I) Reszta z dzielenia

Transkrypt

1 Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B) abc C) (a + b)(b + c)(c + a) musi być podzielna przez 3? 2) Każda z liczb naturalnych dodatnich a, b, c daje inną resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B) abc C) (a + b)(b + c)(c + a) musi być podzielna przez 3? 3) Wyznaczyć największą liczbę trzycyfrową, której reszta z dzielenia przez 3 jest równa sumie cyfr tej liczby.

2 4) Wyznaczyć największą liczbę trzycyfrową, której reszta z dzielenia przez 3 jest równa iloczynowi cyfr tej liczby. 5) Czy istnieją liczby naturalne dodatnie a, b, c, d które przy dzieleniu przez 6 dają reszty odpowiednio równe 2, 3, 4, 5 i które spełniają równanie ab = cd? 6) Czy istnieją liczby naturalne dodatnie a, b, c, d które przy dzieleniu przez 7 dają reszty odpowiednio równe 2, 3, 4, 5 i które spełniają równanie ab = cd? 7) Podać przykład liczb naturalnych a i b większych od 5, tak aby liczby a + b oraz ab dawały przy dzieleniu przez 5 resztę 2. 8) Czy istnieje liczba naturalna a taka, że liczba a(a + 1) daje przy dzieleniu przez 7 resztę 2? 9) Czy istnieje liczba naturalna a taka, że liczba a(a + 1) daje przy dzieleniu przez 100 resztę 97? 10) Podać przykład liczby naturalnej większej od 10000, która zarówno przy dzieleniu przez 3 jak i przy dzieleniu przez 4 jak i przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. II) Cyfra jedności 1) Cyfra jedności liczby 2n jest równa 4.

3 Ile wynosi cyfra jedności liczby n? 2) Wśród dzielników liczby naturalnej dodatniej n są liczby 2 i 5. Ile wynosi cyfra jedności liczby n? 3) Suma dwóch liczb pierwszych, o różnych cyfrach jedności jest liczbą, której cyfra jedności wynosi 6. Wyznaczyć jedną z tych liczb pierwszych. 4) Podać przykład liczb naturalnych dodatnich a, b, c o różnych cyfrach jedności takich, że cyfra jedności liczby a + b + c jest równa cyfrze jedności liczby abc. 5) Dana jest liczba naturalna n. Podać (w zależności od n ) trzy różne liczby naturalne, które mają tą samą cyfrę jedności co liczba n. 6) Czy istnieje liczba naturalna n taka, że liczby n, 3n + 4, 6n mają tą samą cyfrę jedności? 7) Czy istnieje liczba naturalna n taka, że liczby n, 10n + 2, 20n + 4 mają tą samą cyfrę jedności? 8) Rozwiązać w liczbach naturalnych n równanie A) j(n) + j(n + 4) = 7 B) j(n) j(n + 2) = 8

4 j(a) oznacza cyfrę jedności liczby a 9) Czy istnieje liczba naturalna n spełniająca nierówność podwójną j(2n) < j(4n) < j(3n)? 10) Liczby a i b są takimi liczbami naturalnymi parzystymi, że j(a) + j(b) > 0. Czy liczba a + b musi być podzielna przez j(a) + j(b)? III) Iloczyn pierwszej i ostatniej cyfry Niech n będzie liczbą naturalną dodatnią i niech f(n) oznacza iloczyn pierwszej i ostatniej cyfry liczby n. 1) Wyznaczyć wszystkie liczby trzycyfrowe n takie, że f(n) = 35 i liczba n dzieli się przez A) 9 B) 10 2) Wiadomo, że f(n) jest liczbą z przedziału <70, 75>. Wyznaczyć f(n + 1). 3) Wszystkie cyfry liczby n są mniejsze od 5. Liczba f(n) jest liczbą pierwszą. Wyznaczyć f(2n).

5 4) Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną dodatnią k dla której prawdziwe jest twierdzenie : Jeżeli f(n) jest liczbą podzielną przez k, to n jest liczbą parzystą. 5) Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe n takie, że f(n) = 5. 6) Podać przykład liczby naturalnej n spełniającej równanie f(n) = f(n ). 7) Czy istnieje liczba naturalna n taka, że A) f(2n) = f(n) > 0? B) f(2n) = 6f(n) > 0? 8) Czy istnieją liczby naturalne m i n takie, że f(m) = 11f(n) > 0? 9) Wyznaczyć największą liczbę czterocyfrową n taką, że f(n) jest liczbą pierwszą. 10) Wyznaczyć najmniejszą liczbę pięciocyfrową n taką, że f(n) jest liczbą pierwszą. Rozwiązania :

6 I) Reszta z dzielenia 1A) Tak, bo suma reszt jest podzielna przez 3 1B) Nie, kontrprzykładem są liczby a = 4, b = 7, c = 10 1C) Odpowiedź taka sama jak powyżej. 2A) Tak, bo suma reszt jest podzielna przez 3 2B) Tak, bo jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 3 2C) Tak, bo jedna z liczb a + b, b + c, a + c jest podzielna przez 3. 3) 110 4) 990 5) Nie. Lewa strona równania jest liczbą podzielną przez 6, a prawa daje przy dzieleniu przez 6 resztę 2. Wskazówka : a = 6k + 2, b = 6m + 3, c = 6n + 4, d = 6t + 5, gdzie k, m, n, t są liczbami naturalnymi. Wtedy ab = 36km + 18k + 12m + 6, czyli ab dzieli się przez 6, cd = 36nt + 30n + 24t + 20 = 36nt + 30n + 24t , czyli liczba cd daje przy dzieleniu przez 6 resztę 2. 6) Tak, np. a = 9, b = 66, c = 11, d = 54

7 7) a = 8, b = 9 8) Tak, np. a = 5 9) Nie. Gdyby taka liczba istniała wówczas a(a + 1) = 100m + 97, gdzie m jest pewną liczbą naturalną, czyli po lewej stronie mamy liczbę parzystą ( jako iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych ), po prawej stronie liczbę nieparzystą. Taka sytuacja nie może zajść. 10) II) Cyfra jedności 1) 2 lub 7 2) 0 3) 5 4) 23, 36, 47 5) n + 10, n + 20, n ) Tak, np. n = 8 7) Nie, cyfra jedności liczby 10n + 2 jest równa 2, cyfra jedności liczby 20n + 4 jest równa 4.

8 8A) Równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych n. Lewa strona równania jest liczbą parzystą, prawa jest liczbą nieparzystą. 8B) Rozwiązaniami są liczby naturalne, które mają cyfrę jedności równą 9 i tylko one. 9) Tak, np. n = 6 10) Nie, kontrprzykładem są liczby a = 4, b = 18 III) Iloczyn pierwszej i ostatniej cyfry 1A) 567, 765 1B) Nie ma takich liczb. Z warunków zadania wynika, że ostatnia cyfra liczby n ( tak jak i pierwsza ) jest nieparzysta, zatem liczba n nie może być podzielna przez 10 2) 0 lub 81 (wskazówka : liczba 72 jest jedyną liczbą z przedziału <70, 75>, którą można przedstawić w postaci iloczynu dwóch cyfr ) 3) 8 lub 12 4) k = 16

9 5) 521, 541, 571 6) n = A) Tak, np. n = 156 7B) Tak, np. n = 151 8) Nie istnieją takie liczby, lewa strona równania nie jest podzielna przez 11. 9) ) Z poważaniem Michał Kremzer