Metody analizy obwodów w stanie ustalonym

Transkrypt

1 Metody analizy obwodów w stanie ustalonym

2 Stan ustalony Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią na wymuszenie sinusoidalne jest odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć o różnej amplitudzie i fazie początkowej. Odpowiednio odpowiedzią na wymuszenie stałe jest odpowiedź stała o innej wartości.

3 Metody analizy obwodów Metoda praw Kirchhoffa, która jest podstawą dla pozostałych metod Metoda transfiguracji, oparte na przekształceniach analizowanego obwodu na obwód równoważny Metoda superpozycji Metoda źródeł zastępczych - Thevenina-Nortona Metody sieciowe, które bazując na topologii obwodu w sposób zalgorytmizowany dokonują analizy obwodu: Metoda prądów oczkowych Metoda potencjałów węzłowych

4 Metoda równań praw Kirchhoffa W metodzie tej wykorzystuje się w bezpośredniej formie prawo prądowe i napięciowe Kirchhoffa uzupełnione o równania symboliczne opisujące poszczególne elementy obwodu. W efekcie zastosowania praw Kirchhoffa otrzymuje się układ równań algebraicznych. Jeśli założymy, że obwód posiada g gałęzi i w węzłów to w równaniach opisujących obwód wykorzystuje się (w-) równań pochodzących z prawa prądowego Kirchhoffa. Pozostałe (g-w+) równań wynika z prawa napięciowego Kirchhoffa dla dowolnie (g-w+) wybranych oczek niezależnych w obwodzie (oczka uważa się za niezależne, jeśli równania napięciowe opisujące je są od siebie niezależne).

5 Metoda transkonfiguracji W metodzie transkonfiguracji wykorzystuje się zależności i zasady: Zastępowanie impedancji (rezystancji) połączonych szeregowo jedną impedancją (rezystancją) równoważną (patrz poprzedni wykład) Zastępowanie impedancji (rezystancji połączonych równolegle jedną impedancją (rezystancją) równoważną Zastępowanie rzeczywistych źródeł napięcia (prądu) równoważnym rzeczywistym źródłem prądu (napięcia) Zastępowanie szeregowego połączenia rzeczywistych źródeł napięć jednym rzeczywistym źródłem napięcia Zastępowanie równoległego połączenia rzeczywistych źródeł prądu jednym rzeczywistym źródłem pradu Przekształcenia gwiazda-trojkąt i trójkąt-gwiazda dla trójników pasywnych

6 Układy zastępcze elementów aktywnych Dla układów połączeń źródeł, podobnie jak dla elementów pasywnych, można tworzyć układy zastępcze. Układ n szeregowo połączonych rzeczywistych źródeł napięcia o tej samej pulsacji można zastąpić zastępczym rzeczywistym źródłem napięcia, którego napięcie Ez jest równe sumie algebraicznej (tzn. z uwzględnieniem znaku jeżeli źródło ma zwrot zgodny z Ez, to występuje ze znakiem (+), a jeżeli przeciwny, to występuje ze znakiem ( )) n Ez = ( Ek ) k= a impedancja (rezystancja) wewnętrzna równa jest Zz = n k= Zk a) parametry zastępczego źródła przedstawionego na rysunku. b) E z = E E2 E3, Rys... Łączenie szeregowe rzeczywistych źródeł napięcia; a) układ wyjściowy, b) układ zastępczy. Z z = Z + Z 2 + Z 3

7 Układy zastępcze elementów aktywnych a) b) Rys..2. Łączenie równoległe rzeczywistych źródeł prądu; a) układ wyjściowy, b) układ zastępczy. Dla obwodu złożonego z równolegle połączonych rzeczywistych źródeł prądu (rys..2a) prąd źródła zastępczego ( rys..2b) jest równy Jz = a admitancja (konduktancja) Yz = n i= Ji n i= Yi Możliwe jest także przekształcenie aktywnego układu połączonego w gwiazdę na układ połączony w trójkąt, natomiast przekształcenie aktywnego układu połączonego w trójkąt na układ połączony w gwiazdę jest niejednoznaczne.

