożyła się sama. Położenie liczb wymiernych (ułamków) ustalić łatwo (patrz niżej), położeniem liczb niewymiernych zajmiemy się później. Znajdowanie liczb wymiernych na osi liczbowej Nietrudno stwierdzić, że znajdowanie dowolnej liczby wymiernej sprowadza się do umiejętności podzielenia odcinka na tyle części jaka liczba znajduje się w mianowniku ułamka. Przypuśćmy, że chcemy wskazać, gdzie na osi liczbowej znajduje się ułamek. Jeżeli zatem podzielimy odcinek [,] na 5 części i weźmiemy z nich 4 to otrzymamy właśnie szukany ułamek. Aby podzielić odcinek na 5 6
7 części, w punkcie 0 kreślimy drugi dowolnej długości odcinek i odkładamy na nim 5 jednakowej długości odcinków. Robimy to oczywiście za pomocą cyrkla. Ostatni punkt łączymy odcinkiem z punktem 1, a następnie na koniec prowadzimy odcinki równoległe (w jaki sposób?) do ostatniego odcinka, przechodzące przez kolejno odłożone punkty. Nie będziemy w tej chwili dowodzić (choć wszyscy wiemy, że chodzi o twierdzenie Talesa), że nasz odcinek [,] zostanie w ten sposób podzielony na 5 części i ustalenie położenia ułamka jest dziecinnie proste. Oczywiście konstrukcja działa dla dowolnego ułamka, tyle, że na przykład znalezienie ułamka napotkałoby pewne problemy natury technicznej Powiedzieliśmy sobie, że pomiędzy dowolne dwa różne punkty na prostej można wstawić trzeci. Wynika to z faktu, że punkt nie zajmuje miejsca, a zatem jeśli punkty są różne to zawsze pomiędzy nimi jest trochę miejsca na wstawienie no właśnie wstawienie czegoś co miejsca nie zajmuje. No dobrze, ale skoro każdemu punktowi odpowiada jakaś liczba (niekoniecznie wymierna), to znaczyłoby że pomiędzy każde dwie liczby można wstawić trzecią. Jak? Ano przypuśćmy, że mamy dwie liczby wymierne i. Chcemy wstawić pomiędzy nie liczbę, tak by znajdowała się w połowie drogi, czyli spełniona była równość =. Ponieważ znamy i, to mamy równanie z jedną niewiadomą, którą to możemy prosto wyliczyć. Przekształcamy: +=+ co daje += i =. Ostatnia równość oznacza, że jest średnią arytmetyczną liczb i, a dla każdych liczb istnieje taka średnia. Na przykład: pomiędzy ułamek i wstawmy kolejny. Korzystamy z wyprowadzonego wzoru = = =. 7
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać
Bardziej szczegółowoKryteria ocen z matematyki w klasie IV
Kryteria ocen z matematyki w klasie IV odejmuje liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiętnego, zna kolejność wykonywania działań, gdy nie występuję nawiasy, odczytuje współrzędne punktu na
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2
1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest
Bardziej szczegółowoPrzypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH dodawać w pamięci
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoSZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016 Szczegółowe kryteria ocen dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: Zna zależności wartości cyfry od jej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe 0 = 4 4 + 4 4, 2 = 4: 4 + 4: 4, 3 = 4 4: 4 4, 4 = 4 4 : 4 + 4, 6 = 4 + (4 + 4): 4, 7 =
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoPLAN DYDAKTYCZNY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV
PLAN DYDAKTYCZNY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV OPRACOWANY W OPARCIU O PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA Z PLUSEM NUMER TEMAT LEKCJI UWAGI I GŁÓWNE ZAGADNIENIA LEKCJI 1 2 3 LICZBY NATURALNE 1-2 3-4 5-6 7-8 9-11
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe Zadanie domowe Liczby naturalne (Sztuka nauczania matematyki w szkole podstawowej i gimnazjum,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Bardziej szczegółowoLiczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
Bardziej szczegółowoZakres tematyczny - PINGWIN. Klasa IV szkoły podstawowej 1. Zakres treści programowych z I etapu kształcenia. 2. Liczby naturalne i działania:
Zakres tematyczny - PINGWIN Klasa IV szkoły podstawowej 1. Zakres treści programowych z I etapu kształcenia. 2. Liczby naturalne i działania: zapisywanie i porównywanie liczb rachunki pamięciowe porównywanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Bardziej szczegółowoZbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami
Bardziej szczegółowoLista działów i tematów
Lista działów i tematów Szkoła podstawowa. Klasa 4 Liczby i działania Rachunki pamięciowe - dodawanie i odejmowanie O ile więcej, o ile mniej Rachunki pamięciowe - mnożenie i dzielenie Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI DLA KLASY V
WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI DLA KLASY V (n - el prowadzący M. Stańczyk) Wymagania programowe z matematyki w klasie V szkoły podstawowej czyli kompetencje i umiejętności uczniów z matematyki w klasie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem
ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW 4014 180/99 Liczę z Pitagorasem Lp. Dział programu Tematyka jednostki metodycznej Uwagi 1 2 3 4 Lekcja organizacyjna I Działania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY IV : 1. przeczyta i zapisze liczbę wielocyfrową (do tysięcy) 2. zna nazwy rzędów
