TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

Transkrypt

1 TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

2 Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji Punkty siodłowe Wynik gry Metoda minimaksu i maksyminu Metoda strzałkowa

3 Wyznacz punkt siodłowy i narysuj diagram przesunięć Pani Kolumna A B C Pan Wiersz A B C

4 Wyznacz punkt siodłowy i narysuj diagram przesunięć Pani Kolumna A B C Pan Wiersz A B C 2 7 6

5 Gra macierzowa Pani Kolumna A B Pan Wiersz A 2-3 B 0 3

6 Strategia czysta i strategia mieszana Pani Kolumna Pani Kolumna A B C D A A B Pan Wiers sz B C D Pan Wiersz A 2-3 B 0 3 Strategia czysta gracz wybiera jedną, tę samą strategię Strategia mieszana granie jednej z wielu strategii z określonym prawdopodobieństwem

7 Kolumna rzuca monetą, co powinien zrobić Wiersz? Pani Kolumna A B Pan Wiersz A 2-3 B 0 3

8 Wartość oczekiwana Wartością oczekiwaną dla danych wypłat a 1, a 2 a k, uzyskiwanych z prawdopodobieństwami odpowiednio p 1, p 2 p k jest liczba a 1 p 1 +a 2 p 2 +.+a k p k

9 Kryterium wartości oczekiwanej Jeżeli wiemy, że nasz przeciwnik gra określoną strategię mieszaną i będzie ją stosował niezależnie od tego, jak my gramy, powinniśmy stosować strategię dającą nam największą wartość oczekiwaną wypłaty

10 Knowania Kolumny. Czy istnieje taka strategia mieszana Kolumny, że nawet jeśli Wiersz będzie ją znał, to nie będzie mógł tego wykorzystać przeciw Kolumnie? Załóżmy, że Kolumna gra strategię mieszaną polegającą na wyborze A z prawdopodobieństwem wyboru p i B z prawdopodobieństwem (1-p), gdzie (0 p 1)

11 Knowania Kolumny Pani Kolumna A B Pan Wiersz A 2-3 B 0 3

12 Knowania Kolumny Jeżeli Kolumna zagra strategię mieszaną ¾ A i ¼ B Może być pewna, że średnio Wiersz nie wygra więcej niż ¾ w jednej grze, niezależnie od tego, jakie będzie wybierał strategie

13 Rozwiązanie gry bez punktu siodłowego Wartość gry wynosi ¾ Optymalną strategią Kolumny jest ¾ A i ¼ B Optymalną strategią Wiersza jest 3/8 A i 5/8 B. Pan Wiersz Pani Kolumna A B A 2-3 B 0 3

14 Metoda rozwiązywania gier 2x2 w strategiach mieszanych

15 Twierdzenie o minimaksie Każda gra macierzowa m n ma rozwiązanie, tzn. istnieje dokładnie jedna liczba v, nazywana wartością gry, oraz optymalne strategie (czyste lub mieszane) obu graczy, takie że: Jeżeli Wiersz gra swoją optymalną strategię, to jego oczekiwana wypłata będzie większa lub równa v niezależnie od tego, jaką strategię będzie grała Kolumna Jeżeli Kolumna gra swoją optymalną strategię, to oczekiwana wypłata Wiersza będzie mniejsza lub równa v, niezależnie od tego, jaką strategię będzie grał Wiersz

16 John von Neumann ( ) Matematyk, inżynier chemik, fizyk i informatyk. Wniósł znaczący wkład do wielu dziedzin matematyki - w szczególności był głównym twórcą teorii gier, teorii automatów komórkowych i stworzył formalizm matematyczny mechaniki kwantowej. Uczestniczył w projekcie Manhattan. Przyczynił się do rozwoju numerycznych prognoz pogody.

17 Program do rozwiązywania gier

18 Rybołówstwo na Jamajce

19 Davenport 1960

20 Strategie rybaków Wewnętrzna: ustawić wszystkie kosze na łowiskach wewnętrznych Mieszana: ustawić część koszy na łowiskach wewnętrznych, a resztę na zewnętrznych Zewnętrzna: ustawić wszystkie kosze na łowiskach zewnętrznych

21 Wady i zalety strategii Załogi stosujący strategie zewnętrzną i pośrednią ustawiały mniejszą liczbę koszy Łowiska zewnętrzne były narażone na szkody Połowy na łowiskach zewnętrznych dawały lepsze ryby Do wypływania na łowiska zewnętrzne potrzebne są lepsze łodzie

22 Wartości wypłat Prądy Aktywne Nieaktywne Wewnętrzna 17,3 11,5 Rybacy Zewnętrzna -4,4 20,6 Pośrednia 5,2 17,0

23 Rozwiązanie gry

24 Rozwiązanie Gry Gambit: - Optymalna strategia rybaków: 67% - wewnętrzna, 33% - pośrednia - Wartość gry: 13,3 Obserwacje Davenporta: - Rybacy nigdy nie stosowali strategii zewnętrznej - Podczas obserwacji Davenporta w 69% stosowano strategię wewnętrzną, a w 31% - pośrednią - Nawet prądy stosowały swoją strategię optymalną

