C z y p a m i ę t a s z?

Transkrypt

1 C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, Przykłady: 0,1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne do nich i 0. Przykłady:, -3, -1, 0, 17, Liczby wymierne można przedstawid w postaci ułamka zwykłego (ilorazu liczb całkowitych, gdzie n 0) lub w postaci ułamka dziesiętnego skooczonego lub nieskooczonego okresowego. Przykłady: Liczby niewymierne ułamek dziesiętny nieskooczony nieokresowy. Przykłady: Liczby pierwsze liczby, które dzielą się przez samą siebie i przez 1 Działania na liczbach: składnik + składnik = suma odjemna odjemnik = różnica czynnik czynnik = iloczyn dzielna : dzielnik = iloraz (to jest też dzielenie), 3,(23), Liczby przeciwne dodajemy -. Przykłady: 2 i -2; i, 3,75 i -3,75, (liczby te leżą po przeciwnych stronach 0 na osi liczbowej i w tej samej od 0 odległości) Liczby odwrotne dla a. Przykłady: 2 i, - i, 0,25 i Ułamki niewłaściwe licznik jest większy od mianownika, przykład:. (zamiana na liczbę mieszaną: dzielimy licznik przez mianownik, a reszta z dzielenia zostaje w liczniku) Liczby mieszane zbudowane są z całości i ułamka właściwego (zamiana na ułamek niewłaściwy: mnożymy mianownik przez l. całości i dodajemy licznik). Przykład:. Dodawanie ułamków zwykłych jeśli trzeba, sprowadzamy do wspólnego mianownika i dodajemy liczniki Mnożenie ułamków zwykłych (liczby mieszane koniecznie trzeba zamienid na ułamek niewłaściwy) mnożymy liczniki i mnożymy mianowniki; liczby całkowite mnożymy przez licznik (pamiętajmy o skracaniu ułamków, ułatwiajmy sobie liczenie, a rzadziej będziemy się mylid) Dzielenie ułamków zwykłych mnożenie przez odwrotnośd dzielnika. Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych pamiętaj, żeby przecinki były w jednej linii (jeden pod drugim itd.) Mnożenie ułamków dziesiętnych ostatnie cyfry liczb zapisujemy w jednym rzędzie, a potem zliczamy ilośd miejsc po przecinku Dzielenie ułamków dziesiętnych przekształcamy, aby dzielnik był liczbą całkowitą (mnożymy obie liczby przez taką potęgę liczby 10, ile jest miejsc po przecinku w dzielniku) Przybliżenia: Z niedomiarem jeśli cyfra po cyfrze, do której zaokrąglamy jest mniejsza od 5. Przykład: 3, ,2 Z nadmiarem - jeśli cyfra po cyfrze, do której zaokrąglamy jest większa lub równa 5. Przykład: 2,364 2,4 Notacja wykładnicza: Przedstawienie liczby w postaci iloczynu, gdzie 0 a < 10, nc. Przykłady: = 1, ; 0,87519 = Obliczanie NWD i NWW: NWD(a, b) = c największy wspólny dzielnik, czyli największa liczba, przez którą dzielą się liczby a i b - rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (najwygodniej zaczynad po kolei od najmniejszej, aż do wyczerpania) - zaznaczamy powtarzające się czynniki i mnożymy je c NWW(a, b) = c najmniejsza wspólna wielokrotnośd, czyli najmniejsza liczba, która dzieli się przez a i b - rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (najwygodniej zaczynad po kolei od najmniejszej, aż do wyczerpania) - zaznaczamy powtarzające się czynniki i mnożymy wszystkie pomijając powtarzających się czynników c

2 Wyrażenia algebraiczne: To wszystkie wyrażenia zapisane za pomocą liczb i liter oraz znaków działao, np.: a, 2a, 3a+5, 4x-2b, Współczynnik liczbowy 2 w wyrażeniu 2a Wyrazy podobne wyrażenia o różnych współczynnikach liczbowych, a jednakowych literach Redukcja wyrazów podobnych, to dodawanie (odejmowanie) współczynników wyrazów podobnych Mnożenie wyrażeo algebraicznych: a(b + c) = a b + a c (mnożymy każdy składnik sumy przez wyr. przed nawiasem) (a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d (każdy składnik jednej sumy mnożymy przez każdy składnik drugiej sumy) Wzory skróconego mnożenia (niekoniecznie) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Potęgowanie i pierwiastkowanie a n = a a a, gdzie n określa ilośd czynników a a n a m = a n+m a n : a m = = a n m = a n m = b, jeżeli b 2 = a = b, jeżeli b 3 = a = = = (a b) n = a n b n (a : b) n = = = = a = = a Pozbywanie się niewymierności z mianownika: Mnożymy licznik i mianownik przez l. niewymierną, przykład: = = Korzystamy ze znajomości wzorów skróconego mnożenia (gdy w mianowniku jest suma lub różnica l. wymiernej i niewymiernej: przykład: = = = 2(2 - ) Rozwiązywanie równao: (równanie jest to zapis zależności w postaci: L = P, które przekształcamy tożsamościowo doprowadzając do postaci: x = wartośd liczbowa) Pozbądź się mianowników (pomnóż obydwie strony równania przez NWW mianowników) Wykonaj wszystkie wskazane działania Przenieś wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą stronę (pamiętaj o zmianie znaku na przeciwny) Zredukuj wyrazy podobne Oblicz wartośd niewiadomej współczynnik liczbowy =1 (podziel obie strony równania przez współczynnik liczbowy przy niewiadomej) Podsumowując dobrze jest sprawdzid poprawnośd rozwiązania podstawid otrzymany wynik do pierwotnego równania i sprawdzid, czy L = P Rozwiązywanie nierówności: Rozwiązując nierównośd postępujesz analogicznie jak w przypadku rozwiązywania równania. Pamiętaj o zmianie znaku nierówności na przeciwny, jeżeli mnożysz lub dzielisz przez liczbę ujemną. Nierównośd ostra znak między stronami: < lub > - rozwiązanie na osi liczbowej kółeczko niezamalowane Nierównośd nieostra znak lub - rozwiązanie na osi liczbowej kółeczko zamalowane Kierunek kreskowania, to kierunek znaku nierówności (skojarz z lecącym ptakiem)

