Matematyka z kalkulatorem graficznym

Transkrypt

1 I Wojewódzki Konkurs Matematyka z kalkulatorem graficznym ZSDiOŚ im. Jana Zamoyskiego w Zwierzyńcu Finał 206r. DATA: 28 października 206r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 0.00 CZAS PRACY: 60 minut. LICZBA PUNKTÓW: 50. Instrukcja dla piszącego. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu do tego przeznaczonym. 2. Pisz czytelnie, używając czarnego lub niebieskiego długopisu. 3. Możesz korzystać tylko z cyrkla, linijki oraz kalkulatora graficznego przygotowanego przez Komisję. 4. Pamiętaj, jeśli nie potrafisz rozwiązać zadania za pomocą kalkulatora, rozwiąż je w sposób tradycyjny. 5. Staraj się nie wpisywać tylko samych wyników, ale również sposób rozumowania (w tym obliczenia), który prowadzi do rozwiązania zadania. Imię i nazwisko. Gimnazjum w... Życzymy powodzenia

2 ZADANIE (5pkt) a) Oblicz dokładną wartość wyrażenia: 2 b) Wpisz w przygotowanej tabelce wartość ułamka z podpunktu a) przybliżoną do siedmiu miejsc po przecinku. c) Zakładając, że proces rozpisywania powyższego ułamka będziemy kontynuowali w nieskończoność (tzn. do mianownika ostatniego ułamka będziemy dodawali 0,5 nieskończenie wiele razy), to jaką liczbę otrzymamy? Podaj jej dokładną wartość. Odpowiedź a).. Odpowiedź b) Odpowiedź c) 2

3 ZADANIE 2 (5pkt) a) Naszkicuj wykres funkcji f ( x) x 2x, x ( ; ). Odczytaj z wykresu i zapisz: b) zbiór wartości funkcji f, c) miejsca zerowe funkcji f, d) największą wartość funkcji f. Odpowiedź b). Odpowiedź c). Odpowiedź d). 3

4 ZADANIE 3 (5pkt) a) Naszkicuj w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji: f ( x) x 3 a x, dla a, a i a 0 b) Napisz jaką wspólną własność mają wszystkie te wykresy dla a ( ; ). Odpowiedź b).. ZADANIE 4 (4pkt) Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych wynosi Wyznacz te liczby. Rozwiązanie: Odpowiedź:.. 4

5 ZADANIE 5 (5pkt) a) Ile co najmniej ułamków należy dodać, aby suma... była większa od ,499998? b) Czy suma ta może być większa od 0,5? Odpowiedź uzasadnij. Odpowiedź a).. Rozwiązanie b) Odpowiedź b).. 5

6 ZADANIE 6 (4pkt) Oblicz a) , b) , c) d) Na podstawie obserwacji otrzymanych wyników sformułuj przypuszczenie oraz sprawdź je, podając takie dwie liczby powyższej postaci, aby ich iloczyn był równy Oglądać, aby zrozumieć K. Skórzyński, Wyd. Dla szkoły Odpowiedź a)... Odpowiedź b)... Odpowiedź c)... Odpowiedź d)... ZADANIE 7 (6pkt) Matematycy od wieków poszukiwali wzoru, którym można by opisać wszystkie liczby 2 pierwsze. Jedną z takich prób był wzór : f ( n) n n 7; n N. Niestety wzór ten okazał się nieprawdziwy. a) Podaj wartości wszystkich kolejnych liczb naturalnych n=0,,2,3. dla, których wzór ten jest prawdziwy. b) Podaj najmniejszą wartość f(n), która nie jest liczbą pierwszą. Odpowiedź a)... Odpowiedź b)... 6

7 ZADANIE 8 (6pkt) a) Napisz okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego ułamka 4. b) Podaj 345 cyfrę po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 4. Odpowiedź a).. Rozwiązanie b) Odpowiedź b).. 7

8 ZADANIE 9 (4pkt) 0 a b Oblicz wartość wyrażenia 5 5 a b 0 dla a 2 i b 2. Rozwiązanie: Odpowiedź:.. ZADANIE 0 (6pkt) Dane są równania prostych y 2x i y x 2 : a) naszkicuj te proste, b) wyznacz współrzędne punktu A przecięcia się tych prostych, c) oblicz długość odcinka AB, gdzie B jest początkiem układu współrzędnych. 8

9 Rozwiązanie b) Odpowiedź b).. Rozwiązanie c) Odpowiedź c).. 9