Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna

Transkrypt

1 Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna G m m r F = r r F = F Schemat oddziaływania: m pole sił m

2 Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna Masa M jest źródłem pola grawitacyjnego Masa m jest niewielką masą próbą tzn, m << M Można zdefiniować wielkość charakteryzującą pole masy M : natężenie pola grawitacyjnego siła działająca na masę m Fg G M r = = m r r M M

3 Przyspieszenie ziemskie Z natężeniem pola grawitacyjnego związane jest tzw. przyspieszenie ziemskie g Na powierzchni Ziemi: F g = m g m = = g Przyspieszenie ziemskie g nie jest stałe... F g = m g m = jego wartość zmienia się wraz z wysokością h nad powierzchnią Ziemi: g= = GM GM = r RZ h

4 Przyspieszenie ziemskie

5 Energia potencjalna cząstki m w polu grawitacyjnym r Δ U = W = F g dr r r Mm dr r r Δ U = G M m r r x dx= x Δ U = ( )G ( )

6 Energia potencjalna cząstki m w polu grawitacyjnym Energię potencjalną w polu grawitacyjnym liczy się względem punktu w nieskończoności czyli /r. W nieskończoności przyjmujemy że U dąży do 0 U r U = G M m r U (r ) = G M m r () Wzór na siłę grawitacyjną możemy wyprowadzić z energii potencjalnej du Fg = dr

7 Potencjał pola grawitacyjnego Energia potencjalna U r = G M m r Potencjał pola grawitacyjnego U r = = GM m r

8 Energia potencjalna układu ciał Potocznie mówimy, że obiekt m ma energię potencjalną mając na myśli oddziaływanie obiektu z Ziemią Powinniśmy raczej mówić o energii potencjalnej układu obiekt - Ziemia Jest to OK,gdy M >>m, bowiem widzimy, że niewielka zmiana energii potencjalnej powoduje bardziej zauważalny ruch mniejszej masy Jednak jeśli mówimy o układzie ciał o porównywalnych masach to musimy mówić o energii potencjalnej układu ciał

9 Energia potencjalna układu ciał Energię potencjalną możemy wyznaczyć w następujący sposób: U r = G m m G m m3 G m m 3 r r 3 r 3

10 II prędkość kosmiczna prędkość ucieczki Ciało o masie m nabiera prędkości v Jego energia kinetyczna mv E kin = Jego energia potencjalna na powierzchni planety: U r = G M m R Na początku en. mechaniczna układu planeta + ciało: { } mv GM m R

11 II prędkość kosmiczna prędkość ucieczki Po ucieczce do nieskończoności ciało utraciło prędkość v = 0 W nieskończoności ciało nie ma też energii potencjalnej U = 0 Ale energia całkowita musi być zachowana więc: { } mv GM m R =0 Dlatego minimalna prędkość ucieczki wynosi: mv =GM m R GM v= R

12 II prędkość kosmiczna prędkość ucieczki Prędkości ucieczki dla kilku ciał niebieskich

13 Działanie grawitacyjne masy rozmieszczonej kulisto- symetrycznie Powłoka kulista o jednostajnej gęstości przyciąga znajdujący się na zewnątrz punkt materialny tak, jakby cała masa była skoncentrowana w jej środku

14 Działanie grawitacyjne masy rozmieszczonej kulisto - symetrycznie Można udowodnić (przez odpowiednie całkowania), że Jest to wyrażenie na siłę, jaką kołowy pasek ds diała na punkt o masie m.

15

16

17 Działanie grawitacyjne masy rozmieszczonej kulisto- symetrycznie Okazuje się że siła pochodząca od paska górnego równoważy siłę pochodzącą od paska dolnego F g = Fg = 0 G m m r r r dla r < R dla r < R

18 Działanie grawitacyjne masy rozmieszczonej w kuli równomiernie M' = 4 3 πr ρ 3 GmM' Fg = r F g r dla r R

19 Zadanie:

20 Ruchy planet i satelitów Siły dośrodkowe planet są sobie równe: m ω r = M ω R mr = M R Równoważność siły grawitacji i dośrodkowej: GMm = m ω r ( R+ r ) Gdy M >> m to R można pominąć w porównaniu do r 3 GM ω r 4 π r 3 GM T Jest to podstawowe równanie ruchu planetarnego pozostaje słuszne dla orbit eliptycznych.

21 III Prawo Keplera 4 π T r3 GM Równanie może być wykorzystane określenia masy Słońca: do T = 365 dni = s r =.5 0 m 4 π r 3 30 M=.0 0 kg masy Ziemi GT

22 Prawa Keplera. Wszystkie planety poruszają sic po orbitach eliptycznych, w których w jednym z ognisk znajduje sic Słońce (prawo orbit).. Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu równe pola (prawo okresów). 3. Kwadrat okresu obiegu dowolnej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca (prawo okresów). Prawa Keplera stanowiły silne poparcie teorii Kopernika. 4 π T r3 GM

23 Ruch planet po eliptycznej orbicie

24 Prawa Keplera

25 Prawa Keplera