25 ale gdyby pewnego roku prądy były aktywne przez 35% czasu wynik byłby zgoła inny - Strategia wewnętrzna: 0,35 17,3 + 0,65 11,5 = 13,52 - Strategia zewnętrzna: 0,35 ( 4,4) + 0,65 20,6 = 11,75 - Strategia pośrednia: 0,35 5,2 + 0,65 17,0 = 12,87 Stosowanie strategii minimaksowej gwarantuje rybakom minimum 13,3 funtów szterlingów miesięcznie

26 Ale przecież rybacy znają strategię Natury. więc, posługując się kryterium wartości oczekiwanej - Strategia wewnętrzna: 0,25 17,3 + 0,75 11,5 = 12,95 - Strategia zewnętrzna: 0,25 ( 4,4) + 0,75 20,6 = 14,35 - Strategia pośrednia: 0,25 5,2 + 0,75 17,0 = 14,05 Rybacy powinni więc stosować strategię zewnętrzną!!!

27 A co, jeśli pośrednia będzie tylko trochę mniej atrakcyjna Prądy Aktywne Nieaktywne Wewnętrzna 17,3 11,5 Rybacy Zewnętrzna -4,4 20,6 Pośrednia 5,2 15,0

28 Gry przeciwko Naturze Natura: nieracjonalny gracz, który poprzez wybór strategii współdecyduje o naszych wypłatach, ale który sam z siebie nie jest zainteresowany wynikiem gry

29 Gra z Naturą NATURA A B C D A TY B C D

30 Kryterium Laplace a (1812) TY Wybierz wiersz z najwyższą średnią wypłat (co jest tożsame z wyborem wiersza o najwyższej sumie wypłat) NATURA A B C D A B C D

31 Kryterium Walda (1950) Wyznacz dla każdego wiersza minimalną wartość wypłaty i wybierz wiersz o najwyższym minimum TY NATURA A B C D A B C D

32 Kryterium Hurwicza Wybierz współczynnik optymizmu α z przedziału od 0 do 1. Dla każdego wiersza oblicz wartość: α [maksimum wiersza] + (1-α) [minimum wiersza] i wybierz wiersz, w którym wartość takiej średniej ważonej jest największa TY NATURA A B C D A B C D

33 Kryterium Savage a (1954) Wyznacz maksima wierszy w macierzy strat. Wybierz wiersz, którego maksimum jest najmniejsze TY NATURA A B C D A B C D

34 Macierz strat NATURA A B C D A TY B C D

35 Cztery metody, cztery wyniki, czego chcemy? (spójrzmy w głąb siebie) - Czy wolimy większą średnią wypłat? - Czy może pewność, że najgorsze nie będzie najgorsze? - Szansę na uzyskanie naprawdę najlepszego? - Czy też gwarancję, że nie poczujemy się nazbyt stratni?

36 Jakie kryteria musi spełniać dobra metoda? Symetryczność: Zamiana kolejności wierszy lub kolumn nie powinna mieć wpływu na wybór najlepszej strategii Silna dominacja: Jeśli każda wypłata w wierszu X jest większa niż odpowiadająca jej wypłata w wierszu Y, kryterium podejmowania decyzji nie powinno wskazać na strategię Y Liniowość: Wybrana strategia nie powinna się zmienić, jeśli wszystkie wartości wypłat zostaną pomnożone przez dodatnią stałą lub zostanie do nich dodana stała

37 Jakie kryteria musi spełniać dobra metoda? Duplikacja kolumny: Wybrana strategia nie powinna się zmienić, gdy do macierzy dodamy kolumnę z identyczną z jedną z istniejących uprzednio kolumn Niezmienność względem premii: Wybrana strategia nie ulegnie zmianie, jeżeli do każdej wypłaty w jednej z kolumn dodać stałą Dodanie wiersza: Po dodaniu wiersza metoda powinna wskazać strategię sprzed dodania lub nową

38 Kiedy stosować którą metodę? Nie powinno się stosować kryt. Laplace a, jeśli rozróżnienie poszczególnych stanów Natury nie jest do końca jednoznaczne Kryt. Walda i Hurwicza nie należy stosować, kiedy nie jesteśmy pewni co do wypłat poszczególnych stanów Natury, choć wiemy, jak na wypłaty wpłynie wybór strategii Kryt. Savage a nie powinno być stosowane tam, gdzie nie jesteśmy pewni, które strategie są dla nas dostępne

39 Problem przedsiębiorcy Producen nt skarpete ek Silny wzrost Umiarkowany wzrost Rynek Umiarkowa na recesja Silna recesja Utrzymać poziom produkcji Nieco zwiększyć produkcję Znacznie zwiększyć produkcję Zmienić profil produkcji

40 Czy są jakieś pytania?

41 Następne zajęcia