Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Transkrypt

1 Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61) konsultacje: poniedziałek 11:45-13:15 Slajdy dostępne pod adresem: / 24

2 Plan wykładu 1 Ciągi liczbowe 2 Granica i ciągłość funkcji 3 Pochodna funkcji 4 Zastosowania pochodnych 5 Badanie zmienności funkcji 6 Całka nieoznaczona 7 Całka oznaczona 8 Równania różniczkowe 9 Liczby zespolone 10 Wielomiany 11 Macierze 12 Wyznacznik, odwrotność macierzy 13 Układy równań liniowych 2 / 24

3 Plan wykładu Analiza Algebra 1 Ciągi liczbowe 2 Granica i ciągłość funkcji 3 Pochodna funkcji 4 Zastosowania pochodnych 5 Badanie zmienności funkcji 6 Całka nieoznaczona 7 Całka oznaczona 8 Równania różniczkowe 9 Liczby zespolone 10 Wielomiany 11 Macierze 12 Wyznacznik, odwrotność macierzy 13 Układy równań liniowych I kolokwium II kolokwium 2 / 24

4 Zaliczenie Brak egzaminu: wspólne zaliczenie dla ćwiczeń i wykładu. Dwa kolokwia: 1 Analiza (druga połowa kwietnia) 2 Algebra (pierwsza połowa czerwca) Dla każdego z kolokwiów 3 obowiązkowe terminy (ostatni wspólny dla obu). (Zapowiedziane) wejściówki. Ostateczna ocena: średnia z obu kolokwiów (± za wejściówki). 3 / 24

5 Literatura podstawowa Cykl podręczników Oficyny Wydawniczej GiS. Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory. Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania. Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory. (tylko rozdziały 2 i 3) Gewert, Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania. (tylko rozdziały 2 i 3) Gewert, Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania. (tylko rozdział 1) M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra i geometria analityczna. Definicje, twierdzenia, wzory. (wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 1). M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra i geometria analityczna. Przykłady i zadania. (wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 1). M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory. (tylko rozdział 1; wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 2). M. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory. (tylko rozdział 1; wcześniejsza nazwa książki to Algebra liniowa 2). 4 / 24

6 Literatura dodatkowa Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1, 2, 3. Wydawnictwo Naukowe PWN. Krysicki, Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Tom 1, 2. Wydawnictwo Naukowe PWN. Klukowski, Nabiałek: Algebra dla studentów. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Nabiałek: Zadania z algebry liniowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. 5 / 24

7 Notacja Zbiór liczb naturalnych: N = {1, 2, 3,...}. Zbiór liczb całkowitych: Z = {0, { ±1, ±2,...}. } Zbiór liczb wymiernych: Q = p q : p Z, q N. Zbiór liczb rzeczywistych: R. Przedziały: (a, b) = {x R: a < x < b} [a, b] = {x R: a x b} [a, b) = {x R: a x < b} (a, b] = {x R: a < x b} Kwantyfikatory: lub lub a a a a dla każdego istnieje b b b b 6 / 24

8 Definicje: element najmniejszy i największy Element najmniejszy Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru X R, gdy a X oraz x X x a. Zapisujemy: a = min X. Element największy Liczba b jest największym elementem zbioru X R, gdy b X oraz x X x b. Zapisujemy: b = max X. Uwaga: Element największy/najmniejszy może nie istnieć! 7 / 24

9 Definicje: ograniczenie dolne i kres dolny Ograniczenie dolne Liczba a jest ograniczeniem dolnym zbioru X R, gdy: x X x a. Jeśli nie ma takiej liczby, to mówimy, że X nie jest ograniczony z dołu. Kres dolny Liczba a jest kresem dolnym zbioru X R, gdy a jest największym ograniczeniem dolnym zbioru X: x X x a oraz ɛ>0 x0 X x 0 < a + ɛ. Zapisujemy: a = inf X. Jeśli X nie jest ograniczony z dołu, przyjmujemy inf X =. 8 / 24

10 Definicje: ograniczenie górne i kres górny Ograniczenie górne Liczba b jest ograniczeniem górnym zbioru X R, gdy: x X x b. Jeśli nie ma takiej liczby, to mówimy, że X nie jest ograniczony z góry. Kres górny Liczba b jest kresem górnym zbioru X R, gdy b jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X: x X x b oraz ɛ>0 x0 X x 0 > b ɛ. Zapisujemy: b = sup X. Jeśli X nie jest ograniczony z góry, przyjmujemy sup X =. 9 / 24

11 Definicje: funkcja Funkcja Funkcją określoną na zbiorze X R i przyjmującą wartości ze zbioru Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję oznaczamy: f : X Y. Elementy X nazywamy argumentami funkcji. X nazywamy dziedziną i oznaczamy D f. Y nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji i oznaczamy W f. 10 / 24

12 Definicje: funkcja na i różnowartościowa Funkcja na (suriekcja) Mówimy, że funkcja odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co oznaczamy f : X na Y, gdy: W f = Y, tzn. y Y x X f(x) = y. Funkcja różnowartościowa (iniekcja) Mówimy, że funkcja f[ jest różnowartościowa, jeżeli: (x 1 x 2 ) = ( f(x 1 ) f(x 2 ) )]. x1,x 2 X 11 / 24

13 Definicje: bijekcja, funkcja odwrotna Bijekcja Funkcję f, która jest różnowartościowa i na, nazywamy bijekcją. Funkcja odwrotna Funkcja f będąca bijekcją ma funkcję odwrotną, oznaczaną f 1 : Y X, określoną warunkiem: f 1 (y) = x y = f(x), dla dowolnych x X, y Y. 12 / 24

