W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

Transkrypt

1 Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego, szeregu rozdzielczego punktowego oraz szeregu przedziałowego. Na wstępie przypomnijmy i usystematyzujmy wiedzę dotyczącą zasad budowy szeregu rozdzielczego przedziałowego. Poszczególne etapy budowy szeregu rozdzielczego omówimy na przykładzie. Załóżmy, że dysponujemy danymi pochodzącymi z pewnej obserwacji: 96, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,397 91, , , , , , , , , , , , , , , , , ,58853 W pierwszym kroku należy wyznaczyć wartość najmniejszą oraz największą występujące wśród naszych obserwacji. Przy pomocy popularnego arkusza kalkulacyjnego Excel możemy tego dokonać za pomocą funkcji min max. W naszym przypadku, mamy x min =10,76849 x max =108,7026. W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

2 Ewentualnie można wykorzystać pomocniczą tabelkę: liczba obserwacji (N) liczba przedziałów (k) W rozważanym przez nas przypadku n=120. Mamy zatem kilka możliwości na ustalenie liczby przedziałów: Natomiast na podstawie tabelki liczba przedziałów powinna być pomiędzy 9 a 12. Wybierzmy zatem, że k=10. Po ustaleniu liczby przedziałów należy obliczyć rozpiętość danych W celu zwiększenia przejrzystości zapisu, możemy dokonać pewnych drobnych modyfikacji, a mianowicie, przyjmiemy, że rozpiętość wynosi 100, natomiast x min =10. Dzięki tej drobnej modyfikacji otrzymamy całkowitoliczbowe końce przedziałów, co w znaczący sposób uprości nam obliczenia. Dysponując rozpiętością r oraz liczbą przedziałów k możemy wyznaczyć długość poszczególnych przedziałów Zazwyczaj długości poszczególnych przedziałów są takie same. W szczególnych przypadkach skrajne przedziały mogą mieć inną ( większą) długość niż pozostałe. Możemy już teraz określić końce przedziałów oraz zliczyć ile elementów znajduje się w każdym z przedziałów. Otrzymujemy następującą tabelkę:

3 przedział n i Do obliczania liczby wystąpień w programie Excel można wykorzystać funkcję macierzową częstość. Pierwszą z rozpatrywanych przez nas miar będzie wskaźnik struktury jest to stosunek liczby jednostek o danej wartości do wszystkich obserwacji W rozważanym przez nas przypadku mamy przedział n i /120=0, /120=0, /120=0, /120=0, , /120=0, /120=0, /120=0, /120=0, /120=0,1 Jest oczywiste, że wskaźniki struktury powinny sumować się do jedności.

4 Miary przeciętne (położenia) charakteryzują zbiorowość statystyczną niezależnie od różnic występujących między poszczególnymi jednostkami wchodzącymi w jej skład. Dokonują one charakterystyki podobieństw zbiorowości ze względu na wyróżnioną cechę zmienną. Podział miar położenia: klasyczne o średnia arytmetyczna (zwykła, ważona), o średnia chronologiczna, o średnia harmoniczna, o średnia geometryczna, pozycyjne o dominanta, o kwantyle, kwartyle (kwartyl pierwszy, mediana, kwartyl trzeci), decyle, percentyle (centyle). Średnie klasyczne obliczane są na podstawie wartości wszystkich jednostek badawczych, ukazując średni poziom cechy w zbiorowości. Spełniają on następującą zależność i nie muszą (choć mogą) pokrywać się w pewną wartością badanej cechy. Najbardziej popularna jest średnia arytmetyczna. Charakteryzuje ona średni (przeciętny) poziom cechy zmiennej w zbiorowości. Robi to tym lepiej, im mniejsze jest zróżnicowanie między wartościami badanej zmiennej (wartości skrajne mogą bowiem zniekształcić rezultat obliczeń). Sposób obliczania średniej arytmetycznej jest uzależniony od sposobu prezentacji danych W przypadku szeregu prostego (wyliczającego) mamy W przypadku szeregu punktowego wzór ten przyjmuje postać W przypadku szeregu przedziałowego mamy

5 gdzie oznacza środek i-tego przedziału. Średnia chronologiczna stosowana jest dla szeregów momentów, tzn. do wyznaczania przeciętnego poziomu zjawiska obserwowanego w różnych momentach czasu i dana jest wzorem Średnia harmoniczna z dodatnich liczb zadana jest wzorem Średnia geometryczna dana jest wzorem Średnie pozycyjne (miary pozycyjne) oparte są na wartościach cechy zmiennej wybranych jednostek zbiorowości charakteryzujących się szczególnym położeniem. Można je dokładnie wyznaczyć w szeregach prostych (wyliczających) i rozdzielczych jednostopniowych punktowych), natomiast w szeregach rozdzielczych wielostopniowych (przedziałowych) można wskazać jedynie przedział, w którym znajduje się przeciętna pozycyjna, a następnie oszacować jej wartości przy wykorzystaniu wzoru interpolacyjnego. Dominanta to wartość cechy zmiennej, która występuje najczęściej w badanej zbiorowości (wartość dominująca). Sposób wyznaczania dominanty: szereg prosty (wyliczający) wyznaczenie dominanty polega na wskazaniu najczęściej powtarzającej się wartości cechy zmiennej, szereg rozdzielczy jednostopniowy (punktowy) wyznaczenie dominanty polega na wskazaniu wartości cechy zmiennej, której odpowiada maksymalna liczebność, szereg rozdzielczy wielostopniowy (przedziałowy) wyznaczenie dominanty