8 Równoważność rzeczywistych źródeł Rzeczywiste źródło napięcia może być zastąpione równoważnym źródłem prądu i na odwrót. E = IZR W IZ = E R W

9 Przykład zastosowania transkonfiguracji Wyznaczyć wartości prądów J, J, J2, J3, J4 dla obwodu o znanych parametrach: Zastępujemy sieć oporników rezystancją zastępczą

10 Przykład zastosowania transkonfiguracji Zastępujemy rzeczywiste źródła napięcia Rzeczywistymi źródłami prądu

11 Przykład... Zastępujemy rzeczywiste źródła prądu połączone równolegle Jednym rzeczywistym źródłem prądu

12 Przykład Zastępujemy rzeczywiste źródła prądu równoważnym rzeczywistym źródłem napięcia

13 Przykład... Pozostałe prądy wyznaczamy z pierwotnej postaci obwodu

14 Twierdzenie o kompensacji Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli dowolną impedancję Z (także rezystancję) zastąpi się idealnym źródłem napięcia E równym co do wartości, częstotliwości i fazy spadkowi napięcia na danej impedancji o zwrocie przeciwnym do zwrotu prądu I płynącego przez tę impedancję. E=U =IZ

15 Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do wszystkich gałęzi należących do tego samego węzła włączyć po jednym idealnym źródle napięcia o tej samej wartości skutecznej, częstotliwości, fazie początkowej i tym samym zwrocie w stosunku do rozpatrywanego węzła. Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia nazywane również: twierdzeniem o przenoszeniu idealnego źródła napięcia.

16 Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł W obwodzie rozgałęzionym rozkład napięć nie ulegnie zmianie, jeżeli równolegle do każdej gałęzi wybranego oczka włączyć po jednym idealnym źródle prądu o tej samej wartości skutecznej, częstotliwości, fazie początkowej i tym samym zwrocie w stosunku do przyjętego obiegu oczka. Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia nazywane również: twierdzeniem o przenoszeniu idealnego źródła prądu.

17 Twierdzenia o wzajemności W obwodach, w których występuje tylko jedno źródło energii (napięciowe lub prądowe) może być zastosowane tzw. twierdzenie o wzajemności. Twierdzenie to można sformułować w dwóch odmianach: oczkowej (dotyczącej źródła napięcia) i węzłowej (dotyczącej źródła prądu). Twierdzenie o wzajemności oczkowej Jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne źródło napięcia znajdujące się w gałęzi k tej wywołuje w gałęzi l tej tego obwodu prąd I, to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi l tej, w gałęzi k tej popłynie również prąd I. Ilustracja twierdzenia o wzajemności oczkowej.

18 Twierdzenia o wzajemności Twierdzenie o wzajemności węzłowej Jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne źródło prądu znajdujące się między węzłami k i l wywołuje między węzłami m i n napięcie U, to po przeniesieniu gałęzi z tym źródłem między węzły m i n, napięcie między węzłami k i l będzie również równe U. Ilustracja twierdzenia o wzajemności węzłowej. Powyższe własności wynikają z symetrii macierzy impedancji i admitancji własnych i wzajemnych. Przy stosowaniu twierdzeń o wzajemności należy zwrócić uwagę na zachowanie zwrotów źródeł oraz odpowiednich napięć i prądów. Twierdzenia te są ważne również w obwodach ze sprzężeniami magnetycznymi oraz przy dowolnym charakterze zmienności źródeł (ale z zerowymi warunkami początkowymi).

19 Zasada superpozycji Odpowiedź czasowa obwodu elektrycznego liniowego przy warunkach początkowych zerowych jest równa sumie odpowiedzi czasowych na każde wymuszenie z osobna. Zasada ta odnosi się do układów: W stanie ustalonym jak i nieustalonym Dla źródeł zmiennych o różnych częstotliwościach

20 Zasada superpozycji Tworzymy tyle układów ile jest źródeł napięciowych i prądowych w obwodzie W każdym układzie zostawiamy kolejno jedno źródło prądowe lub napięciowe, pozostałe źródła usuwamy wstawiając w jego miejsce: Dla źródła napięciowego zwarcie Dla źródła prądowego przerwę (co łączy się z usunięciem całej gałęzi zawierającej to źródło) Dla każdego obwodu wyznaczamy prąd lub napięcie Sumujemy prądy lub napięcia składowe z każdego obwodu

21 Przykład wykorzystania zasady superpozycji ) 2)

22 Przykład wykorzystania zasady superpozycji )

23 Przykład wykorzystania zasady superpozycji

24 Twierdzenie Thevenina Twierdzenie o zastępczym źródle napięcia (tw. Thevenina): Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków AB zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z szeregowo połączonego jednego idealnego źródła napięcia, równego napięciu między zaciskami AB w stanie jałowym oraz jednej impedancji równej impedancji zastępczej obwodu pasywnego, widzianego od strony zacisków AB.

