Liczby zespolone C := R 2.

Transkrypt

1 C := R 2. R 2 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0, 1). R C, R x (x, 0) C. i := (0, 1), 1 = (1, 0) (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi. R 2 (a, b) = z = a + bi C. a- część rzeczywista liczby zespolonej z, Rez = a b-część urojona liczby zespolonej z, Imz = b. Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.

8 Płaszczyzna zespolona

13 Moduł liczby zespolonej z = odległość z od 0. z = a + bi = (a, b) z = a 2 + b 2.

18 argument liczby zespolonej 0 Twierdzenie Niech z = x + yi C, z 0. Istnieje dokładnie jedna liczba φ [0, 2π), dla której sin ϕ = y z, cos ϕ = x z. Liczbę tę nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z i oznaczamy Arg z.

19 Argument liczby zespolonej

22 argument liczby zespolonej 0 Twierdzenie Niech z = x + yi C. Jeśli Arg z = ϕ, to sin(ϕ + 2kπ) = y z, x cos(ϕ + 2kπ) = z. Argumentem liczby zespolonej z nazywamy zbiór {ϕ + 2kπ, k Z} i oznaczamy arg z.

23 argument liczby zespolonej

26 dodawanie liczb zespolonych (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

27 odejmowanie liczb zespolonych (a, b) (c, d) = (a c, b d) (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

30 mnożenie liczb zespolonych (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1 (a +bi) (c +di) = ac +adi +bci +bdi 2 = (ac bd)+(ad +bc)i

33 dzielenie liczb zespolonych a+bi c+di dla a, b, c, d R, (c, d) (0, 0) ac + bd ad + bc (a, b) : (c, d) = ( c 2, + d 2 c 2 + d 2 ) a + bi c + di ac + bd ad + bc = c d 2 c 2 + d 2 i

34 dzielenie liczb zespolonych a+bi c+di dla a, b, c, d R, (c, d) (0, 0) ac + bd ad + bc (a, b) : (c, d) = ( c 2, + d 2 c 2 + d 2 ) a + bi c + di ac + bd ad + bc = c d 2 c 2 + d 2 i

35 sprzężenie liczby zespolonej sprzężenie liczby zespolonej Liczbę z := (x, y) = x yi nazywamy liczba sprzężona do liczby z = x + yi. z z = z 2 z z = (x + yi)(x yi) = x 2 y 2 i 2 = x 2 + y 2 = z 2. a + bi c + di = ac adi + bci + bd c 2 + d 2 (a + bi)(c di) (c + di)(c di) = = ac + bd ad + bc c d 2 c 2 + d 2 i.

38 postać trygonometryczna liczby zespolonej (różnej od 0) gdzie ϕ arg z. przykłady z = x + yi = z ( x z + y z i) = = z (cos ϕ + i sin ϕ), 3 = 3(cos 0 + i sin 0), i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)), 2 2i = 2 2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).

39 postać trygonometryczna liczby zespolonej (różnej od 0) gdzie ϕ arg z. przykłady z = x + yi = z ( x z + y z i) = = z (cos ϕ + i sin ϕ), 3 = 3(cos 0 + i sin 0), i = 1(cos (π/2) + i sin (π/2)), 2 2i = 2 2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).

40 mnożenie liczb zespolonych danych w postaci trygonometrycznej Niech z = z (cos ϕ + i sin ϕ) w = w (cos ψ + i sin ψ). Wtedy z w = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)).

41 dzielenie liczb zespolonych danych w postaci trygonometrycznej Niech z = z (cos ϕ + i sin ϕ) w = w (cos ψ + i sin ψ), w 0. Wtedy z w = z (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)). w

42 potęgowanie liczby zespolonych danej w postaci trygonometrycznej Niech z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Wtedy z n = ( z ) n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). przykład (1 + i) 3 =

43 potęgowanie liczby zespolonych danej w postaci trygonometrycznej Niech z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Wtedy z n = ( z ) n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). przykład (1 + i) 3 =

44 potęgowanie liczby zespolonych danej w postaci trygonometrycznej Niech z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Wtedy z n = ( z ) n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). przykład (1 + i) 3 = i i 2 + i 3 =1 + 3i 3 i = 2 + 2i

47 potęgowanie liczby zespolonych danej w postaci trygonometrycznej Niech z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Wtedy z n = ( z ) n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). przykład (1 + i) 3 = ( 2(cos π 4 + i sin π 4 ))3 =( 2) 3 (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ) = 2 2( ) = 2 + 2i.

51 pierwiastek z liczby zespolonej definicja Pierwiastkiem n tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy zbiór rozwiazań równania w n = z. Gdy z 0 to jest dokładnie n rozwiazań równania w n = z. Wszystkie one maja moduł równy n z, a ich argumenty wynosza, kolejno, Arg z n, Arg z n + 2π n, Arg z n + 2 2π n,..., Arg z n + (n 1) 2π n. Pierwiastek n tego stopnia tworzy na płaszczyźnie zespolonej n kat foremny o środku symetrii 0.

52 pierwiastek zespolony przykłady 9 = {3, 3},bo 3 2 = 9 i ( 3) 2 = 9. 9 = {3i, 3i},bo (3i) 2 = 9 i ( 3i) 2 = = { 1, i, i}.

57 3 1

58 4 1

59 , równania kwadratowe Równanie z 2 = a, gdzie a jest liczba rzeczywista dodatnia, ma dwa rozwiazania w liczbach zespolonych: z = ±i a. Każde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych ma albo dwa pierwiastki rzeczywiste ( > 0) albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny ( = 0) albo dwa sprzężone pierwiastki zespolone, gdy < 0, wtedy równanie az 2 + bz + c = 0 ma rozwiazania: z 1 = b i 2a, z 2 = b+i 2a.

64 równanie kwadratowe z 2 = 1 rozwiazanie: z = i lub z = i. z 2 + 2z + 5 = 0 = = 16, = {±4i}, z = 2 4i 2 = 1 2i lub z = 2+4i 2 = 1 + 2i.

70 rozkładanie wielomianów na czynniki Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia n można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i, ewentualnie,trójmianów kwadratowych z wyróżnikiem ( ) ujemnym. Każde równanie wielomianowe stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych, jeśli liczyć je z krotnościami.

71 e z e z := e x+yi = e x e yi = e x (cos y + i sin y).

72 najpiękniejszy wzór matematyki e πi + 1 = 0

73 Zadania 1. Oblicz a) (1 3i) + (3 4i) = b) (2 5i)(3 + 2i) = c) 1+3i 2 i = 2. Rozwiaż równania kwadratowe w liczbach zespolonych a) z 2 = 4 b) z 2 + z + 2 = 0 3. Oblicz a) e 2πi = b) e 1+(π/4)i