Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne możemy utożsamiać z wynikiem doświadczenia. Oznaczane jest ono najczęściej przez ω. Przykład 1 Zdarzeniem elementarnym przy jednokrotnym rzucie monetą jest np. wyrzucenie orła; w przypadku jednokrotnego rzutu kostką otrzymanie ścianki z sześcioma oczkami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Nazywamy ją również zdarzeniem pewnym. Oznaczana jest ona najczęściej przez Ω. Przykład 2 W przypadku jednokrotnego rzutu monetą Ω = {O, R}, przy jednokrotnym rzucie kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zdarzenie losowe dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe oznaczamy najczęściej dużymi literami A, B, C itp. Przykład 3 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką niech A oznacza zdarzenie, że wypadła ścianka z parzystą liczbą oczek, natomiast zdarzenie B, że wypadła ścianka z liczbą oczek większą od 3. Wówczas A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. 1

2 1.2 Algebra zdarzeń Definicja 1 Sumą (alternatywą) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A lub należą do zdarzenia B. Sumę zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A B. Definicja 2 Iloczynem (koniunkcją) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A i należą do zdarzenia B. Iloczyn zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A B. Definicja 3 Różnicą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A i nie należą do zdarzenia B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A \ B lub A B. Definicja 4 Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A lub dopełnieniem zdarzenia A nazywamy różnicę Ω \ A i oznaczamy przez A. Dopełnienie Ω oznaczamy przez i nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Przykład 4 Niech A i B oznaczają zdarzenia z przykładu 3. Wówczas A B = {2, 4, 5, 6}, A B = {4, 6}, A B = {2}, A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3}. Definicja 5 Mówimy, że zdarzenie A pociąga zdarzenie B (albo, że zdarzenie B jest następstwem zdarzenia A), co zapisujemy A B, jeśli każde zdarzenie elementarne ω należące do zdarzenia A należy również do zdarzenia B. Przykład 5 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką, niech C oznacza zdarzenie wypadła ścianka z liczbą oczek mniejszą od 3, D nie wypadła ścianka z sześcioma oczkami. Wówczas zdarzenie C pociąga za sobą zdarzenie D. Definicja 6 Zdarzenia A i B są równe, co zapisujemy A = B, jeżeli A B i B A. Definicja 7 Zdarzenia A i B wykluczają się lub wyłączają się, jeśli nie mają wspólnych zdarzeń elementarnych, tj., gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym. Definicja 8 Zdarzenia A 1, A 2,..., A n,... wykluczają się parami, jeśli każde dwa spośród nich wykluczają się, czyli A i A j =, gdy i j. Fakt 1 Działania na zdarzeniach podlegają następującym prawom (analogicznym do praw rachunku zbiorów): 2

3 1. A B = B A przemienność koniunkcji zdarzeń, 2. A B = B A przemienność alternatywy zdarzeń, 3. A (B C) = (A B) C łączność koniunkcji zdarzeń, 4. A (B C) = (A B) C łączność alternatywy zdarzeń, 5. A (B C) = (A B) (A C) rozdzielność koniunkcji zdarzeń względem alternatywy zdarzeń, 6. A (B C) = (A B) (A C) rozdzielność alternatywy zdarzeń wzgledem koniunkcji zdarzeń, 7. (A B) = A B, (A B) = A B prawa De Morgana. 1.3 Pojęcie prawdopodobieństwa W literaturze można znaleźć klasyczną, geometryczną, częstościową i aksjomatyczną definicję prawdopodobieństa. Poniżej przedstawiamy klasyczną i aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Definicja 9 Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się ze skończonej liczby n zdarzeń elementarnych, co zapisujemy Ω = n oraz zdarzenia jednoelementowe {ω i }, i = 1,..., n, są jednakowo prawdopodobne, tzn. P ({ω i }) = 1/n, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A, składającego się z k zdarzeń elementarnych (A = k), wyraża się wzorem P (A) = k n = liczba zd. element. sprzyjajäcych zdarzeniu A liczba wszystkich zd. elementarnych Wady klasycznej definicji prawdopodobieństwa 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa jest tautologią, tzn. w definicji użyte jest słowo definiowane. 2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wymaga, żeby przestrzeń zdarzeń elementarnych zawierała skończoną liczbę elementów. 3