14 Definicje: złożenie funkcji Złożenie funkcji Niech X, Y, Z, W będą zbiorami liczb rzeczywistych, przy czym Y Z, oraz niech f : X Y, g : Z W. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f : X W określoną wzorem: (g f)(x) = g ( f(x) ) dla x X. 13 / 24

15 Ciąg liczbowy Definicja Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję odwzorowującą zbiór liczba naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym elementem ciągu i oznaczamy a n. a 1, a 2, a 3,..., a n,.... Ciąg oznaczamy przez (a n ). Zbiór wyrazów ciągu {a n : n N} oznaczamy {a n }. 14 / 24

16 Przykłady ciągów Elementy podane wprost: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... Wtedy a 1 = 1, a 4 = 3, itp. 15 / 24

17 Przykłady ciągów Elementy podane wprost: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... Wtedy a 1 = 1, a 4 = 3, itp. Elementy podane poprzez wzór ogólny: a n = 2 n, a n = n / 24

18 Przykłady ciągów Elementy podane wprost: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... Wtedy a 1 = 1, a 4 = 3, itp. Elementy podane poprzez wzór ogólny: a n = 2 n, a n = n + 1. Elementy podane rekurencyjnie: a 1 = 1, a n = 2a n / 24

19 Przykłady ciągów Elementy podane wprost: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,... Wtedy a 1 = 1, a 4 = 3, itp. Elementy podane poprzez wzór ogólny: a n = 2 n, a n = n + 1. Elementy podane rekurencyjnie: a 1 = 1, a n = 2a n Ciąg arytmetyczny: Ciąg geometryczny: a n = a n 1 + r. a n = ra n 1 15 / 24

20 Granica ciągu Granica właściwa Mówimy, że ciąg (a n ) ma granicę właściwą a R, co zapisujemy: lim n a n = a, gdy: ɛ>0 n0 N n N ( n > n0 = a n a < ɛ ) Czasem zapisujemy też a n n a lub krótko: lim a n = a lub a n a. 16 / 24

21 Granica ciągu przykład ɛ>0 n0 N n N ( n > n0 = a n a < ɛ ) a n 1.5 a n = n n + 1, lim a n = 1 n a = n 17 / 24

22 Granica ciągu przykład ɛ>0 n0 N n N ( n > n0 = a n a < ɛ ) a n ɛ a = 1 1 ɛ ɛ = 1 4 a n = n n + 1, lim a n = 1 n n 17 / 24

23 Granica ciągu przykład ɛ>0 n0 N n N ( n > n0 = a n a < ɛ ) a n ɛ a = 1 1 ɛ ɛ = 1 4 a n = n n + 1, lim a n = 1 n 0.5 n 0 = 3 n / 24

24 Granica ciągu przykład ɛ>0 n0 N n N ( n > n0 = a n a < ɛ ) a n 1.5 a n = n n + 1, lim a n = 1 n 1 + ɛ a = 1 1 ɛ ɛ = n 17 / 24

25 Granica ciągu przykład ɛ>0 n0 N n N ( n > n0 = a n a < ɛ ) a n 1.5 a n = n n + 1, lim a n = 1 n 1 + ɛ a = 1 1 ɛ ɛ = n 0 = 11 n / 24

26 Granica ciągu Granica niewłaściwa Mówimy, że ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą, co zapisujemy: lim n a n =, gdy: E>0 n0 N n N (n > n 0 = a n > E) Mówimy, że ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą, co zapisujemy: lim n a n =, gdy: E<0 n0 N n N (n > n 0 = a n < E) 18 / 24

27 Granica niewłaściwa ciągu przykład a n E<0 n0 N n N (n > n 0 = a n > E) a n = n 2, lim a n = n 20 n / 24

28 Granica niewłaściwa ciągu przykład a n E<0 n0 N n N (n > n 0 = a n > E) a n = n 2, lim a n = n 40 E = n / 24

29 Granica niewłaściwa ciągu przykład a n E<0 n0 N n N (n > n 0 = a n > E) n 0 = 4 a n = n 2, lim a n = n 40 E = n / 24

30 Granica niewłaściwa ciągu przykład E<0 n0 N n N (n > n 0 = a n > E) a n E = 200 a n = n 2, lim a n = n 20 n / 24

31 Granica niewłaściwa ciągu przykład E<0 n0 N n N (n > n 0 = a n > E) a n E = 200 a n = n 2, lim a n = n n 0 = 14 0 n / 24

32 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów Twierdzenie Jeżeli ciągi (a n ) i (b n ) mają granice właściwe, to: lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n ( ) ( ) lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n a n lim = lim n a n o ile lim n b n lim n b b n 0 n n ( ) p gdzie p Z lim (a n) p = n lim n a n 20 / 24

33 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów Twierdzenie a + = dla <a a = dla 0 <a a = 0 dla <a < a = dla 0 <a 0 + a = 0 dla 0 + a < 1 a = dla 1 <a b = 0 dla b < 0 b = dla 0 <b Wyrażenia nieoznaczone:, 0, 0, ,, 1, 21 / 24

34 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów Twierdzenie (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi (a n ), (b n ), (c n ) spełniają warunki: to 1 a n b n c n dla każdego n n 0, 2 lim n a n = lim n c n = b, lim b n = b. n 22 / 24

35 Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów Twierdzenie (o dwóch ciągach) Jeżeli ciągi (a n ), (b n ) spełniają warunki: to 1 a n b n dla każdego n n 0, 2 lim n a n =, lim b n =. n Analogiczne twierdzenie zachodzi dla ciągów z granicą. 23 / 24

36 Liczba e Definicja Granicę ciągu (e n ) o postaci: oznaczamy przez e. e = e n = ( ) n n Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego: ln x = log e x. 24 / 24