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoSZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY
SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY KLASA IV Uczeń otrzymuje ocenę celującą gdy: potrafi samodzielnie wyciągać wnioski,
Bardziej szczegółowoOGÓLNE KRYTERIA OCENIANIA DLA KLASY IV
OGÓLNE KRYTERIA OCENIANIA DLA KLASY IV LICZBY NATURALNE - umie dodawać i odejmować pamięciowo w zakresie 100 bez przekraczania progu dziesiątkowego, - zna tabliczkę mnożenia i dzielenia w zakresie 100,
Bardziej szczegółowoSkrypt 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie. 3. Obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoTEMATY JEDNOSTEK METODYCZNYCH
TEMATY JEDNOSTEK METODYCZNYCH I SEMESTR 63 h Lp. Tematyka jednostki metodycznej Liczba godzin Uwagi o realizacji 3 4 LICZBY NATURALNE Działania w zbiorze liczb naturalnych rachunek pamięciowy 30 Czas przeznaczony
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w
Bardziej szczegółowoKryteria ocen z matematyki w klasie IV. na ocenę dopuszczającą: na ocenę dostateczną: Uczeń musi umieć:
Kryteria ocen z matematyki w klasie IV Uczeń musi umieć: na ocenę dopuszczającą: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiętnego, znać kolejność wykonywania działań, gdy nie występuję
Bardziej szczegółowoZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM.
ZESTAW PYTAŃ SPRAWDZAJĄCYCH WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE UCZNIÓW KLAS III GIMNAZJUM. Publikacja zawiera przykłady krótkich sprawdzianów wiadomości z zakresu zbiorów liczbowych oraz praw i działań w tych zbiorach
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 8
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 8 Scenariusze na temat objętości Pominięcie definicji poglądowej objętości kolosalny błąd (w podsumowaniu
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoKRYTERIA WYMAGAŃ NA POSZCZEGÓLNE OCENY SZKOLNE. Przedmiot: matematyka. Klasa: 5
KRYTERIA WYMAGAŃ NA POSZCZEGÓLNE OCENY SZKOLNE Przedmiot: matematyka Klasa: 5 OCENA CELUJĄCA Rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe wielodziałaniowe. Proponuje własne metody szybkiego liczenia. Rozwiązuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie spełnia poniższych wymagań edukacyjnych
Bardziej szczegółowoKRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY
1 KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.
Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie VII. Ocena roczna Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA V Wymagania konieczne i podstawowe - na ocenę dopuszczającą i dostateczną. Uczeń powinien umieć: dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4
MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Dział programu: Działania na liczbach naturalnych Rozróżnia pojęcia: cyfra, liczba. Porównuje liczby naturalne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ
MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ ocena dopuszczająca (wymagania konieczne), : rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie 3000, porównuje
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI Ocenę niedostateczną (1) otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań na ocenę dopuszczającą, Wymagania na ocenę dopuszczającą (2) rozróżnia liczby pierwsze i
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 4 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne, tzn.: 1. posiada i
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V OCENA ŚRÓDROCZNA: DOPUSZCZAJĄCY uczeń potrafi: zapisywać i odczytywać liczby w dziesiątkowym
Bardziej szczegółowoNaCoBeZU z matematyki dla klasy 7
NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7 I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Znam pojęcia: liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Zaznaczam i odczytuję położenie liczby
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoSTANDARDY WYMAGAŃ W ZAKRESIE WIEDZY MATEMATYCZNEJ UCZNIA KLASY IV W ROZBICIU NA OCENY
STANDARDY WYMAGAŃ W ZAKRESIE WIEDZY MATEMATYCZNEJ UCZNIA KLASY IV W ROZBICIU NA OCENY Treści i umiejętności Zakres opanowanej wiedzy i posiadane umiejętności w rozbiciu na poszczególne oceny celująca bardzo
Bardziej szczegółowoMatematyka. Klasa IV
Matematyka Klasa IV Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie opanował umiejętności przewidzianych w wymaganiach na ocenę dopuszczającą Uczeń musi umieć: na ocenę dopuszczającą: odejmować liczby
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA KLASA IV KLASA V KLASA VI
KRYTERIA OCENIANIA II ETAP EDUKACYJNY MATEMATYKA KLASA IV KLASA V KLASA VI DOPUSZCZAJĄCY odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiętnego znać kolejność wykonywania działań, gdy nie
Bardziej szczegółowoDo gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV Dział I. Liczby naturalne część 1 Jak się uczyć matematyki Oś liczbowa Jak zapisujemy liczby Szybkie dodawanie Szybkie odejmowanie Tabliczka mnożenia Tabliczka
