TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

Transkrypt

1 TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia. Hipoteza zerowa hipoteza sprawdzająca oznaczana H 0 jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero. Hipoteza alternatywna hipoteza oznaczana H 1, którą skłonni jesteśmy przyjąć, jeżeli w świetle wyników próby statystycznej należy odrzucić hipotezę H 0. Podejmując decyzję przyjęcia lub odrzucenia hipotezy narażamy się na popełnienie błędu I rodzaju, polegającego na odrzuceniu hipotezy prawdziwej, jak i na popełnienie błędu II rodzaju, polegającego na przyjęciu hipotezy fałszywej. Błąd pierwszego rodzaju polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, mimo że jest ona prawdziwa. Błąd ten zwany jest poziomem istotności. Poziom istotności wskazuje, jaki dopuszczamy błąd przy weryfikacji hipotezy zerowej. Błąd drugiego rodzaju polega na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy jest ona w rzeczywistości fałszywa. Reguła decyzyjna przy testowaniu hipotezy statystycznej polega na porównaniu wartości obliczonej statystyki z wartościami rozgraniczającymi obszary odrzucenia i nieodrzucenia (tj. wartość krytyczna testu wartość zmiennej losowej o określonym rozkładzie, która przy danym poziomie istotności stanowi koniec przedziału odrzucenia). Hipotezę zerową odrzucamy wtedy i tylko wtedy, gdy wartość obliczonej statystyki testowej wpada w obszar odrzucenia przy przyjętym poziomie istotności. Jeżeli wartość statystyki z próby należy do obszaru krytycznego odrzucamy H 0 na korzyść H 1 Jeżeli wartość statystyki z próby nie należy do obszaru krytycznego brak podstaw do odrzucenia H 0 (co nie jest jednoznaczne z przyjęciem H 0 ) Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to możemy jej nie odrzucić na mniejszym poziomie istotności. Reguła decyzyjna podaje jaką należy podjąć decyzję w teście oraz jaki będzie wynikał wniosek dla podjętej decyzji. 1

2 Test t-studenta Badanie indywidualnej statystycznej istotności zmiennych objaśniających H 0 : α j = 0 H 1 : α j 0 (oznacza, że parametr jest nieistotny) (oznacza istotność parametru) Statystyka testowa (liczymy dla każdego parametru): t j = α j S(α ) j gdzie: α j - bezwzględna wartość oceny j-tego parametru strukturalnego S(α j) - średni błąd szacunku j-tego parametru Wartości obliczonych dla poszczególnych parametrów statystyk testowych t-studenta porównujemy z wartością krytyczną t γ odczytaną z tablic wartości krytycznych rozkładu t-studenta na wybranym poziomie istotności γ dla (n-k-1) stopni. t j t γ - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że parametr α j jest nieistotny statystycznie, co oznacza, że dana zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze nie wpływa istotnie statystycznie na zmienną objaśnianą. t j > t γ - odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że parametr α j jest istotny statystycznie, co oznacza, że dana zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze wpływa istotnie statystycznie na zmienną objaśnianą. 2

3 Test Fishera-Snedecora Badanie łącznej statystycznej istotności zmiennych objaśniających H 0 : α 1 = 0 α 2 = 0 α j = 0 H 1 : α 1 0 α 2 0 α j 0 (oznacza, że wszystkie parametry modelu są nieistotne) (oznacza istotność przynajmniej parametru w modelu) F = R2 n k 1 1 R2 k gdzie: R 2 - współczynnik determinacji Wartości statystyki testowej F porównujemy z wartością krytyczną F γ odczytaną z tablic wartości krytycznych rozkładu F na wybranym poziomie istotności γ dla k stopni swobody licznika i (n-k-1) stopni swobody mianownika. F F γ - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że parametry modelu są nieistotne statystycznie, co oznacza, że zmienne objaśniające występujące w modelu nie wpływają istotnie statystycznie na zmienną objaśnianą. F > F γ - odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że przynajmniej jeden parametr α j jest istotny statystycznie, co oznacza, że przynajmniej jedna ze zmiennych objaśniających uwzględnionych w modelu wpływa istotnie statystycznie na zmienną objaśnianą. 3