6 polega na wskazaniu przedziału, w którym znajduje się dominanta (przedział o największej liczebności), a następnie oszacowaniu jej wartości w oparciu o wzór interpolacyjny gdzie lewy koniec przedziału zawierającego dominantę liczebność przedziału z dominantą liczebność przedziału poprzedzającego przedział z dominantą liczebność przedziału następującego po przedziale z dominantą długość przedziału z dominantą. Kwartyle Kwantyle to wartości cechy zmiennej, które dzielą badaną zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek. Wyróżnia się kwartyle dzielące zbiorowość na cztery części, decyle dzielące zbiorowość na 10 części oraz percentyle (centyle) dzielące zbiorowość na 100 części. Mediana (kwartyl drugi) to wartość cechy zmiennej, która dzieli badaną zbiorowość na dwie części w taki sposób, że połowa jednostek zbiorowości charakteryzuje się wartościami nie wyższymi, a połowa nie niższymi od mediany. Sposoby wyznaczania mediany: W szeregu prostym (wyliczającym) { ( ) ( ) ( ) gdzie oznacza k-ty wyraz w uporządkowanym niemalejąco ciągu obserwacji. Powyższy wzór pozostaje również słuszny dal szeregu rozdzielczego punktowego. W przypadku szeregu przedziałowego mamy nieco bardziej skomplikowany wzór: gdzie

7 lewy koniec przedziału z medianą numer przedziału z medianą liczebność przedziału z medianą długość przedziału z medianą. W analogiczny sposób wyznacza się kwartyle, w tym wypadku dla szeregu przedziałowego mamy wzory gdzie lewy koniec przedziału z kwartylem pierwszym liczebność przedziału z kwartylem pierwszym numer przedziału z kwartylem pierwszym długość przedziału z kwartylem pierwszym lewy koniec przedziału z kwartylem trzecim liczebność przedziału z kwartylem trzecim numer przedziału z kwartylem trzecim długość przedziału z kwartylem trzecim Miary zmienności Miary zmienności (dyspersji) charakteryzują zbiorowość statystyczną, uwzględ-niając różnice między poszczególnymi jednostkami wchodzącymi w jej skład. Dokonują one charakterystyki stopnia zróżnicowania zbiorowości ze względu na wyróżnioną cechę zmienną. Podział miar zmienności: klasyczne: o wariancja, o odchylenie standardowe, o typowy obszar zmienności, o klasyczny współczynnik zmienności;

8 pozycyjne: o rozstęp, o odchylenie ćwiartkowe, o kwartylowy obszar zmienności, o kwartylowy współczynnik zmienności. Klasyczne miary zmienności liczone są na podstawie wartości cechy zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości, ukazując jednocześnie różnice między wartościami badanej cechy dla poszczególnych jednostek, a wartością centralną (zazwyczaj średnią arytmetyczną). Wariancja (drugi moment centralny) Wariancja to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej tej cechy. Jest ona stosowana przy konstrukcji wielu parametrów, ale jej wyniku nie interpretuje się. Sposób obliczania wariancji: Szereg prosty: Szereg rozdzielczy punktowy: Szereg przedziałowy: Odchylenie standardowe jest bezwzględną miarą zróżnicowania, która informuje, o ile przeciętnie poszczególne jednostki badanej zbiorowości różnią się pod względem cechy zmiennej (in plus lub in minus) od średniej arytmetycznej tej zmiennej. Odchylenie jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Typowy obszar zmienności. Jeżeli rozkład cechy w zbiorowości jest normalny, to w granicach typowego obszaru zmienności mieści się około 2/3 jednostek badanej zbiorowości.

9 Klasyczny współczynnik zmienności Klasyczny współczynnik zmienności jest względną miarą zróżnicowania, która informuje o sile zróżnicowania badanej zbiorowości pod względem cechy zmiennej oraz umożliwia ocenę średniej arytmetycznej. Im wartość współczynnika jest wyższa, tym zróżnicowanie jest silniejsze, i odwrotnie. Pozycyjne miary zmienności oparte są na wartościach cechy zmiennej wybranych jednostek zbiorowości charakteryzujących się szczególnym położeniem. Zazwyczaj są obliczane wtedy, gdy niemożliwe lub niewskazane jest wykorzystanie miar klasycznych. Rozstęp (empiryczny obszar zmienności) Rozstęp określa całkowitą zmienność wartości badanej cechy i tym samym służy wstępnej ocenie dyspersji gdzie: x min minimalna wartość cechy zmiennej, x max maksymalna wartość cechy zmiennej. Odchylenie ćwiartkowe jest bezwzględną miarą zróżnicowania, która określa przeciętne zróżnicowanie połowy jednostek zbiorowości jednostek środkowych, czyli skupionych wokół mediany (po odrzuceniu 25% jednostek o najniższych wartościach cechy zmiennej i 25% jednostek o wartościach najwyższych) gdzie: Q 1 kwartyl pierwszy, Q 3 kwartyl trzeci. Kwartylowy obszar zmienności W granicach kwartylowego obszaru zmienności mieści się 50% jednostek badanej zbiorowości

10 Kwartylowy współczynnik zmienności Kwartylowy współczynnik zmienności jest względną miarą zróżnicowania, która informuje o sile zróżnicowania badanej zbiorowości pod względem cechy zmiennej oraz umożliwia ocenę mediany. Im wartość współczynnika jest wyższa, tym zróżnicowanie jest silniejsze, i odwrotnie.