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału Lp. Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 1 lutego 2017 r. Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE WRAZ Z KRYTERIAMI OCENIANIA WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH UCZNIÓW KLAS 5 ROK SZKOLNY 2016/2017
WYMAGANIA EDUKACYJNE WRAZ Z KRYTERIAMI OCENIANIA WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI MATEMATYCZNYCH UCZNIÓW KLAS 5 ROK SZKOLNY 2016/2017 WYMAGANIA EDUKACYJNE I OKRES II OKRES I. LICZBY NATURALNE rozumieć dziesiątkowy
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7
Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Temat lekcji Punkty z podstawy programowej Lp. Wymagania podstawowe Wymagania
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7
Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Temat lekcji Punkty z podstawy programowej Lp. Wymagania podstawowe Wymagania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem Ocena dopuszczająca: Pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej Rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne Porównywanie
Bardziej szczegółowoKryteria oceny osiągnięć uczniów w klasie I gimnazjum z matematyki ( Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego) oprac.
Kryteria oceny osiągnięć uczniów w klasie I gimnazjum z matematyki ( Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego) oprac. Marta Wcisło DZIAŁ DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY CELUJĄCY
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne tzn.: 1. posiada i
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:
WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie
Bardziej szczegółowoSprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika(
STOPIEŃ BARDZO WYMAGANIA NA OCENY ŚRÓDROCZNE: LICZBY NATURALNE - POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI I OSIĄGNIĘCIA Zapisywanie i odczytywanie liczb w dziesiątkowym systemie pozycyjnym. Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny Matematyka wokół nas klasa IV
Wymagania na poszczególne oceny Matematyka wokół nas klasa IV Dział programowy: Działania na liczbach naturalnych rozróżnia pojęcia: cyfra, liczba porównuje liczby naturalne proste dodaje i odejmuje liczby
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V. Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 14 lutego 2017r.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 14 lutego 2017r. Działania pamięciowe Potęgowanie 1) dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoI semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje
Bardziej szczegółowoPRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR
PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych zajęć, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny klasa IV
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny klasa IV Ocena dopuszczająca: Rozróżnia pojęcia cyfra liczba Porównuje liczby naturalne-proste przypadki Dodaje i odejmuje liczby naturalne w zakresie
Bardziej szczegółowoMatematyka klasa 7 Wymagania edukacyjne na ocenę śródroczną.
Matematyka klasa 7 Wymagania edukacyjne na ocenę śródroczną. Każda wyższa ocena zawiera wymagania dotyczące ocen niższych. Wymagania na ocenę dopuszczającą obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne roczne oceny klasyfikacyjne dla klasy IV w roku 2019/2020.
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne roczne oceny klasyfikacyjne dla klasy IV w roku 2019/2020. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań edukacyjnych niezbędynych do
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY V wg podstawy programowej z VIII 2008 r.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY V wg podstawy programowej z VIII 2008 r. Ocena niedostateczna: I. Liczby naturalne. Uczeń Rozumie dziesiątkowy system pozycyjny Rozumie różnicę miedzy cyfrą
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII Uczeń na ocenę dopuszczającą: - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim, - umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim
Bardziej szczegółowoKryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania
Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum Klasa I Liczby i działania obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki dla klas V- VI w Szkole Podstawowej nr 3 w Jastrzębiu Zdroju.
Kryteria oceniania z matematyki dla klas V- VI w Szkole Podstawowej nr 3 w Jastrzębiu Zdroju. Wiadomości i umiejętności przez Was opanowane będą sprawdzane w formie: odpowiedzi i wypowiedzi ustnych, prac
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R. TEMAT 1.LICZBY I DZIAŁANIA
TEMAT.LICZBY I DZIAŁANIA LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH. Zapisywanie i porównywanie liczb.. Rachunki pamięciowe. 3. Sprytne rachunki. 4. Szacowanie wyników działań. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
Bardziej szczegółowo