4 Test Doornika-Hansen a / Test Jarque-Bery Badanie normalności rozkładu składnika losowego H 0 : η = N(0, σ ξ 2 ) H 1 : η N(0, σ ξ 2 ) (oznacza, że rozkład składnika losowego posiada cechy rozkładu normalnego) (oznacza, że rozkład składnika losowego nie posiada cech rozkładu normalnego) Wartość statystyki testowej DH / JB porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu χ 2 na wybranym poziomie istotności γ dla (n-k-1) stopni swobody. DH / JB χ 2 wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego posiada cechy rozkładu normalnego. DH / JB > χ 2 - odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego nie posiada cech rozkładu normalnego. 4

5 Badanie heteroskedastyczności składnika losowego Test White a H 0 : E(ξ t 2 ) = σ t 2 = const (homoskedastyczność - oznacza, że składnik losowy ma jednorodną wariancję, tj. stałą w czasie) H 1 : E(ξ t 2 ) σ t 2 const (heteroskedastyczność - oznacza, że składnik losowy ma niejednorodną wariancję, tj. zmienną w czasie) Wartość statystyki TR porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu χ 2 na wybranym poziomie istotności γ dla (n-k-1) stopni swobody. TR χ 2 wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego posiada cechy rozkładu normalnego. TR > χ 2 - odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego nie posiada cech rozkładu normalnego. 5

6 Badanie autokorelacja składnika losowego dowolnego rzędu Test Breusch a-godfrey a (wykorzystuje metodę mnożników Lagrange a) H 0 : ρ j = 0 H 1 : ρ j > 0 (oznacza brak autokorelacji) (oznacza autokorelację danego j-tego rzędu) Wartość statystyki LM porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu χ 2 na wybranym poziomie istotności γ dla (n-k-1) stopni swobody. LM χ 2 wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego posiada cechy rozkładu normalnego. LM > χ 2 - odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego nie posiada cech rozkładu normalnego. 6

7 Badanie autokorelacji składnika losowego rzędu pierwszego Test Durbina-Watsona (stosowany tylko dla badania autokorelacji pierwszego rzędu, należy dysponować co najmniej 15 obserwacjami, w modelu nie powinna występować opóźniona zmienna objaśniana w charakterze zmiennej objaśniającej) H 0 : ρ 1 = 0 H 1 : ρ 1 > 0 (oznacza brak autokorelacji) (oznacza autokorelację pierwszego rzędu dodatnią) DW = n t=2 (u t u t 1 ) 2 n 2 u t t=1 jeżeli DW > 2 wówczas: zmieniamy H 1 : ρ 1 < 0 (oznacza autokorelację pierwszego rzędu ujemną) i liczymy statystykę skorygowaną DW = 4 DW Wartość statystyki DW(DW ) porównujemy z krytycznymi wartościami testu górną d u i dolną d l odczytanymi z tablic testu Durbina-Watsona na wybranym poziomie istotności γ dla liczby obserwacji n i przy danej liczbie zmiennych objaśniających k. DW(DW ) > d u - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że nie występuje autokorelacja składnika losowego. DW(DW ) < d l - odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że występuje autokorelacja składnika losowego pierwszego rzędu. d l DW(DW ) d u - test nie rozstrzyga czy występuje autokorelacja. 7

8 Badanie poprawności specyfikacji formy funkcyjnej modelu (postaci analitycznej modelu) Test specyfikacji Ramsey a RESET (Regression Equation Specification Error Test) H 0 : H 1 : model ma postać liniową model ma postać nieliniową Wartość statystyki LM porównujemy z wartością krytyczną F γ odczytaną z tablic rozkładu F na wybranym poziomie istotności γ dla (n-k-1) stopni swobody. LM F γ wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego posiada cechy rozkładu normalnego. LM > F γ - odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej i przy poziomie istotności γ wnioskujemy, że rozkład składnika losowego nie posiada cech rozkładu normalnego. 8