Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Transkrypt

1 Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd.

2 Ciągłość funkcji zastosowania

3 Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania 2 =

4 Własność Darbou w geometrii Jak podzielić czworokąt na dwie figury o jednakowych polach? 0 0 0

5 Jakie własności funkcji rozpatruje się w szkole? (według PPM, pp) odczytywanie z wykresu własności funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których w podanym przedziale funkcja przyjmuje wartość największą, najmniejszą) dokładne badanie wykresów i własności funkcji liniowej i funkcji kwadratowej wykresy i najprostsze własności funkcji trygonometrycznych kątów z przedziału < 0 o, 80 o > badanie wykresu funkcji typu f = a/ badanie wykresu funkcji wykładniczej

6 Jakie własności funkcji rozpatruje się w szkole? (według PPM, pr) funkcję logarytmiczną wykresy funkcji określonych różnymi wzorami wykresy i własności funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta okresowość funkcji trygonometrycznych granice funkcji własności funkcji ciągłych pochodne funkcji wymiernych geometryczną i fizyczną interpretację pochodnej funkcji badanie własności funkcji za pomocą pochodnych

7 Luki w PPM różnowartościowość funkcji Funkcja jest różnowartościowa, jeśli Funkcja jest różnowartościowa, jeśli różnym elementom zbioru X odpowiadają różne elementy zbioru Y, tzn. jeśli z tego, że 2 wynika, że f( ) f( 2 ). wizualizacja ) ( ) ( 2 2, 2 f f X 2 2, ) ( ) ( 2 f f X

8 Przykłady Grafy przedstawiają cztery funkcje f:,2 które z nich są różnowartościowe? {a, b, c}; 2 a b c 2 a b c 2 a b c 2 a b c

9 Przykłady Podaj przykład funkcji f: <,3 > < 2,5 > (wzór oraz wykres), która: jest różnowartościowa i na, jest różnowartościowa ale nie jest na, nie jest różnowartościowa i jest na, nie jest różnowartościowa i nie jest na

10 Przykłady Pokaż, że funkcja określona wzorem f = 3 jest różnowartościowa.

11 Luki w PPM pojęcie funkcji odwrotnej Wariant nr (funkcja odwrotna poprzedzona wprowadzaniem pojęcia składania funkcji) Bank A oferuje oprocentowanie roczne 2,5%, a bank B oprocentowanie 3% w skali roku. Jaka funkcja opisuje kapitał po roku po wpłacie do banku A złotych, a jaka po wpłacie złotych do banku B? (pierwszą funkcję nazwij f, a drugą g). Wyobraź sobie, że wpłaciłeś do A złotych i po roku całą kwotę wraz z odsetkami wpłaciłeś na rok do B. Jaką kwotę będziesz miał po upływie 2 lat od wpłacenia swoich pieniędzy do banku A? Wyjaśnij, jakie działania należy wykonać, aby obliczyć wartość funkcji f = ( + 2) 3.

12 Funkcja odwrotna cd. Wariant nr 2 (funkcja odwrotna bez wprowadzana pojęcia składania funkcji) W książce Matematyka w szkole średniej, t.i, WSiP, 992, znajduje się ciekawy przykład: Właściciel kina zauważył, że podnosząc temperaturę na termostacie ogrzewania może zwiększyć sprzedaż lodów w czasie przerwy. Funkcja f, która dla temperatury T daje liczbę sprzedanych lodów wśród widowni liczącej 200 osób dana jest wzorem f T = /T. Jaka temperatura spowoduje sprzedaż 75 lodów? Autorzy książki piszą tak: Innymi słowy, dla jakiej wartości T mamy f T = 75? Aby odpowiedzieć na to pytanie, trzeba naszą funkcję zastosować w odwrotnym kierunku. Opisująca taki proces nowa funkcja nazywa się funkcją odwrotną i oznacza się ją przez f.

13 Funkcje elementarne wstęp W Wikipedii czytamy o funkcjach elementarnych: Funkcje, które powstają z funkcji takich jak: funkcja stała, identyczność, funkcje trygonometryczne i logarytm za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie. Poprawka: Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych, operacji złożenia funkcji oraz odwracania funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi.

14 GWO Definicja funkcji wykładniczej podręczniki

15 cd.

16 Etapy wprowadzania potęgi: Podręcznik Stefana Straszewicza (985) potęga a n, gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią: a = a, a n+ = a n a potęga o wykładniku zerowym lub ujemnym: a 0 = dla a 0, a n = /a n dla n N {0} potęga o wykładniku wymiernym: dla dowolnego a > 0 i dowolnych liczba całkowitych m, n, przy czym n 0 definiujemy: a m/n = (a n ) m dla n > 0 oraz a m/n = a m/ n = (a / n ) m dla n < 0 potęga o wykładniku rzeczywistym; wprowadzenie tej definicji zostało poprzedzone uzasadnieniem następującej własności potęg o wykładniku wymiernym: potęga liczby większej od zwiększa się, gdy zwiększamy wykładnik pokazuje się na przykładzie potęgi 2 π jak określić tę liczbę: przybliżamy liczbę π z góry i z dołu przez zbiegające do niej przybliżenia, na przykład: 3, 3., 3.4, < π < 4, 3.2, 3.5, Dalej otrzymuje się nierówności 2 r < 2 π < 2 r, gdzie r to dowolna liczba ze zbioru {3, 3., 3.4, } a liczba r należy do zbioru {4, 3.2, 3.5, }. Pojawia się liczba g kres górny liczb 2 r oraz liczb g kres dolny liczb 2 r. Ponieważ liczby 2 r i 2 r różnią się dowolnie mało, o ile tylko różnica r r jest dostatecznie mała (stwierdzimy to, jak poprzednio), więc g i g są jedną i tą samą liczbą, tj. g = g. Liczbę tę nazywamy 2 π. Definicja funkcji wykładniczej: Funkcja f określona dla danego a > 0 wzorem f() = a dla każdego R nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a, a jej wykres krzywą wykładniczą.

17 Definicja funkcji wykładniczej propozycja a dla =, 2, (wprowadzamy umowę, że a = a ) a dla =, 2, (a = /a ) a dla = /2, /3, (przypominamy uczniom procedurę obliczania rozwinięcia dziesiętnego liczb typu np. 2) a dla Q 0, m N {0}, n Z {0} ( ) a = dla = 0 (własność tę można przyjąć jako daną z góry ) a dla (a = lim a a n, przy czym (a n ) jest monotonicznym n ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do ) Definiowanie funkcji wykładniczej f = a zostało zakończone. Teraz warto przytoczyć kilka podstawowych własności tej funkcji (zakładamy, że a ); warto, aby uczniowie uzasadnili te własności chociaż w najprostszych przypadkach.

18 cd. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. a a y = a +y dla dowolnych liczb rzeczywistych, y a /a y = a y dla dowolnych liczb rzeczywistych, y (a ) y = a y dla dowolnych liczb rzeczywistych, y a = wtedy i tylko wtedy, gdy = 0 Funkcja f = a jest różnowartościowa. lim a = 0 Funkcja wykładnicza jest ciągła. Funkcja wykładnicza f = a jest dla a > rosnąca, natomiast dla a < malejąca.