25 Twierdzenie Thevenina Twierdzenie ma zastosowanie przy wyznaczaniu prądu w jednej wybranej gałęzi (oznaczmy ją jako gałąź między węzłami AB). Sposób postępowania jest następujący: Wyłączamy gałąź AB i dla takiego obwodu wykonujemy następujące obliczenia: Obliczamy impedancję (rezystancję) zastępczą widzianą z zacisków AB, zastępując: Źródła napięcia zwarciem Źródła prądu przerwą Wyznaczamy napięcie jałowe panujące na zaciskach AB (węzły A i B są rozwarte) Korzystając ze schematu zastępczego twierdzenia obliczamy prąd i napięcie w gałęzi AB

26 Twierdzenie Nortona Twierdzenie o zastępczym źródle prądu (tw. Nortona): Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków AB zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równolegle połączonego jednego idealnego źródła prądu, o prądzie źródłowym równym prądowi w gałęzi AB, przy zwarciu zacisków AB oraz jednej admitancji równej admitancji zastępczej obwodu pasywnego, widzianego od strony zacisków AB.

27 Twierdzenie Nortona Twierdzenie ma zastosowanie przy wyznaczaniu napięcia w jednej wybranej gałęzi (oznaczmy ją jako gałąź między węzłami AB). Sposób postępowania jest następujący: Wyłączamy gałąź AB i dla takiego obwodu wykonujemy następujące obliczenia: Obliczamy admitancję (konduktancję) zastępczą widzianą z zacisków AB, zastępując: Źródła napięcia zwarciem Źródła prądu przerwą Wyznaczamy prąd zwarcia między zaciskami zaciskami AB (węzły należy zewrzeć) Korzystając ze schematu zastępczego twierdzenia obliczamy napięcie w gałęzi AB

28 Przykład zastosowania twierdzenia Thevenina Rozwiązanie

29 Przykład zastosowania twierdzenia Thevenina

30 Przykład zastosowania twierdzenia Thevenina

31 Przykład zastosowania twierdzenia Nortona Stosując metodą zastępczego źródła prądu wyznaczyć spadek napięcia na R4 Rozwiązanie. Odłączamy gałąź AB z R4 i obliczamy prąd zwarciowy AB (zwieramy węzły AB) E =3 A R R 6 R 3 2 R 3 R2 E R I R3 I z =0 I= E R I 3 I z= = A=0,75 A R3 4

32 Przykład zastosowania twierdzenia Nortona 2. Przy odłączonej gałęzi AB wyznaczamy konduktancję zastępczą widzianą z zacisków AB przy zwartym źródle napięcia E R R 2 R AB =R 3 =20 R R 2 G AB = = =0,05 R AB Do zastępczego źródła prądu o wyznaczonych parametrach dołączamy gałąź AB i obliczamy napięcie na R4. = =0, R 4 0 I z =U AB G AB G 4 Iz 0,75 A U AB= = =5 V G AB G 4 0,05 0, G 4=

33 Metoda prądów oczkowych Metoda ta może być stosowan tylko dla obwodów liniowych i pozwala na zredukowanie liczby równań w stosunku do metody praw Kirchhoffa. Dla obwodu zawierającego g gałęzi i w węzłów liczba równań wynosi: n=g w Metoda posługuje się pojęciem prądu oczkowego, zwanego także prądem cyklicznym, który jest wirtualnym prądem przepływającym w niezależnym oczku obwodu. Związek miedzy prądem oczkowym a rzeczywistymi prądami określony jest I prawem Kirchhoffa.

34 Metoda oczkowa Wyznaczamy liczbę niezależnych oczek obwodu na podstawie równania n= g w Wybieramy oczka niezależne w obwodzie i oznaczamy kierunek przepływu prądów oczkowych (zwroty prądów możemy przyjąć dowolne) Dla każdego z niezależnych oczek zapisujemy zmodyfikowane dla prądów oczkowych napięciowe prawo Kirchhoffa Rozwiązujemy układ n równań względem niewiadomych prądów oczkowych Prądy rzeczywiste wyznaczamy na podstawie prądów oczkowych i I prawa Kirchhoffa

35 Metoda oczkowa Bilans napięciowy w metodzie oczkowej ma postać: n I 'k Z kk l = n liczba oczek sąsiednich (g w), I 'k prąd oczkowy bieżącego oczka, Zkk n I l' Z kl = ( E kk ) impedancja własna oczka (suma impedancji wszystkich gałęzi wchodzących w skład oczka k) I l' Z kl suma iloczynów prądu oczkowego oczka sąsiadującego z oczkiem k i impedancji wzajemnej oczka k i oczka l, l = (Ekk) algebraiczna suma napięć źródłowych w oczku k (źródła o napięciach skierowanych zgodnie z kierunkiem prądu oczkowego mają znak "+" a przeciwne znak " ")

