WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

Transkrypt

1 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają trwałe odkształcenia - DFORMACJ. CCHA PLASTYCZNOŚCI trwałe deformacje po usunięciu przyczyn. Przykładem może być rozciąganie próbki w jednoosiowym stanie naprężeń MODL CIAŁA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNGO CIAŁO SPRĘŻYSTO PLASTYCZN to ciało, dla którego zależność odkształceń od naprężeń jest zgodna z jednym z poniższych wykresów. a) model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym (Rys ) i nieliniowym (Rys ) Rys Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym Rys Model ciała sprężysto - plastycznego ze wzmocnieniem liniowym

2 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 2 b) model ciała sprężysto idealnie plastycznego (Rys ) Rys Model ciała sprężysto idealnie plastycznego c) model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem (Rys ) Rys Model ciała sztywno - plastycznego ze wzmocnieniem d) model ciała sztywno idealnie plastycznego (Rys ) Rys Model ciała sztywno idealnie plastycznego

3 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI HIPOTZY WYTRZYMAŁOŚCIOW HIPOTZA HMH (HUBRA MISSA HNCKY'GO) Huber zaobserwował, że nie jest możliwe przejście w stan plastyczny ciał z odkształceniami objętościowymi. musi nastąpić zmiana postaciowa a nie objętościowa, co świadczy o tym, że decyduje energia typu postaciowego Materiał przechodzi w stan plastyczny wtedy gdy energia odkształcenia postaciowego osiąga wartość krytyczną właściwą danemu materiałowi lecz niezależną od rodzaju stanu naprężeń s o - intensywność dewiatora naprężeń G moduł Kirchoff'a = 1 6 G (13.1) s i= 3 2 s jk s jk (13.2) s i = s jk elementy dewiatora naprężeń Wzór na naprężenia zredukowane w punkcie: = (13.3) Naprężenia w punkcie w głównym stanie naprężeń: = 1 2 I II 2 II III 2 III I 2 (13.4) Naprężenia w punkcie w jednoosiowym stanie naprężeń: = I = I (13.5)

4 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 4 Wartość tensora, dla którego energia sprężysta osiągnie taką wartość, dla której ciało przejdzie w stan plastyczny można przedstawić wykorzystując stan naprężenia. III II I Rys Walec s 1 s 2 max Rys Płaski stan naprężeń Naprężenie w głównym stanie naprężeń, gdzie występują tylko trzy zmienne można przedstawić w trójosiowej przestrzeni naprężeń głównych. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec kołowy (Rys ) o promieniu r= 2 3. Oś walca tworzy ten sam kąt z każdą osią układu współrzędnych 0 I, II, III. Jest to tzw. oś aksjatorów.

5 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 5 3 cos 2 =1 arccos 3 3 =54,74 A (13.6) Walec jest geometrycznym obrazem naprężeń: współrzędne punktów wypełniających wnętrze walca odpowiadają sprężystym stanom naprężenia. Uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom leżącym na pobocznice walca HIPOTZA TRSKI Podstawą do sformułowania tego warunku była obserwacja linii Lüdersa, które powstają w początkowej fazie uplastyczniania próbki rozciąganej. Ponieważ kąt nachylenia tych linii do osi próbki jest bliski 45 i odpowiada płaszczyznom maksymalnych naprężeń stycznych co oznacza, że: tam musi nastąpić zerwanie więzi w wyniku działania sił stycznych tam będzie poślizg kryształów Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materiału ekst ={1= 2 = = (13.7) Podobnie jak w przypadku teorii HMH także i tutaj można skorzystać z jednoosiowego stanu naprężenia: 2 = 3 =0 1 0 (13.8) ekst = 2

6 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 6 W przypadku teorii Treski geometrycznym obrazem będzie graniastosłup foremny 0 podstawie sześciokąta, który jest wpisany w walec Hubera. Opisują go zależności: (13.9) Graniastosłup jest geometrycznym obrazem naprężeń: współrzędne punktów wypełniających wnętrze graniastosłupa odpowiadają sprężystym stanom naprężenia uplastycznienie zachodzi dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punktom leżącym na pobocznicy graniastosłupa SPRĘŻYSTO PLASTYCZN ZGINANI BLKI Założenia: belka jest swobodnie podparta rozpatrujemy przypadek czystego zginania model ciała: sprężysto idealnie plastyczny (Rys ) Przekrój belki: dowolny przekrój pryzmatyczny (Rys ) Rys Model ciała sprężysto idealnie plastyczny

7 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 7 x z y Rys Przekrój pryzmatyczny Warunki równowagi 1) Siła normalna N = x da=0 (13.10) A 2) Moment zginający M =constans M = x y da A (13.11) A g 0 A d Stan A Stan B StanC Stan D Rys Rozkład naprężeń i odkształceń Stan A (patrz Rys ) Naprężenia w dowolnym punkcie:

8 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 8 x = M I x y (13.12) Naprężenia w skrajnym włóknie dolnym: o = M I x (13.13) Odkształcenia = (13.14) Stan B (patrz Rys ) Naprężenia w strefie sprężystej: x = = 1 y (13.15) Z 1) warunku równowagi: x da da=0 (13.16) Po podstawieniu s x, da i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy: 1 y b ydy b ydy=0 (13.17) S A s 0 p =0 (13.18) Gdzie: S s moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych A p pole części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych

9 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 9 Z 2) warunku równowagi: x y da yda=m (13.19) Po podstawieniu s x, da i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy: 1 h g y 2 b ydy y b ydy=m (13.20) I S s 0 p =M (13.21) Gdzie: I s moment bezwładności części przekroju w zakresie naprężeń sprężystych S p moment statyczny części przekroju w zakresie naprężeń plastycznych Stan C (patrz Rys ) Stan ten jest podobny do stanu B, zwiększa się tylko zakres strefy plastycznej. Analizując warunki równowagi otrzymamy takie same zależności: S A s 0 p =0 (13.22) I s S p =M (#.23) Stan D (patrz Rys ) Z 1) warunku równowagi: da=0 (13.24) Po podstawieniu da i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy:

10 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 10 b ydy=0 (13.25) A p =0 (13.26) Z 2) warunku równowagi: yda=m (13.27) Po podstawieniu da i wyciągnięciu przed całkę wielkości stałych otrzymamy: y b ydy=m (13.28) S p =M (13.29) Środek ciężkości dzieli przekrój na dwie części o takiej samej wartości momentu statycznego. Pola powierzchni tycwóch części nie muszą być takie same (A g A d), zatem warunek 1) A p =0 nie będzie spełniony. Nastąpi przesunięcie osi ciężkości przekroju. S p z drugiego warunku musi być policzone względem nowego położenia osi. Wiemy, że = M S p (13.30) Oraz, że max = M W (13.31) Dla przekroju idealnie plastycznego (Rys stan D) =W pl (13.32) Gdzie: W pl wskaźnik oporu plastycznego

11 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 11 Dla przekroju prostokątnego: b h 2 Rys Przekrój prostokątny W pl =2 [b h 0,5 h b h2 ]= 4 4 Dla prętów o innych przekrojaceometrycznych W pl wynosi: dla przekroju kołowego: W pl = 4 r3 3 (13.33) dla przekroju w kształcie rombu: a Rys Przekrój w kształcie rombu

12 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 12 W pl = a3 3 2 (13.34) dla przekroju teowego: b t h Rys Przekrój teowy Pomijamy środnik, co daje nam w rezultacie W pl =t b h (13.35)