4 3. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wymaga, żeby zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne. 4. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa wymaga znajomości zbioru zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A oraz zbioru wszystkich możliwych zdarzeń, związanych z realizacją doświadczenia, w wyniku którego może wystąpić zdarzenie A Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Definicja 10 Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, F zbiorem zdarzeń losowych. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P przyporządkowującą każdemu zdarzeniu A F liczbę P (A) zgodnie z następującymi warunkami: (P1) P (A) 0 dla każdego zdarzenia A F, (P2) P (Ω) = 1, (P3) jeżeli A 1, A 2,..., A n,... jest dowolnym ciągiem parami rozłącznych zdarzeń ze zbioru F, to P (A 1 A 2... A n...) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A n ) Wartość prawdopodobieństwa dla danego zdarzenia A F, czyli liczbę P (A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. Powyższą aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa sformułował w 1933 roku radziecki matematyk A. N. Kołmogorow. Warunki P1, P2, P3 nazywamy aksjomatami prawdopodobieństwa. Aksjomat P2 nazywamy aksjomatem unormowania, aksjomat P3 aksjomatem przeliczalnej addytywności. Wnioski z aksjomatyki prawdopodobieństwa Wniosek 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru. P ( ) = 0. Wniosek 2. Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się jedności. P (A) + P (A ) = 1. Wniosek 3. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, to prawdopodbieństwo zdarzenia A jest nie większe od prawdopodbieństwa zdarzenia B, czyli jeżeli A B, to P (A) P (B). 4

5 Wniosek 4. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe od jedności, czyli jeżeli A jest dowolnym zdarzeniem, to P (A) 1. Wniosek 5. Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to P (B \ A) = P (B) P (A). Wniosek 6. Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodbieństwo ich iloczynu, czyli P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 1.4 Niezależność zdarzeń Definicja 11 Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P (A B) = P (A)P (B). Definicja 12 Zdarzenia B 1, B 2,..., B n nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeżeli dla dowolnego wyboru wskaźników 1 i 1 < i 2 <... < i r n, r = 2, 3,... n, r r P ( B ik ) = P (B ik ). k=1 k=1 Uwaga 1 Niezależność parami zdarzeń nie wystarcza dla wzajemnej niezależności n zdarzeń. I tak na przykład trzy zdarzenia B 1, B 2, B 3 są wzajemnie niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy P (B 1 B 2 ) = P (B 1 )P (B 2 ), P (B 1 B 3 ) = P (B 1 )P (B 3 ), P (B 2 B 3 ) = P (B 2 )P (B 3 ), P (B 1 B 2 B 3 ) = P (B 1 )P (B 2 )P (B 3 ). Przykład 6 Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy zdarzenia: A wylosowano liczbę parzystą, B wylosowano liczbę podzielną przez 3, C wylosowano liczbę podzielną przez 5. Czy te zdarzenia są parami niezależne? Czy są wzajemnie niezależne? 5

6 1.5 Prawdopodobieństwo warunkowe Definicja 13 Niech B będzie zdarzeniem takim, że P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A przy warunku B nazywamy liczbę P (A B) = P (A B). P (B) Przykład 7 Niech A i B oznaczają zdarzenia z przykładu 3. Wówczas P (A B) = 2/6 3/6 = Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Twierdzenie 1 Jeżeli zdarzenia B 1, B 2,..., B n są parami rozłączne (tzn. B i B j =, gdy i j) oraz n i=1 B i = Ω, P (B i ) > 0, dla i = 1, 2,..., n, to dla każdego zdarzenia A n P (A) = P (A B i )P (B i ). i=1 Twierdzenie to jest również prawdziwe, gdy mamy do czynienia z ciągiem zdarzeń {B i }, i = 1, 2,..., gdzie zbiory te mają dodatnie prawdopodobieństwo, są parami rozłączne, a ich suma jest równa Ω. Przykład 8 Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w połowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0, 98 i negatywny z prawdopodobieństwem 0, 02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0, 07. Zakłada się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej populacji test da wynik pozytywny. 1.7 Wzór Bayesa Twierdzenie 2 Jeżeli zdarzenia B 1, B 2,..., B n spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym oraz P (A) > 0, to P (B k A) = P (B k)p (A B k ), n P (A B i )P (B i ) i=1 k = 1, 2,..., n. 6

7 Przykład 9 (kontynuacja poprzedniego przykładu) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik pozytywny. 7