3 Rozwiązywanie układów równao: METODA PODSTAWIANIA Czynności Uwagi W jednym równaniu wyznaczyć jedną - wszystko oprócz jednomianu z obraną zmienną zmienną przenosimy naprawą stronę(pamiętaj o zmianie znaków Wybrad najdogodniejsze równanie z układu w celu na przeciwny wyznaczenia jednej zmiennej - obie strony równania dzielimy przez współczynnik przy (dalej mamy układ równao) obranej zmiennej Wyznaczoną zmienną podstawiamy do Pamiętaj o działaniach i stosuj nawiasy drugiego równania (dalej mamy układ równao) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą Otrzymamy wartośd jednej zmiennej (możemy obliczenia wykonad poza układem) Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego Otrzymaną wartośd jednej zmiennej wpisujemy w miejsce równania równania, które rozwiązywaliśmy, a drugie przepisujemy (znowu mamy układ równao) jest to wyliczona wcześniej zmienna Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą Obliczoną wartośd jednej zmienne przepisujemy (znowu mamy układ równao) Rozwiązaniem układu jest para liczb (dalej mamy układ równao) METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Czynności Uwagi Przy jednej zmiennej współczynniki muszą byd liczbami przeciwnymi (dalej mamy układ równao) Pozbywamy się jednej zmiennej Dodajemy obie strony równania (wyskakujemy z układu równao) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego równania (znowu mamy układ równao) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą (znowu mamy układ równao) Rozwiązaniem układu jest para liczb (dalej mamy układ równao) Mnożymy obie strony jednego równania przez taką liczbę, aby otrzymad przy wybranej zmiennej liczbę przeciwną do występującej w drugim równaniu Lub Oba równania mnożymy tak, aby otrzymad w dwóch równaniach przy wybranej zmiennej przeciwne współczynniki Otrzymujemy równanie z jedną zmienną Podkreślamy. Otrzymamy wartośd jednej zmiennej Otrzymaną wartośd jednej zmiennej wpisujemy w dowolnie wybrane równanie. Obliczoną wartośd jednej zmienne przepisujemy

4 Przypomnienie wzorów na obwód, pole powierzchni niektórych figur Figury geometryczne: Obwód Pole

5

6 Twierdzenie Pitagorasa: (w uproszczeniu) Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. (dł. przyprostokątnej) 2 + (dł. przyprostokątnej) 2 = (dł. przeciwprostokątnej) 2 a 2 + b 2 = c 2 Twierdzenie potrzebne do obliczania długości poszczególnych boków, jeżeli dane są dwa pozostałe: a = b = c = Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: Sprawdzanie, czy podane długości boków trójkąta są długościami boków trójkąta prostokątnego jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków trójkąta jest równy kwadratowi najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny Trójkąty szczególne (ekierki): Połówka trójkąta równobocznego, czyli o kątach wewnętrznych: 30, 60, 90 Połówka kwadratu, czyli o kątach wewnętrznych: 45, 45, 90 Podobieostwo figur: Jeżeli figura F jest podobna do figury F, to stosunek odpowiednich boków jest stały i określamy go jako skala podobieostwa: Własności podobieostwa figur: Jeżeli figury są podobne w skali k, to: - stosunek obwodów jest równy skali podobieostwa: - stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieostwa:

7 Przypomnienie wzorów na pole powierzchni, objętośd niektórych brył Bryły geometryczne: Pole powierzchni Objętośd

8

9

10 Jednostki długości, powierzchni i objętości Długośd 1km = 1000m = 10000dm = cm = mm 1m = 10 dm = 100cm 1dm = 10 cm 1cm = 10 mm 1mm Powierzchnia 1km 2 = 100ha = 10000ar = m 2 = 10 6 m 2 1ha = 100ar = m 2 1ar = 100m 2 = 10 2 m 2 1m 2 = 10 2 dm 2 = cm 2 = 10 4 cm 2 1dm 2 = 10 2 cm 2 1cm 2 = 10 2 mm 2 1mm 2 Objętośd 1km 3 = m 3 = 10 9 m 3 1m 3 = 10 3 dm 3 = 10 6 dm 3 1l = 1dm 3 1dm 3 = 10 3 cm 3 1cm 3 = 10 3 mm 3 1mm 3