36 Przykład zastosowania metody oczkowej liczba gałęzi g =6 liczba węzłów w=4 liczba niezależnych oczek n= g w =6 4 =3 Wybieramy oczka, oznaczamy prądy oczkowe, określamy zwroty prądów oczkowych

37 Przykład zastosowania metody oczkowej Zapisujemy dla każdego oczka bilans napięć dla oczka I I I R R5 R4 I II R5 I III R4 =U 0 U 05 dla oczka II I II R5 R2 R3 I I R5 I III R3 = U 05 Napięcia źródłowe mają znak plus jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem prądu oczkowego rozpatrywanego oczka dla oczka III I III R4 R3 R6 I I R4 I II R3=U 06 Prąd oczkowy mnożymy przez sumę wszystkich impedancji (rezystancji) w oczku Odejmujemy wpływ prądów sąsiednich oczek odejmując iloczyny prądu sąsiedniego oczka i impedancji (rezystancji) gałęzi wspólnej. UWAGA!!! Jeśli zwrot w gałęzi wspólnej obu prądów jest zgodny to zmieniamy znak z na +

38 Przykład... Otrzymany układ równań można rozwiązać dowolną metodą np. macierzową. Po uporządkowaniu otrzymamy: I I R R5 R4 I II R5 I III R4 =U 0 U 05 I I R5 I II R5 R2 R3 I III R3 = U 05 I I R 4 I II R3 I III R 4 R3 R6 =U 06 [ ][ ] [ ] R R 4 R 5 R5 R 4 II U 0 U 05 I II = U 05 R5 R 2 R 3 R 5 R 3 R 4 R3 R 3 R4 R 6 I II U 06 R I x =U 0 I x = R U 0

39 Przykład Mając wyznaczone prądy oczkowe na schemacie zaznaczamy rzeczywiste prądy w gałęziach W gałęziach, które należą tylko do jednego oczka rzeczywisty prąd jest określony przez prąd oczkowy z uwzględnieniem znaku (uwaga na zwroty prądów). I = I I I 2 = I II I 6 = I III I 5 = I I I II = I I 2 I 3 = I II I III = I 2 I 6 I 4 =I I I III = I I 6 W gałęziach wspólnych prądy wyznaczamy z I prawa Kirchhoffa

40 Metoda potencjałów węzłowych W metodzie potencjałów węzłowych liczba równań wynika z liczby węzłów obwodu: m=w Metoda ta wykorzystuje I twierdzenie Kirchhoffa. Dla każdego niezależnego węzła zapisuje się bilans prądów. W bilansie po jednej stronie równania zapisuje się prądy wypływające z węzła, którymi są prądy pobierane przez odbiorniki (konduktancje, admitancje), znajdujące się w gałęziach dochodzących do danego węzła. Po drugiej stronie równania znajdują się prądy pochodzące od źródeł energii.

41 Metoda potencjałów węzłowych Analizę obwodu metoda potencjałów węzłowych należy wykonać wg poniższego schematu:

42 Metoda potencjałów węzłowych

43 Metoda potencjałów węzłowych

44 Metoda potencjałów węzłowych

45 Metoda potencjałów węzłowych

46 Metoda potencjałów węzłowych

47 Metoda potencjałów węzłowych W gałęziach zawierających rzeczywiste źródła napięcia należy dokonać zamiany tego źródła na równoważne rzeczywiste źródło prądu: E = IZR W IZ = czyli prąd źródłowy i-tej gałęzi to: E R W Ei I źi = Ri Ei I źi = Zi lub G i= Ri lub Y i = Zi Konduktancja lub admitancja i-tej gałęzi:

48 Metoda potencjałów węzłowych Jeśli w gałęzi znajduje się jedynie idealne źródło napięcia to najkorzystniej jest uziemić jeden z węzłów tej gałęzi. Powoduje to automatyczne uzyskanie jednego potencjału węzłowego i redukuje o liczbę równań w metodzie potencjałów węzłowych:

49 Przykład

50 Przykładu

51 Przykład E 4 E V V2 V3 = Z2 Z4 Z Z2 Z Z4 Z V2 V = I Źr3 Z2 Z5 Z2 E6 E V3 V = I Źr3 Z Z6 Z Z 6 Z

52 Przykład V=E 4 V3 V2=E 3 V2 E 4 = I E3 Z2 Z5 Z2 E 6 E V3 E 4 =I E3 Z6 Z Z Z6 Z Po dodaniu stronami ostatnich dwóch równań E 6 E V3 E 4 V2 E 4 = I E3 I E3 Z6 Z Z Z2 Z5 Z2 Z6 Z Ostatecznie: E 6 E V3 E 4 V2 E 4 = Z6 Z Z Z2 Z5 Z2 Z6 Z 2